河南省信阳市潢川县部分学校2025~2026学年高二下册期末调研数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，且，则实数（）A. B.0 C.1 D.22.已知等差数列的前n项和为，且，公差，则（）A. B. C. D.3.函数，则（）A. B. C. D.4.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（）A.在单调递增 B.在处取得极大值C.在单调递增 D.在处取得最大值5.对某中学学生是否爱好跳绳做了随机调查，得到如表列联表．现根据小概率值的独立性检验，已知．经计算，则以下结论正确的是（）附：．跳绳性别合计男女爱好402060不爱203050合计6050110A.爱好跳绳与性别无关B.爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.爱好跳绳与性别有关D.爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0016.现有语文、数学课本共8本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有（）A.2本 B.3本 C.4本 D.5本7.某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（）A.240种 B.360种 C.480种 D.600种8.若5个正数之和为10，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.随机变量X的分布列如下：则下列结论正确的是（）X1248P0.10.20.3aA. B.C. D.10.下列说法正确的有（）A.若随机变量，则B.若，且，则C.已知事件互斥，，则D.已知事件相互独立，，则11.已知函数在上单调递增，在上单调递减，且方程有实数根，，，则（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为__________．13.已知实数，，且，则的最小值是__________．14.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________．四、解答题：本小题共5小题，第15小题13分，第16、17、小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.关于的不等式的解集记为．关于的不等式的解集记为．（1）求集合；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．16.随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得，.（1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；（2）已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列．附：相关系数．17.在数列中，，．（1）证明：为等比数列；（2）设，求数列的前项和．18.已知函数，其中．（1）当时，求的单调递增区间；（2）若恒成立，求的取值范围；（3）试比较与的大小并说明理由．（为自然对数的底数，）19.某射击比赛决赛阶段，甲、乙两名选手争夺金牌，比赛无平局，每局比赛结果相互独立.决赛采用全新的“抢赛制”：每局比赛胜者得3分，负者得1分；若某选手连续2局获胜，或积分率先达到分，则该选手获得冠军，比赛结束.设决出冠军时的比赛总局数为．（1）请在①②两个问题中选择一个作答：①若甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，求的分布列与数学期望；②由于心理素质差异，甲在单局比赛中获胜的概率为．试求出平均比赛总局数关于的函数解析式，并求当为何值时，达到最大；（2）经赛后数据分析，甲在该项目单局比赛的实际胜率为．在某训练赛中，甲乙共进行了局比赛，试求为何值时，甲获胜局的概率最大？

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，且，则实数（）A. B.0 C.1 D.2答案：D解析：思路：根据题意可对和分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果.解答过程：由可知或；当时，即，此时，不能满足题意；当时，解得或（舍），时，，满足题意，故.故选：D2.已知等差数列的前n项和为，且，公差，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用等差数列的通项公式和前n项和公式，逐一对各选项判断即可.解答过程：由等差数列的前n项和为，且，公差，可得，，对于A，，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，因，则，故C正确，D错误.故选：C.3.函数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，则，故.4.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（）A.在单调递增 B.在处取得极大值C.在单调递增 D.在处取得最大值答案：C解析：解答过程：由导函数的图象，可得：当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，但不一定为函数的最大值5.对某中学学生是否爱好跳绳做了随机调查，得到如表列联表．现根据小概率值的独立性检验，已知．经计算，则以下结论正确的是（）附：．跳绳性别合计男女爱好402060不爱203050合计6050110A.爱好跳绳与性别无关B.爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.爱好跳绳与性别有关D.爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001答案：A解析：解答过程：因为，根据独立性检验思想可知爱好跳绳与性别无关.6.现有语文、数学课本共8本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有（）A.2本 B.3本 C.4本 D.5本答案：B解析：解答过程：设语文课本有本，则数学课本有.从8本书中任取2本的总组合数为；至多有1本语文课本的组合数有；至多有1本语文课本的概率是，，即，解得或；，.7.某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（）A.240种 B.360种 C.480种 D.600种答案：A解析：思路：先排4个节目，再按照定序插空排列即可求解.解答过程：先把除了舞蹈节目和合唱节目的4个节目排列有种排法，舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，插空有种，总共有种.8.若5个正数之和为10，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：结合等差数列性质5个数均为正数以及等差数列通项公式，列出关于的不等式组求解.解答过程：设正数成等差数列，所以，解得：，由各项均为正数，则.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.随机变量X的分布列如下：则下列结论正确的是（）X1248P0.10.20.3aA. B.C. D.答案：AB解析：思路：由概率和为1求出，先根据公式求出和，进而求出.解答过程：对于A，由，解得，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D错误.10.下列说法正确的有（）A.若随机变量，则B.若，且，则C.已知事件互斥，，则D.已知事件相互独立，，则答案：ACD解析：思路：借助二项分布方差公式与方差性质计算可得A；借助正态曲线的对称性计算可得B；借助互斥事件概率公式计算可得C；借助相互独立事件概率公式与对立事件概率公式计算可得D.解答过程：对A：由，则，故，故A正确；对B：由，则，故B错误；对C：由事件互斥，则，故C正确；对D：由事件相互独立，则，则，故D正确.11.已知函数在上单调递增，在上单调递减，且方程有实数根，，，则（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：由函数的单调性得到，解得；由得，令，解得或，结合函数单调性得到，解得；从而；由方程的根得到，整理后，对照系数得到，，从而得到，从而求出．解答过程：，，因为在上单调递增，在上单调递减，故为的极大值点，所以，所以，故A正确；此时，则，依题意可得，即，故，令，解得或，所以，解得，故B正确；，故C错误；因为，，是方程的三个实数根，所以，所以，所以，所以，所以，，，，，，即，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为__________．答案：解析：解答过程：.的展开式的通项为，令，得；令，得.所以的展开式中含的项为，故的展开式中的系数为.13.已知实数，，且，则的最小值是__________．答案：解析：解答过程：由题意得：，当时，即时，等号成立.14.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________．答案：解析：思路：先求出曲线在处的切线方程，再利用该切线与第二条曲线相切的条件，结合导数的几何意义联立方程求解参数.解答过程：函数的定义域为，求导得，当时，导数值，即切线斜率为；由点斜式得切线方程为，整理为，设直线与相切于点，对，求导得，由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即，解得，因此切点坐标为，又切点在切线上，代入得：

，解得.四、解答题：本小题共5小题，第15小题13分，第16、17、小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.关于的不等式的解集记为．关于的不等式的解集记为．（1）求集合；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）解二次不等式即可得到集合；（2）根据题意求出集合，再由“”是“”的必要不充分条件，得到集合是集合的真子集，则，解不等式即可．（1）不等式，即，解得，；（2）不等式，即，解得，所以集合，又因为“”是“”的必要不充分条件，集合是集合的真子集，，解得，则实数的取值范围是．16.随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得，.（1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；（2）已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列．附：相关系数．答案：（1），具有很强的正相关性（2）解析：012思路：（1）由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论；（2）由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列.（1）样本的相关系数为：由于相关系数，故销售金额（单位：万元）和月份编号具有很强的正相关性；（2）由题意得：的可能取值为0，1，2，18个月中有10个月的销售金额高于平均数，所以，，，所以的分布列为：01217.在数列中，，．（1）证明：为等比数列；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）在数列中，，，则，所以，即，解得，，即，解得，，以此类推可知，对任意的，，所以，即，所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为.（2）解析：思路：（1）将等式变形为，再结合等比数列的定义证明即可；（2）求出的表达式，利用错位相减法结合分组求和法可求得的表达式.（1）略（2）由（1）可知，所以，所以，设数列的前项和为，则，①，②，①②得，所以，故.18.已知函数，其中．（1）当时，求的单调递增区间；（2）若恒成立，求的取值范围；（3）试比较与的大小并说明理由．（为自然对数的底数，）答案：（1）（2）（3），理由见解析解析：思路：（1）把代入，求出的导数，再令解出即可得；（2）利用导数得到单调性后可求出函数的最小值，建立不等式并求解即可；（3）在（2）中取可得，再赋值并作近似计算推理即得.（1）当时，，则，令，解得或，又定义域为，故函数的单调递增区间是；（2），，当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，，由恒成立，得恒成立，则，即，解得，所以的取值范围是；（3），理由如下：由（2）知，当时，，即，令，有，又，即，故.19.某射击比赛决赛阶段，甲、乙两名选手争夺金牌，比赛无平局，每局比赛结果相互独立.决赛采用全新的“抢赛制”：每局比赛胜者得3分，负者得1分；若某选手连续2局获胜，或积分率先达到分，则该选手获得冠军，比赛结束.设决出冠军时的比赛总局数为．（1）请在①②两个问题中选择一个作答：①若甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，求的分布列与数学期望；②由于心理素质差异，甲在单局比赛中获胜的概率为．试求出平均比赛总局数关