黑龙江省佳木斯市第八中学2025~2026学年高一下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学分值：150分考试时间：120分钟第I卷（选择题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A.长度相等的两个向量一定是相等向量 B.方向相同或相反的两个向量叫做共线向量C.零向量没有方向 D.平行向量的方向一定相同2.复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（）A.3 B.5 C.6 D.84.在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上中点，记，，则（）A. B.C. D.5.如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（）A. B.C. D.6.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.27.在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形8.在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积是A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱B.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D.相等的角在直观图中仍然相等．10.甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（

）A.两两互斥 B.C.事件与事件相互独立 D.11.已知向量，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若且，则C.的最大值为D.若在上的投影向量为，则向量与的夹角为第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学生最近五次考试的数学成绩分别为125，133，117，135，120，则该学生最近五次考试的数学成绩的平均分为______．13.已知向量，，则在上的数量投影为_____．14.如图，在平行六面体中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为_____.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）化简；（2）把满足，的向量、用、表示出来.16.一个袋子里有5个红球，3个白球，2个黑球，每次从袋子里取出一个球.（1）若每次取球后都放回，连续取3次，求3次都取到红球的概率;（2）若每次取球后都放回，连续取3次，求至少有一次取到白球的概率;（3）若每次取球后不放回，连续取3次，求第一次取到红球，第二次取到白球，第三次取到黑球的概率.17.某市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照，，，分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的值以及所有样本的平均用电量；（每组数据用该组的区间中点值作代表）（2）该市政府希望使85%的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值（保留整数），并说明理由．18.在中，角的对边分别为，.（1）求；（2）若，，求的面积.19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

数学分值：150分考试时间：120分钟第I卷（选择题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A.长度相等的两个向量一定是相等向量 B.方向相同或相反的两个向量叫做共线向量C.零向量没有方向 D.平行向量的方向一定相同答案：B解析：解答过程：对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A错误；对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B正确；对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C错误；对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D错误.2.复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：根据复数除法的运算法则，结合复数在复平面内对应的点的坐标进行判断即可.解答过程：因为，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，它在第二象限，故选：B3.已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（）A.3 B.5 C.6 D.8答案：B解析：思路：根据球O和圆柱的空间位置关系，结合勾股定理即可求出．解答过程：由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示，由题意可知，，则在直角中，．故选：B．4.在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上中点，记，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由向量运算的三角形法则，用，表示即可.解答过程：故选：C.5.如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：把直观图还原成原来的图形，则原图形是平行四边形，根据斜二测画法法则求得原图形的面积.解答过程：直观图还原成原来的图形，由斜二测画法，得，且，且为平行四边形，如下图所示，所以原图形平行四边形的面积为.6.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.2答案：B解析：解答过程：因为，所以，解得，则，由模长公式得，故B正确.7.在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形答案：C解析：解答过程：由及正弦定理，得，因为，所以，代入得，即，因为，所以，故，因为，所以，即的形状为直角三角形．8.在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积是A. B. C. D.答案：D解析：思路：将该几何体补形为长方体，其外接球恰好为长方体的外接球，从而即可求解.解答过程：解：由题意，如图所示，该几何体可以补形为长方体，其外接球恰好为长方体的外接球，因为，，，所以长方体的体对角线长为，即外接球的直径，所以该四面体外接球的表面积是.故选：D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱B.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D.相等的角在直观图中仍然相等．答案：BC解析：思路：根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果.解答过程：对于A，如图所示，由图知，该几何体上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误；对于B，由平行六面体的概念和性质可知：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确；对于C，根据正棱锥的概念和性质可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；对于D，相等的角在直观图中不一定相等，比如直角在直观图中可能变为或，故D错误.10.甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（

）A.两两互斥 B.C.事件与事件相互独立 D.答案：ABD解析：思路：根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.解答过程：对于A，因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，A正确；对于BD，由题，BD项正确；对于C，因为，，，所以，而，，所以，即事件与事件不相互独立，C错误．11.已知向量，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若且，则C.的最大值为D.若在上的投影向量为，则向量与的夹角为答案：ABD解析：思路：对于A，利用向量垂直的坐标表示化简即可判断；对于B，利用向量平行的坐标表示化简即可判断；对于C，利用代入向量的数量积计算即可求解；对于D，利用投影向量公式化简即可求解.解答过程：已知，，，.选项A：若，则，得，A正确.选项B：若，则，得，又，所以，B正确.选项C：，最大值为，C错误.选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确.第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学生最近五次考试的数学成绩分别为125，133，117，135，120，则该学生最近五次考试的数学成绩的平均分为______．答案：126解析：解答过程：该学生最近五次考试的数学成绩的平均分.13.已知向量，，则在上的数量投影为_____．答案：解析：解答过程：已知向量，，，，所以在上的数量投影为．14.如图，在平行六面体中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为_____.答案：解析：思路：由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值.解答过程：因为，，可得，，又因为，，可得，，所以直线与直线所成角的余弦值为.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）化简；（2）把满足，的向量、用、表示出来.答案：（1）；（2），.解析：思路：（1）去括号，合并同类项即可得出结果；（2）建立方程组，解出和即可.解答过程：（1）原式；（2）由已知得，①②得，①②得，因此，，.方法提示：本题考查向量加减法的运算律，同时也考查了方程思想的应用，考查计算能力，属于基础题.16.一个袋子里有5个红球，3个白球，2个黑球，每次从袋子里取出一个球.（1）若每次取球后都放回，连续取3次，求3次都取到红球的概率;（2）若每次取球后都放回，连续取3次，求至少有一次取到白球的概率;（3）若每次取球后不放回，连续取3次，求第一次取到红球，第二次取到白球，第三次取到黑球的概率.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据独立事件的乘法公式结合古典概率的计算公式求解；（2）根据独立事件的乘法公式结合对立事件的概率求解；（3）先按照“第一次红→第二次白→第三次黑”的顺序，依据取球后不放回的规则求出相应的概率，再根据乘法原理求解.（1）每次取到红球的概率均为，因为每次取球相互独立，所以3次都取到红球的概率为.（2）每次取不到白球的概率均为，因为每次取球相互独立，所以连续3次都取不到白球的概率为××=，所以至少有一次取到白球的概率为.（3）第一次取到红球的概率为，第一次取完红球后，袋子里还有4个红球，3个白球，2个黑球，共9个球.第二次取到白球的概率为，第二次取完白球后，袋子里还有4个红球，2个白球，2个黑球，共8个球.第三次取到黑球的概率为.所以第一次取到红球，第二次取到白球，第三次取到黑球的概率为.17.某市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照，，，分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的值以及所有样本的平均用电量；（每组数据用该组的区间中点值作代表）（2）该市政府希望使85%的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值（保留整数），并说明理由．答案：（1），395千瓦时．（2），理由见解析解析：思路：（1）根据频率和为1求，再根据频率分布直方图求平均数；（2）根据频率分布直方图求第85百分位数.（1）由题意有，解得，则所有样本的平均用电量为千瓦时．（2）前5组的频率和为，前6组的频率和为，，，解得．18.在中，角的对边分别为，.（1）求；（2）若，，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过余弦定理直接求角；（2）先求，再利用两角和的正弦公式求，最后用正弦定理求边长，进而计算面积.（1）由余弦定理：已知，即，代入，得：又，故.（2）已知，且，则：，由，得：，由正弦定理，，所以19.如图，在