黑龙江省佳木斯市第一中学2025~2026学年高一下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学总分：150分一、单选题(本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C. D.2.某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（）A.40人 B.36人 C.30人 D.24人3.已知向量，向量，则实数x等于A.9 B.4 C.0 D.4.已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则5.如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（）A. B. C. D.6.在中，，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形7.如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是的中点，是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.8.如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.(在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9.（多选）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（

）A.该校高一学生总数为B.该校高一学生中选考物化政组合的人数为C.该校高一学生中选历史的占50%D.从该校高一学生随机抽取一学生，该学生选考物理与选考地理的可能性相同10.（多选）下列四个命题为真命题的是（

）．A.若，则为钝角三角形B.若向量，，则在上的投影向量为C.已知三边满足，则D.已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件11.在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）A.当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值B.若平面，则AQ的最小值为C.若的外心为M，则为定值2D.若，则点Q的轨迹长度为三.填空题：本题共3小题，共15分12.样本数据13，10，14，24，20，15，22，14的上四分位数为_________．13.已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____．14.在平面四边形中，__________；若为边上的动点，且，则的取值范围为__________.四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题：（1）用、、表示向量，并求；（2）求直线和夹角的余弦值.16.某市举行了数学竞赛选拔考试，参加的学生众多，为了解本次考试的成绩分布情况，抽取出100名学生的成绩进行分析，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计样本中成绩低于65分的人数（2）估计这100名学生成绩的平均数和第85百分位数；（3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取40人，若成绩在中的平均数和方差分别为62和40，成绩在中的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这两组成绩总体的方差．（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差17.如图，在四棱台中，，，；，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为．（1）求；（2）若，求内切圆面积的最大值；（3）若为锐角三角形，，求线段的取值范围．19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，G为线段上一动点（含端点）.（1）证明：平面；（2）若，点Q是三棱锥的外接球上一动点，求的取值范围；（3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，，求的最大值.

数学总分：150分一、单选题(本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C. D.答案：C解析：思路：根据复数的运算与复数的概念求解即可.解答过程：由题意得，，所以复数的虚部为.故选：C.2.某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（）A.40人 B.36人 C.30人 D.24人答案：D解析：思路：确定高一、高二、高三的人数比，由分层抽样特征即可求解；解答过程：由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为，根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有人，故选：D3.已知向量，向量，则实数x等于A.9 B.4 C.0 D.答案：A解析：思路：算出的坐标利用可得的值.解答过程：，又，故，所以，故选A.方法提示：向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.4.已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：A解析：思路：运用面面垂直判定定理可判断A，借助长方体举反例可判断BCD.解答过程：对于A，若，，则，且，则.故A正确.对于B,如图所示，，，，，此时，故B错误.对于C,如图所示，，，，，此时异面，故C错误.对于D,如图所示，，，，，此时，故D错误.故选：A．5.如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据空间向量的线性运算求解即可.解答过程：由题意，,故选：A6.在中，，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形答案：D解析：思路：由正弦定理和三角恒等变换得到或，得到三角形形状解答过程：，由正弦定理得，故，又，，所以，所以，即，所以或，由得或（舍去），由得，故这个三角形一定是等腰或直角三角形7.如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是的中点，是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：延长至点，使，连接，，，得到为异面直线与所成的角（或补角），再解即得解.解答过程：延长至点，使，连接，，．因为是母线的中点，所以，所以为异面直线与所成的角（或补角）．由题意知，，又是的中点，所以，所以在中，．因为，所以，所以．在中，，则由余弦定理得，故选：A．方法提示：方法点睛：异面直线所成的角的求法：方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）；方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.8.如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案.解答过程：如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点.设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面.过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面.因为，，所以，.取的中点E连接，，可得，，则.设，连接，，则，解得，故三棱锥外接球的表面积为.二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.(在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9.（多选）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（

）A.该校高一学生总数为B.该校高一学生中选考物化政组合的人数为C.该校高一学生中选历史的占50%D.从该校高一学生随机抽取一学生，该学生选考物理与选考地理的可能性相同答案：AD解析：解答过程：对于A，该校高一学生总数为人，A正确；对于B，该校高一学生中选考物化生组合的人数为，所以该校高一学生中选考物化地和物化政组合的总人数为，又选考物化地和物化政组合的人数相等，所以该校高一学生中选考物化政组合的人数为人，B错误；对于C，该校高一学生中选历史的人数有，占总人数的，C错误；对于D，该校高一学生中选物理的人数有人，选地理的人数有人，所以在该校高一学生中随机抽取一学生，该学生选考物理与选考地理的可能性相同，均为，D正确.10.（多选）下列四个命题为真命题的是（

）．A.若，则为钝角三角形B.若向量，，则在上的投影向量为C.已知三边满足，则D.已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件答案：ABD解析：解答过程：对于A，因为，，所以，所以为钝角，所以为钝角三角形，A正确；对于B，在上的投影向量为，B正确；对于C，，所以，又，所以，所以，因为，所以，C错误；对于D，若与的夹角为钝角，则，解得且，所以“”是“与的夹角为钝角”必要不充分条件，D正确.11.在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）A.当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值B.若平面，则AQ的最小值为C.若的外心为M，则为定值2D.若，则点Q的轨迹长度为答案：ABD解析：思路：由题易证得面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，可判断A；取的中点分别为，连接，由面面平行的判定定理可得平面面，因为面，所以平面，当时，AQ有最小值可判断B；由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断C；在上取点，使得，易知点Q的轨迹为圆弧可判断D.解答过程：对于A，因为，又因为面，面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；对于B，取的中点分别为，连接，则易证明：，面，面，所以面，又因为，，面，面，所以面，，所以平面面，面，所以平面当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；对于C，若的外心为M，，过作于点，则.故C错误；对于D，过作于点，易知平面，在上取点，使得，则，所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，又因为所以，则圆弧等于，故D正确.故选：ABD.三.填空题：本题共3小题，共15分12.样本数据13，10，14，24，20，15，22，14的上四分位数为_________．答案：21解析：解答过程：将数据从小到大排序得：，，所以该组数据的上四分位数为.13.已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____．答案：##解析：思路：由直二面角得到、，根据勾股定理得到，，求出，求出，求出，设点到平面的距离为，由计算出则.解答过程：直二面角，棱为，因为，，，，所以，，，，，，，，，，，所以，因为，，所以平面，即是三棱锥的高，且，，故，在Rt中，，，设点到平面的距离为，，则，解得，即.14.在平面四边形中，__________；若为边上的动点，且，则的取值范围为__________.答案：①.②.解析：思路：由可知平面四边形是平行四边形，由可知四边形是菱形且边长为2，由可知，即可求出相关的角度和长度，再利用向量极化恒等式，即可求解.解答过程：如图，设交于，.不妨设点到点的距离大于点到点的距离，因为且，所以平面四边形是平行四边形，设，所以，所以，所以，则平面四边形是菱形，又，所以，所以，又，则，所以，所以，设的中点为，则，所以，又易知的最小值为，最大值为，所以的最小值为，最大值为，所以的取值范围为.故答案为：，四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题：（1）用、、表示向量，并求；（2）求直线和夹角的余弦值.答案：（1），.（2）解析：思路：（1）利用向量的线性运算和模长公式求解；（2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦.（1），由已知可得，，因此，.（2）由（1）知，因为，所以，所以；且，所以cosA即直线和夹角的余弦值为.16.某市举行了数学竞赛选拔考试，参加的学生众多，为了解本次考试的成绩分布情况，抽取出100名学生的成绩进行分析，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计样本中成绩低于65分的人数（2）估计这100名学生成绩的平均数和第85百分位数；（3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取40人，若成绩在中的平均数和方差分别为62和40，成绩在中的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这两组成绩总体的方差．（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差答案：（1），（2）平均数为，第85百分位数为．（3）．解析：思路：（1）根据各组频率之和为1即得；（2）根据平均数和百分位数的计算公式即可求解；（3）根据分层抽样比，结合总体方差和平均数的计算公式即可求解.（1）由图可得，解之可得，样本中成绩低于65分的人数有人；（2）根据题意知，，，设第85百分位数为，所以，，解之可得，故这100名学生的成绩平均数为69.5，第85百分位数为80．（3）设，中成绩的平均数、方差分别为，，，，且两组的频率之比为，则，中成绩的平均数为，所以，中成绩的方差为，则，中成绩的方差为．17.如图，在四棱台中，，，；，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用余弦定理及勾股定理逆定理证明，进而得到，再结合已知条件证明和，利用线面垂直判定定理即可得证.（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量夹角公式求解．（1）在中，，，，由余弦定理得，所以．因为，所以，即．又因为，所以．在中，，，，因为，所以，即．又因为，即，且，平面，所以平面．（2）由（1）知平面，且，故以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．则，，，．因为，，且，所以．因为四棱台中，，，所以，所以．同理，，，所以，．平面即平面，其一个法向量为．设平面的法向量为，，，则，令，则，所以．设平面与平面的夹角为，则．所以平面与平面夹角的余弦值为．18.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为．（1）求；（2）若，求内切圆面积的最大值；（3）若为锐角三角形，，求线段的取值范围．答案：（1）或（2）（3）解析：思路：（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对已知条件进行化简，再根据角的范围，判断方程可能得解，求出结果；（2）根据余弦定理解三角形，判断的具体结果，再根据余弦定理和基本不等式求出三角形周长的范围，进而根据内切圆半径的性质求出半径的范围，进而求出面积的最大值；（3）根据三角形形状，判断角的范围，再根据正弦定理和三角形中线的向量性质，进而根据向量的数量积运算率，表示出模长的表达式，进而求出线段长度的范围.（1）由题意可知，化简得，可得，因为，所以，可得或，解得或.（2）由题意可得，化简得，所以，所以由（1）可知，可得，可知，化简得，即，可得.由基本不等式可知，即，当且仅当时取等号，所以，由，解得.设内切圆半径为，则