河南省开封市五县联考2025~2026学年高一下册7月期末数学试卷【附解析】

河南开封市五县学校联考2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题一、单选题1．已知向量，若，则（

）A．-9 B．9 C．-4 D．42．在中，若，，，则的大小为（

）A． B． C．或 D．或3．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数则（

）A．7 B．10 C．13 D．165．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（

）A．若，，则. B．若，，则.C．若，，，则 D．若，，则6．在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（

）A． B． C． D．7．已知为坐标原点，若，，三点共线，则在上的投影向量的坐标为（

）A． B． C． D．8．若数据的方差为15，数据的方差为10，则数据，的方差的最小值为（

）A．10 B．12 C．13 D．15二、多选题9．已知直线及平面.下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．“沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（

）A．这组数据的极差为7 B．这组数据的众数等于中位数C．这组数据的下四分位数为8 D．这组数据的方差为11．如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（

）A．B．平面C．直线与平面所成角的正切值为D．三棱锥外接球的表面积为三、填空题12．如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________.13．如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________14．已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______．四、解答题15．已知复数，其中，为虚数单位.(1)若是纯虚数，求实数的值:(2)若的实部与虚部相等，求.16．已知函数．(1)判断的奇偶性并证明；(2)若函数，求的值．17．如图，在正三棱柱中，为的中点，，.(1)证明：；(2)证明：平面.18．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．(1)把利润表示为年产量的函数．(2)年产量为多少时，企业所得利润最大？(3)年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？19．已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)求点到平面的距离.《河南开封市五县学校联考2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题》参考答案题号12345678910答案DBACDBDBBDAC题号11答案ACD1．D解析：由题可知：，所以.故选：D2．B解析：在中，由正弦定理得，，所以，由于，所以，又，所以.3．A解析：由于指数函数是单调递增的，所以，所以当时，，即”是“”的充分条件；当时，不一定成立，即”不是“”的必要条件；综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故A正确.4．C解析：由题意可得：，所以.5．D解析：对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误；对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误；对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误；对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得，由得，而，得，故D项正确．6．B解析：连接，因为平面，所以为直线与平面所成角，所以，又直线与平面所成角的最大值是，所以，当且仅当取最小值时取得最大值，因为，所以当时取最小值，此时，所以，又点在底面内，且，连接，因为平面，平面，所以，所以，所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，所以点的轨迹长为.故选：B7．D解析：，若，，三点共线，则与共线，，解得，，，则在上的投影向量的坐标为.故选：D.8．B解析：设的平均数为，的平均数为，总体的平均数为，总体的方差为，则，，当且仅当时，等号成立.所以数据，的方差的最小值为12.9．BD解析：对于A，当时，可能与平行，相交（包含垂直），故A错误；对于B，因，，则在内存在直线，使得，从而，故B正确；对于C，若，则可能与平行或异面，故C错误；对于D，当时，结合线面垂直性质可得，故D正确.10．AC解析：将原始数据按从小到大排序：，所以这组数据的极差为，故A正确；这组数据的众数为，这组数据的中位数为，故B不正确；由于，所以这组数据的下四分位数为8，故C正确；这组数据的平均数为，所以方差,故D不正确11．ACD解析：由题设，，则，由平面，平面，则，都在平面内，则平面，平面，则，A对；由平面，即为平面，又平面，，所以平面，即与平面相交，B错；由平面，则直线与平面所成角为，又所以，C对；由为等腰直角三角形，且，则，故其外接圆半径，由平面，，则三棱锥外接球半径，所以外接球的表面积，D对.故选：ACD.12．解析：因为元件至少有一个正常工作的概率为，所以系统正常工作的概率为.故答案为：13．/解析：连接，两者交于点，连接，在正三棱柱中，可得，因点为的中点，则，故异面直线与所成角即为直线与所成角，即或其补角.不妨设，易得，，，在中，由余弦定理，，故异面直线与所成角的余弦值为．14．解析：由题可知，是上的增函数，则不等式等价于，即，函数在上单调递增，且，所以不等式的解集为，从而不等式的解集为．15．(1)(2)解析：（1）因为复数为纯虚数，所以，解得.（2）根据题意得，，解得：，将代入复数的表达式中，得：，故.16．(1)是偶函数，证明如下：由，可得，则的定义域为，关于原点对称．，所以是偶函数．(2)2解析：（1）略（2）令函数，则，由（1）可知是偶函数，因为所以是奇函数，从而，．17．(1)在正三棱柱中，平面，平面，所以，因为为等边三角形，为的中点，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，故.(2)连接交于点，连接，在三棱柱中，，，故四边形为平行四边形，因为，则为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.解析：（1）略（2）略18．(1)(2)475台；(3)年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．解析：（1）设利润为y万元，得，即.（2）显然当时，企业会获得最大利润，此时，，，即年产量为475台时，企业所得利润最大．（3）要使企业不亏本，则．即或，得或，即．即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．19．(1)证明：因为点在底面上的射影是与的交点，所以平面，因为平面，所以，又因为四边形为菱形，所以，因为，且平面，所以平面．(