河南湘豫大联考2025~2026学年高二下册6月阶段检测数学试卷【附解析】

数学本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（）A. B. C. D.3.已知函数，则（）A. B.2 C. D.14.已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线与C交于，两点，且线段的中点到轴的距离为3，直线与轴交于点．若NF=2FM，则C的标准方程为（）A. B.C. D.5.定义在上的偶函数满足fx+3=−fx，且当x∈0,32时，A.f3<fπC.f3<f26.已知二项式，则下列说法正确的是（）A.展开式中第3项与第4项的二项式系数之比为B.展开式中所有项的二项式系数之和为128C.展开式中所有项的系数之和为64D.展开式中常数项为7.为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了2025年7-12月某城市文旅短视频累计播放量（单位：亿次）与当月旅游总收入（单位：亿元）的统计数据，如下表：（）月份789101112/亿次234567/亿元815285090160通过散点图分析发现，与的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为（，），令，得到关于的回归方程为，相关系数为．则下列说法正确的是附：，，，，，，．A.关于的回归方程为，当每增加1亿次时，平均增加亿元B.与的相关系数，若用一元线性回归模型直接拟合与，得到的相关系数为，则C.若2026年1月该城市文旅短视频累计播放量为8亿次，用该回归模型预测的当月旅游总收入约为299亿元D.当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次8.为推广非遗文化，某文创店推出“非遗主题盲盒”，每个盲盒内装有1张对应非遗项目的卡片，共有剪纸、陶艺、戏曲、书法4款不同卡片，每款卡片在盲盒中出现的概率均等，且不同盲盒开出的卡片相互独立．某同学一次性购买了3个盲盒，设该同学抽到的不同卡片款式的数量为随机变量X，则下列说法正确的是（）A.随机变量X∼B3,14C.E2X−1=37二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列满足，且，数列bn满足，则下列说法正确的是（）A.数列anB.数列bnC.数列bn的通项公式为D.数列的前项和10.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点P在底面的投影为正方形的中心，高PO=1，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成角的余弦值为33B.该四棱锥的内切球的表面积为3−22C.直线与平面所成角的正弦值为63D.点到平面的距离为11.已知函数，其中，e为自然对数的底数，下列结论中正确的有（）A.当时，fx的最小值为0B.若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是C.若对任意恒成立，则实数的取值范围是D.当时，fx有且仅有3个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知各项均为正数的等比数列an满足，则______．13.已知双曲线C：的右焦点为F，坐标原点为，以线段OF为直径的圆与C的一条渐近线交于异于点的另一点．若OA= 3AF，则C的离心率为_________．14.在三棱锥中，侧棱，PB，PC两两互相垂直，且．若为空间内一点，且，，则的最大值为_________________．附：柯西不等式：，其中，，，，，，当且仅当（约定：若分母为0，则对应的分子也为0）时等号成立．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为深入落实科教兴国战略，提升中学生航天科学素养，某地市教育局联合航天科技馆开展“航天科普进校园”系列研学实践活动，研学参与者均参加科创竞赛．为了解研学活动参与时长与学生科创竞赛获奖的关联性，从参与本系列研学活动的学生中随机抽取100名，统计他们的研学累计参与时长（规定：累计参与时长课时为长时研学，<6课时为短时研学）与科创竞赛获奖情况，得到如下列联表：研学时长科创竞赛合计获奖未获奖长时研学251540短时研学105060合计3565100（1）从本次抽取的科创竞赛获奖的学生中，按研学时间长短分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选取3名作为代表参加航天科普宣讲会，求选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率；（2）依据的独立性检验，能否认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关？附：，其中n=a+b+c+d．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.在△ABC中，内角，，C的对边分别为，，，满足．（1）求角的大小；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．17.如图1，在平面四边形中，是以为斜边的等腰直角三角形，，△ACE是边长为2的等边三角形．现将△ACE沿翻折至的位置，使得，如图2．（1）设为的中点，证明：平面；（2）求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值．18.已知椭圆C：x2a2+y2（1）求C的标准方程；（2）设一动直线不经过坐标原点，与C交于，两点，且OM⊥ON．（ⅰ）证明：点到直线的距离为定值；（ⅱ）求面积的最大值．19.已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，证明：；（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求实数的取值范围．

数学本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先求解一元二次不等式得到集合，再根据交集的定义计算两个集合的交集即可.解答过程：不等式因式分解得，解得，即，又集合，所以.2.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先将已知等式变形求出复数，再根据共轭复数的定义计算得到结果.解答过程：由，可得，的共轭复数.3.已知函数，则（）A. B.2 C. D.1答案：B解析：解答过程：，；.4.已知抛物线：y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线与交于，两点，且线段的中点到轴的距离为3，直线与轴交于点．若NF=2FM，则的标准方程为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：抛物线：的焦点为，设，由题意可知到轴的距离为3，即，设N0,yN由NF=2FM，得p2,−yN故的标准方程为.5.定义在上的偶函数满足fx+3=−fx，且当x∈0,32时，A.f3<fπC.f3<f2答案：A解析：思路：结合偶函数性质及关系fx+3=-fx可得f3=-f0，fπ=-fπ解答过程：因为函数为偶函数，所以f-x=f又fx+3所以f3fπf2因为0<π-3<1<32，且当所以f0所以-f0即f36.已知二项式，则下列说法正确的是（）A.展开式中第3项与第4项的二项式系数之比为B.展开式中所有项的二项式系数之和为128C.展开式中所有项的系数之和为64D.展开式中常数项为答案：D解析：解答过程：对于A，展开式中第3项的二项式系数为，第4项的二项式系数为，则，故A错误；对于B，展开式中所有项的二项式系数之和为，故B错误；对于C，令，则展开式中所有项的系数之和为，故C错误；对于D，，其中；令，得，则常数项为，故D正确.7.为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了2025年7-12月某城市文旅短视频累计播放量（单位：亿次）与当月旅游总收入（单位：亿元）的统计数据，如下表：（）月份789101112/亿次234567/亿元815285090160通过散点图分析发现，与的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为（，），令，得到关于的回归方程为，相关系数为．则下列说法正确的是附：，，，，，，．A.关于的回归方程为，当每增加1亿次时，平均增加亿元B.与的相关系数，若用一元线性回归模型直接拟合与，得到的相关系数为，则C.若2026年1月该城市文旅短视频累计播放量为8亿次，用该回归模型预测的当月旅游总收入约为299亿元D.当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次答案：C解析：思路：根据回归直线经过样本点中心可知经过，得到，从而确定回归方程，由回归方程的性质判断每个选项.解答过程：根据回归直线的性质，必定经过，即，于是，得，则，，解得.A选项，由回归方程可知，当每增加1亿次时，变为原来的倍，A选项错误；B选项，由题知，是指数相关的，因此时，的相关性更强，即，B选项错误；C选项，时，，C选项正确；D选项，令，则，解得，D选项错误.8.为推广非遗文化，某文创店推出“非遗主题盲盒”，每个盲盒内装有1张对应非遗项目的卡片，共有剪纸、陶艺、戏曲、书法4款不同卡片，每款卡片在盲盒中出现的概率均等，且不同盲盒开出的卡片相互独立．某同学一次性购买了3个盲盒，设该同学抽到的不同卡片款式的数量为随机变量X，则下列说法正确的是（）A.随机变量X∼B3,14C.E2X−1=37答案：D解析：思路：先确定随机变量X的取值范围，计算各取值对应的概率，再结合期望、方差的公式及性质逐一验证选项.解答过程：3个盲盒的总基本事件数为，随机变量X的可能取值为，计算各取值的概率：P(X=1)=C41由对立事件概率得P(X=2)=1−P(X=1)−P(X=3)=1−选项A：二项分布对应次独立重复试验的成功次数，X为不同卡片款式数，不服从二项分布，A错误；选项B：P(X=2)=916≠选项C：期望EX由期望性质得E2X−1=2EX选项D：计算得EX由方差公式DX=EX2故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列满足，且，数列满足，则下列说法正确的是（）A.数列为等差数列B.数列为等比数列C.数列的通项公式为D.数列的前项和答案：BD解析：思路：首先通过递推公式构造等比数列求出的通项，进而得到的通项，再逐一判断各选项，最后通过裂项相消法求前项和验证D选项.解答过程：选项A：计算得，公差不相等，故不是等差数列，A错误；选项B：由变形得，即，且，因此是首项为2、公比为2的等比数列，B正确；选项C：由等比数列通项公式得，不是，C错误；选项D：先化简通项：，故，前项和裂项相消得，D正确.10.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点P在底面的投影为正方形的中心，高PO=1，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成角的余弦值为33B.该四棱锥的内切球的表面积为3−22C.直线与平面所成角的正弦值为63D.点到平面的距离为答案：ACD解析：思路：将异面直线所成角，转化为相交直线所成角，即可判断A，利用四棱锥的体积公式，即可求四棱锥内切球的半径，即可判断B，利用等体积公式求点到平面的距离，判断C，根据直线AD//平面，结合选项C，即可判断D.解答过程：对于选项A.由条件可知，BC//AD，所以异面直线与所成角为与所成的角，为，因为PO=1，OA=2，所以PA=由条件可知，PA=PB=PC=PD，所以三角形中，cos∠PAD=3+4−3所以异面直线与所成角的余弦值为33，故A正确对于选项B.由条件可知，cos∠PAD=33所以三角形的面积为12×2×设正四棱锥内切球的半径为，则13×42所以内切球的表面积为4πr2=对于选项C.利用等体积转化，设点到平面的距离为，VP−BCD=VD−PBC即13×12设和平面所成角为，sinθ=hDP=23对于选项D.因为AD//BC，易知AD//平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即，故D错误.11.已知函数，其中，e为自然对数的底数，下列结论中正确的有（）A.当时，fx的最小值为0B.若方程有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是C.若对任意恒成立，则实数a的取值范围是D.当时，fx有且仅有3个零点答案：ABD解析：思路：A根据得到函数的导函数，求，得到，再根据函数的单调性得到最小值，B令，讨论a的取值范围，根据函数的单调性以及零点求解即可，C讨论a的取值范围寻找特殊点的函数值，利用函数的单调性求解，D首先分析函数的单调性，得到的极值点，再分析的符号，进而得到的零点.解答过程：因为，所以.对于A，当时，，，令，解得.当时，，所以f′(x)<0，所以f(x)在上单调递减；当时，，所以f′(x)>0，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)在处取得最小值，最小值为，A正确；对于B，因为，所以.令，则问题等价于函数g(x)有两个不同的零点.因为，若，，所以g(x)单调递增，则函数g(x)最多有一个零点，不符合题意；若，令，得，当时，，g(x)单调递增；当时，，g(x)单调递减，所以g(x)在处取得极小值，且极小值为，要使函数g(x)有两个不同的零点，则.因为，则，即，解得.又当时，，，所以；当时，函数的增长远快于一次函数，所以.综上，当时，函数g(x)有两个不同的零点，B正确；对于C，要使f(x)≥0对任意x∈(0,+∞)①当时，由A知，f(x)≥0恒成立，符合要求；②当时，在上单调递增，，，故存在，使得.f(x)在上单调递减，在上单调递增，因此，不符合要求；③当0<a≤1时，取，；取，，均不满足f(x)≥0恒成立；④当时，，不符合要求.综上，当且仅当时满足条件，C错误.对于D，当时，，.令，则.令，得，当时，，当时，，因此在上单调递减，在上单调递增，所以.结合时，可知有两个不同的实数根x1,x2分别对应f(x)的极大值点，极小值点.又，所以，f(x)在上单调递减，且，所以f(x)在上有1个零点，且；f(x)在上单调递增，又当时，，，所以f(x)在上有1个零点；f(x)在上单调递增，又当时，，，所以f(x)在上有1个零点.综上，f(x)有且仅有3个零点，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知各项均为正数的等比数列满足，则______．答案：27解析：思路：由对数的运算性质和等比中项的性质求解.解答过程：由题知，，由等比中项，则，则（负值舍去）.13.已知双曲线：的右焦点为F，坐标原点为，以线段OF为直径的圆与的一条渐近线交于异于点的另一点．若OA= 3AF，则的离心率为_________．答案：2解析：思路：设点为第一象限的点，求得，再利用公式可计算出双曲线的离心率.解答过程：设点为第一象限的点，则以为直径的圆交双曲线的渐近线于点，则，且，，因此，双曲线的离心率为23314.在三棱锥中，侧棱，PB，PC两两互相垂直，且．若为空间内一点，且，，则的最大值为_________________．附：柯西不等式：，其中a，b，，，，，当且仅当（约定：若分母为0，则对应的分子也为0）时等号成立．答案：解析：思路：由侧棱，PB，PC两两互相垂直，建立空间直角坐标系，设由，得到，再利用柯西不等式结合．得到，然后利用数量积的坐标运算得到求解.解答过程：在三棱锥中，侧棱，PB，PC两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系：设则，所以，则，，则，解得，因为，所以．所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，，而在上单调递增，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为深入落实科教兴国战略，提升中学生航天科学素养，某地市教育局联合航天科技馆开展“航天科普进校园”系列研学实践活动，研学参与者均参加科创竞赛．为了解研学活动参与时长与学生科创竞赛获奖的关联性，从参与本系列研学活动的学生中随机抽取100名，统计他们的研学累计参与时长（规定：累计参与时长课时为长时研学，<6课时为短时研学）与科创竞赛获奖情况，得到如下列联表：研学时长科创竞赛合计获奖未获奖长时研学251540短时研学105060合计3565100（1）从本次抽取的科创竞赛获奖的学生中，按研学时间长短分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选取3名作为代表参加航天科普宣讲会，求选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率；（2）依据的独立性检验，能否认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关？附：，其中n=a+b+c+d．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）47（2）能认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关解析：思路：（1）由分层抽样确定各层人数，然后根据古典概型求概率；（2）提出零假设，计算χ2统计量，比较临界值得出结论（1）分层抽样中，长时研学人数为人，短时研学人数为人，选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率为.（2）零假设H0，所以拒绝零假设H0依据的独立性检验，能认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关.16.在△ABC中，内角，，的对边分别为a，b，，满足．（1）求角的大小；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理及降幂公式化简已知方程，再利用辅助角公式求出角；（2）由余弦定理得到方程，根据重要不等式得出面积的最值.（1），即，因为，所以，即，则，即，因为B∈(0,π)，所以，.（2）由余弦定理得，即，因为，所以，，当且仅当时等号成立.17.如图1，在平面四边形中，△ABC是以为斜边的等腰直角三角形，，△ACE是边长为2的等边三角形．现将△ACE沿翻折至的位置，使得，如图2．（1）设为的中点，证明：平面；（2）求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值．答案：（1）因为为的中点，是边长为2的等边三角形，所以，且.如图，连接，在等腰中，，又，满足，所以，即.又，且平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）根据等边三角形的性质以及勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面ACD与平面BCD的夹角的余弦值.（1）略（2）由(1)知平面，以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则因为平面位于平面内，易知平面的一个法向量为又.设平面BCD的法向量为，则，得，令，得，即平面的一个法向量为.设平面与平面BCD的夹角为.因为，，所以.故平面与平面夹角的余弦值为.18.已知椭圆：x2a2+y2b（1）求的标准方程；（2）设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且OM⊥ON．（ⅰ）证明：点到直线的距离为定值；（ⅱ）求面积的最大值．答案：（1）x2（2）（ⅰ）设直线的斜率存在，其方程为y=kx+mm≠0，Mx联立y=kx+mx24+y2则Δ=4km2化简得4k2-m因为OM⊥ON，所以OM⋅ON=0，即而y1代入得1+k2所以1+k2整理得3m2-4k2-4=0所以点到直线的距离d=|m|1+k由3m2=4当直线的斜率不存在时，设：x=t，代入椭圆方程得y2=21-则Mt,y,Nt,-y，由OM⊥ON，得即t2=21-t24综上，点到直线的距离为定值233.（ⅱ）解析：思路：（1）根据椭圆的离心率，