河南省新乡市多校联考2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知两个非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列函数是奇函数且在定义域上单调递减的是（）A. B.C. D.4.已知为锐角，，，则=（）A. B. C. D.或5.在数列中，，，则（）A. B. C. D.6.在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.7.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线（、为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线，为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.8.将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（i为虚数单位），则下列结论中正确的有（）A.的虚部为 B.在复平面内对应的点位于第四象限C. D.10.已知数列的前项和，则下列说法正确的有（）A.数列是递减的等差数列 B.C.，，成等比数列 D.当或4时，取得最大值11.若两圆，有公共点，当m变化时，与圆，都相切的圆的圆心可能在（）A.椭圆上 B.双曲线的一支上 C.抛物线上 D.一条直线上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的单调递增区间为________．13.展开式中的系数为__________．14.已知为空间中27个点构成的集合，点．记样本空间．从中随机取一个点，定义随机变量如下：对的每个点，令，则的数学期望为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表：每周活动总时长（单位：小时）频率0.150.250.350.150.1我们将每天综合体育活动时间不少于2小时的学生定义为“达标学生”，否则为“未达标学生”．（一周按7天进行计算）（1）已知小明同学是“达标学生”，求他每天综合体育活动时间不少于3小时的概率.（2）从活动时长在和的学生中，按频率的比例抽取5人进行座谈．若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望．16.在中，内角，，的对边分别为，，，角为钝角，，且．（1）证明：；（2）若的中线，求．17.如图，在长方体中，，，．点在棱上，且，点在棱上，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求三棱锥的体积．18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．19.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点（点在轴上方），的面积为2．（1）求抛物线的标准方程．（2）过点的直线与抛物线交于，两点，直线与线段交于点．①证明：直线轴；②求面积的最大值．

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，因为集合，所以．2.已知两个非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：由，得，解得或，但当时，，不满足题意，故，则“”是“”的充要条件.3.下列函数是奇函数且在定义域上单调递减的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用函数奇偶性和单调性逐一分析选项即可.解答过程：选项A，在中，，因为，所以函数是偶函数，不符合题意，A错误；选项B，在中，，函数是奇函数，但在定义域上不单调递减，不符合题意，B错误；选项C，在中，，因为，所以函数是奇函数，因为函数和均在上单调递减，所以函数在定义域上单调递减，符合题意，C正确；选项D，在中，解，得，即定义域为，关于坐标原点对称，因为，所以，所以函数是奇函数，因为，所以函数在定义域上单调递增，不符合题意，D错误．4.已知为锐角，，，则=（）A. B. C. D.或答案：B解析：解答过程：因为为锐角，，所以.因为，所以，且，所以，所以.5.在数列中，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可.解答过程：因为，所以．因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以，所以．6.在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先确定三棱锥外接球球心的位置，进而求出外接球半径，再利用球的表面积公式求球的表面积.解答过程：如图，取的中点E，连接，因为，所以，，所以，又，所以．分别取与的外心，易知点分别在上，过点G，F分别作两平面的垂线，两垂线交于点O，则点O为三棱锥外接球的球心．由已知可得，，连接OE，易得，所以，则，则，所以在中，，即三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为．7.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线（、为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线，为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据中点以及角平分线的性质可得，即可根据双曲线定义得，代入到双曲线方程可得，即可根据离心率公式求解.解答过程：如图，延长交的延长线于点，由于是的角平分线上的一点，且,所以点为的点，所以,又为的中点，所以，故，故，即，将点代入可得，解得，故离心率为，故选：C.8.将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由三角函数图象变换得到，对于的任意取值，在上有唯一解，关键是转化得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解．解答过程：由题意得，当时，有，此时，令，则，因为时，所以，因为对于的任意取值，在上有唯一解，即在上有唯一解，如图所示：因为，所以，由图可知，，所以．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（i为虚数单位），则下列结论中正确的有（）A.的虚部为 B.在复平面内对应的点位于第四象限C. D.答案：AC解析：解答过程：选项A，复数的虚部为，故A正确；选项B，复数在复平面内对应的点为，此点位于第三象限，故B错误；选项C，，故C正确；选项D，因为，所以，所以，故D错误.10.已知数列的前项和，则下列说法正确的有（）A.数列是递减的等差数列 B.C.，，成等比数列 D.当或4时，取得最大值答案：ACD解析：思路：使用等差数列与等比数列的定义，通项公式，使用与的递推关系分析选项A，使用通项公式求解选项B，使用等比数列的定义分析选项C，使用等差数列的性质分析选项D.解答过程：因为，所以当时，；当时，，所以，所以数列是首项，公差的等差数列．因为，所以数列是递减数列，故A正确；，故B错误；因为，可得，，，即，所以，，成等比数列，故C正确；当时，令，解得，；令，解得，；令，解得，；所以当或4时，取得最大值，故D正确．11.若两圆，有公共点，当m变化时，与圆，都相切的圆的圆心可能在（）A.椭圆上 B.双曲线的一支上 C.抛物线上 D.一条直线上答案：ABD解析：思路：根据双曲线、椭圆的定义，结合圆的位置关系分析可得.解答过程：由得，易知圆心，半径，圆的圆心，半径.因为圆，有公共点，则，解得，则，设动圆的圆心为，半径为，若圆与圆，都外切，则，当时，由双曲线定义可知，此时圆心在双曲线的一支，B正确；当时，圆心在轴上（不含线段），若圆与圆外切，与圆内切，则，当时，由椭圆定义可知，圆心在椭圆上，A正确；当时，圆心在线段上，综上，圆心在轴上（不含点，），D正确；由上述分析可知，动圆圆心只能在椭圆、双曲线和轴上，不可能在抛物线上，C错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的单调递增区间为________．答案：解析：思路：利用导数求函数的单调性即可．解答过程：因为函数，定义域为，所以．解，得，所以函数的单调递增区间为．13.展开式中的系数为__________．答案：解析：思路：利用二项展开式的通式求解.解答过程：因为的展开式的通式为：，当时，.故展开式中的系数为.故答案为：.方法提示：本题考查二项式的展开式通项公式，考查指定项系数的求解，较简单.14.已知为空间中27个点构成的集合，点．记样本空间．从中随机取一个点，定义随机变量如下：对的每个点，令，则的数学期望为________．答案：解析：思路：先计算没剔除时所有可能性的样本点的总和，再作减法，即可求得期望.解答过程：由题意，得全集有27个点，点，所以样本空间中有26个点．随机变量，则．全集上所有点的坐标分量之和，由对称性，每个坐标分量独立取值于，且每个值出现次数相等，对第一个分量，每个取值出现次，所以．同理，，，所以．去掉点，其坐标和为4，故，所以四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表：每周活动总时长（单位：小时）频率0.150.250.350.150.1我们将每天综合体育活动时间不少于2小时的学生定义为“达标学生”，否则为“未达标学生”．（一周按7天进行计算）（1）已知小明同学是“达标学生”，求他每天综合体育活动时间不少于3小时的概率.（2）从活动时长在和的学生中，按频率的比例抽取5人进行座谈．若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望．答案：（1）（2）的分布列为：012数学期望解析：思路：（1）先换算每周活动达标时长，确定对应事件，算出相关概率，代入条件概率公式求解结果.（2）依据区间频率比确定分层抽取人数，确定随机变量取值，用组合数计算各概率列出分布列，再计算数学期望.（1）由题意，一周共7天，达标学生每周累计活动时长不少于小时.每天活动时间不少于3小时对应每周时长不少于3小时.设事件为“小明是达标学生”，事件为“小明每天活动时间不少于3小时”.则：，.根据条件概率公式，代入得.（2）活动时长在和的频率比为.根据该比例抽取5人时，从中抽取5人，从中抽取5人.随机变量的所有可能取值为，计算对应概率：，，，因此的分布列如上X012P数学期望：.16.在中，内角，，的对边分别为，，，角为钝角，，且．（1）证明：；（2）若的中线，求．答案：（1）证明：由，，得，所以．因为，，所以，解得．所以．因为为钝角，即，，所以，所以．（2）解析：思路：（1）利用三角形内角和与余弦和差角公式，结合已知余弦乘积推导，结合角的范围完成证明；（2）联立内角和等式与的关系式，解方程组求得角，通过向量中线公式建立边的方程，结合正弦定理得到两边比例，代入化简求解.（1）略（2）由为边上的中线，得，所以（）．将，，，代入，得，所以．由正弦定理，得．由题意，得解得因为，，所以，即．将代入，得，整理得，解得．17.如图，在长方体中，，，．点在棱上，且，点在棱上，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求三棱锥的体积．答案：（1）证明：在长方体中，建立空间直角坐标系，如图．，，，，，，，，，，．，，，，，即；，，即．又，，平面，平面．（2）（3）2解析：思路：（1）建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理可证；（2）由面面角的向量求法可得；（3）在棱上取点，使，连接，利用线面平行可证点到平面的距离与点到平面的距离相等，再利用等体积转化计算即可得出结果.（1）略（2）由（1）知，是平面的一个法向量．设平面的法向量为，则，，令，则，，．设平面与平面的夹角为，则，∴平面与平面夹角的余弦值为．（3）在棱上取点，使，连接．，．，．又平面，平面，平面．∴点到平面的距离与点到平面的距离相等，．，，.，，，即三棱锥的体积为2．18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．答案：（1）（2）证明：不等式即，所以．因为当时，，所以只需证，即．令，则.因为当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以，所以恒成立．所以当时，．当时，令，则．令，则．因为，所以．令