第5章 分式（压轴题专练）-浙教版七年级数学下册复习

第5章分式（压轴题专练）

一.选择题（共8小题）

1.（2023秋•洪山区期末）若2xy-x+v=0且肛W0,则分式上」的值是（）

xy

A.-2B.2C.xyD.—

xy

2.（2024•汉川市模拟）已知f-x-6=0,则—的值是（）

X2+3X-6

A.AB.Ac.2D.1

323

3.（2024•广平县模拟）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招

标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元.指挥中心的负责人根据甲乙

两厂的投标测算，可有三种施工方案：

方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；

方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天；

方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成.

在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（）

A.方案①B.方案②

C.方案③D.方案①和方案③

4.（2023秋•研口区期末）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家.在欧拉的著

作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带

鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个

克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），“第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡

蛋就只能卖皎个克罗索此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是（）

3

A.2个克罗索B.2个克罗索

34

C.2个克罗索D.2个克罗索

56

2

5.（2023・上海）在分式方程号+二^=5中，设安=y，可得到关于y的整式方程为（）

x22x-lx2

A.）2+5），+5=0B.y2-5y+5=0C.）2+5y+l=0D.y1-5y+l=0

6.（2019•拱墅区校级模拟）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高。厘米的墨水，将瓶

盖盖好后倒置，墨水水面高为〃厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）

7.（2023春•吴兴区校级期末）新定义：若两个分式A与B的差为〃（〃为正整数），则称A

是N的“〃怎分式”.例如：则称分式上是分式，的“1怎分式”.根据

X-1X_1X-1X-1

以上定义，下列选项中说法错误的是（）

A.里坦是左3的“3卷分式”

x+2x+2

B.若。的值为-3,则曲是些电的“2①分式”

3+2x3+2x

C.若02ab是__的“]/分式”,则/=3/

a2-4b2a-2b

则是的“5密分式”

D.若。与〃互为倒数,

22

a+ba+b

8.（2023春•拱墅区期末）设mb为实数,多项式■+〃）（2户〃）展开后犬的一次项系数为

p,多项式（2x+。）（x+/?）展开后x的一次项系数为4：若〃+夕=6,且〃，g均为正整数，

则（）

A.a。与且的最大值相等，必与亘的最小值也相等

bb

B.。匕与且的最大值相等，R,与包的最小值不相等

bb

C.与反的最大值不相等，。力与包的最小值相等

bb

D.4b与旦的最大值不相等，。而与国的最小值也不相等

bb

二.填空题（共6小题）

9.（2023秋•朝阳区期末）若分式的值为整数，则x的整数值为

2x+l

10.（2023秋•丹江口市期末）关于x的方程贮L=无解，则〃?的值为__________.

x-l1-x

11.（2023秋•玄武区期末）小刚、小强两人沿同一直道匀速从A地去3地.小即骑自行车，

小强步行，小刚的速度是小强的2倍.若小强比小刚早1〃血从A地出发，晚5〃〃・〃到达8

地，则小强整个行程所用的时间为

12.（2022秋•沙依巴克区校级期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两

次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800必，乙每次用

去600元，设两次购买的面粉单价分别为。元/依和6元/依（〃，8是正数，且。#6）,那

么甲所购面粉的平均单价是元/依，乙所购面粉的平均单价是

元/依；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均

单价的差值为元/版.（结果用含。，。的代数式表示，需化为最简

形式）

13.（2023春•德消县期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛

书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1）,将9个数填在3X3（三行

三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，

就得到一个广义的三阶幻方.如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三

阶幻方，则a+b=______.

14.（2023春•嘉兴期末）现有4,B两袋糖果，其中4袋中水果糖的重量占〃％,其余都为

奶糖，B袋中奶糖的重量占匕％,其余都为水果糖.将两袋糖果混合在一起，发现水果糖

的重量占总重量的20%.

（1）当a=b=10时，原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比为.

（2）当b=4H0V〃V2（n时，原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比为.

三.解答题（共H小题）

2

15.（2024•南山区一模）先化简（x-卜旦）/；一4,然后从-1,1,-2,2中选一个合

x+1X2+2X+1

适的数代入求值.

3

16.（2023秋•石景山区期末）已知。2+。・1=0,求代数式（=__1）+£-a的值.

aTa-2a+l

2

17.（2023秋•重庆期末）先化简，再求值：2-m~n4-5+2-2二1），其中〃?，〃满足（小

m+nm-2m-2

-1）W+6/?+9=0.

18.（2023秋•成武县期末）（1）若方程咨+5j有增根，则增根是

x-33-x

（2）若方程或十布•增根，求利的值.

x-33-x

19.（2023春•宜宾月考）已知关于x的方程上-1六__

x-3（x-3）（x-4）

（1）〃?为何值时，这个方程的解是5?

（2），"为何值时，这个方程有增根？

20.（2023春•义乌市月考）（1）已知关于x的分式方程

x-11-x

①当4=5时，求方程的解.

②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求。的值.

（2）关于x的方程1nxT〃1=2有整数解，求此时整数〃z的值.

x-22-x

21.（2024春•合川区月考）随着人们健康意识提升，运动锻炼需求增多，越来越多的人愿意

为保持健康付出更多努力,跑步作为老少皆宜的运动方式，进入门槛低，吸引了大量群众

加入，掀起全民跑步热潮.甲、乙两人相约去环形运动场进行跑步锻炼，绕环形运动场跑

步一圈的里程为400米.

（1）甲进行变速跑训练.先以一定的速度绕运动场跑完2圈后立即提速20%并以该速度

跑完2圈后停止跑步，若提速后所用的时间比提速前少3秒，求甲提速前每秒跑多少米？

3

（2）甲、乙同时同起点出发（甲、乙两人分别以一定的速度匀速跑步）.若同向而行，640

秒后两人第一次相遇；若相向而行，侬秒后两人第一次相遇.已知甲比乙跑得慢，求甲、

9

乙两人每秒各跑多少米？

22.（2024春•开州区月考）列方程解应用题；

中国最重要的传统节日之一春节，除了有热烈的庆祝活动和丰盛的美食外，长辈发压岁钱

给晚辈表达美好的祝福也是春节习俗的重要组成部分.为迎接2024年龙年春节的到来，某

工厂计划安排甲车间生产16000个龙年布艺红包袋.根据现有设备和工艺，甲车间每天可

生产360个布艺红包袋，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙

车间每天可生产680个布艺红包袋.

（1）从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要多少天？

（2）由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生

产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间.改进后甲、乙两车间每天生产的

布艺红包袋数量之比为7：13,且改进工艺后甲车间完成剩下生产任务的天数比乙车间完

成剩下生产任务的天数多6天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺红包袋？

23.(2023春•滨江区期末)已知，=包口(mb是常数，①

x+a

(1)若a=・2,〃=工求才；

2

(2)试将等式①变形成“­=8”形式，其中A,8表示关于/〃，/的整式;

(3)若，的取值与x无关，请说明-1.

24.(2023秋•岱岳区期末)阅读下面材料，解答后面的问题

解方程：XT4x=0.

XX-1

2

解：设y±l,则原方程化为：y-l=c,方程两边同时乘y得：V-4=0,

xy

解得：y=±2f

经检验：y=±2都是方程y-l=o的解，，当y=2时，亘=2,解得：工=一1，

yx

当y=-2时，工1=一2,解得：x=L经检验：A=-1或X」都是原分式方程的解，

X33

・・・原分式方程的解为x=-1或x=l.上述这种解分式方程的方法称为换元法.

x3

问题:

(1)若在方程亘一^寸中，设y±l,则原方程可化为：______________________

4xx-lx

(2)利用上述方法解方程：xT和+2

x+2x-l

(3)模仿上述换元法解方程组：::.

-^-=7

25.（2023春•嘉兴期末）甲、乙两小区准备安装A、〃两款智能快递柜，每个3款能满足快

递需求人数比A款多20人.已知甲、乙两小区有快递需求居民分别有280人、420人.如

果甲小区全部安装A款智能快递柜，乙小区全部安装8款智能快递柜，那么刚好满足两小

区所有居民的快递需求且安装个数相同.

A款B款

（1）设每个A款能满足快递需求人数为加人，求相的值.

（2）如果甲小区安装4款和B款智能快递柜共7个，其中安装A款的个数比安装B款的

2倍还多1个，分别求甲小区A款和B款的安装个数，并说明这样安装能否满足甲小区所

有居民的快递需求.

（3）已知购买A款需6000元/个，购买8款需6800元/个，请你帮助乙小区设计一个购买

方案，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，并说明理由.

第5章分式（压轴题专练）

一.选择题（共8小题）

1.（2023秋•洪山区期末）若2xy-x+v=0且肛W0,则分式上」的值是（）

xy

A.-2B.2C.xyD.—

xy

【分析】求出y・x=-2xj,通分，再代入求出答案即可.

【解答】解：:2Q7+尸0,

•*.y-x=-2xyt

■..I1一1

xy

-y-x

xy

--2xy

xy

=-2.

故选:A.

2.（2024•汉川市模拟）已知A27-6=0,则—的值是（）

X2+3X-6

A.-i-B.C.—D.1

323

【分析】先把已知条件变形为f-x=6,再将分式.2x变形为,整体代入

x"+3x-6xJ-x+4x-6

计算即可.

【解答】解：,・・『7・6=0,

.*.x2-x=6,

.2x

**2.~~7

x+93x-b

2x

2

x-x+4x~6

=2x

6+4x-6

=2x

不

,1

2，

故选：B.

3.（2024•广平县模拟）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招

标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元.指挥中心的负责人根据甲乙

两厂的投标测算，可有三种施工方案：

方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；

方案②：乙队单独完成这项任务比规定口期多用5天；

方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成.

在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（）

A.方案①B.方案②

C.方案③D.方案①和方案③

【分析】设甲队单独完成此项任务需龙天，则乙队单独完成此项任务需（x+5）天.根据甲

乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成.列出分式方程，解方程，

即可解决问题.

【解答】解：设中队单独完成此项任务需x犬，则乙队单独完成此项任务需（.计5）天.

依题意得：'+上=1,

xx+5

解得：x=20.

经检验：x=20是原分式方程的解，且符合题意，

・・・（x+5）=25

这三种施工方案需要的费用为：

方案①：1.5X20=30（万元）；

方案②：1.1X（20+5）=27.5（万元），但乙队单独完成这项任务超过了日期，不能选；

方案③：1.5X4+1.1X20=28（万元）.

V30>28,

・••第③种施工方案最节省费用，

故选：C.

4.（2023秋•研口区期末）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家.在欧拉的著

作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了1（）0个鸡蛋去集市，两人所带

鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个

克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡

蛋就只能卖当个克罗索.”此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是（）

A.2个克罗索B.2个克罗索

34

C.《个克罗索D.J个克罗索

56

【分析】设第一个农妇所带鸡蛋个数为x个，利用两人卖的钱数相同列出方程，解方程即

可得出结论.

【解答】解：设第一个农妇所带鸡蛋个数为x个，则第二个农妇所带鸡蛋个数为（100・x）

个，由题意得：

20

15.广且・（100-X）,

100-xx

解得：x=40.

经检验，x=40是原方程的根，

・・・第一个农妇的每个鸡蛋价格是小次=［（元）.

100-404

故选：B.

2

5.（2023•上海）在分式方程号+4=5中，设安=），,可得到关于），的整式方程为（）

x22x-lx2

A.），2+5），+5=OB.），2-5y+5=0C.y2+5y+l=0D./-5y+l=O

2

【分析】设安=y,则/==工，原方程可变为：y+l=5,再去分母得）2+1=5y,即可

2x-lyy

得出结论.

2

【解答】解：设卷=），，则丁7=』，

X22x-ly

分式方程^可变为：y+l=5f

X22x-ly

去分母得：卢1=56

整理得：y2-5y+l=0,

故选：O.

6.（2019•拱墅区校级模拟）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高。厘米的墨水，将瓶

盖盖好后倒置，墨水水面高为万厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）

A.B.—C.D.

a+ba+ba+ba+h

【分析】设第一个图形中下底面积为未知数，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二个

图可得空余部分的体积，进而可得玻璃瓶的容积，让求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即

可.

【解答】解：设规则瓶体部分的底面积为s平方厘米.

倒立放置时，空余部分的体积为加立方厘米，

正立放置时，有墨水部分的体积是公立方厘米，

因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的*一=3.

as+bsa+b

故选：A.

7.（2023春•吴兴区校级期末）新定义：若两个分式A与B的差为〃（〃为正整数），则称A

是B的“〃①分式”.例如：士—二i，则称分式_三是分式士的“16）分式”.根据

X-1X-1X-1X-1

以上定义，卜列选项中说法错误的是（）

A.丝生是工2的“3卷1分式”

x+2x+2

B.若a的值为-3,则如是史地的“2国分式”

3+2x3+2x

C.若2ab是」—的“]O分式、则/=3必

a2-4b2a-2b

D.若。与〃互为倒数，则一^^是的“5您）分式”

a+ba+b

【分析】根据新定义运算逐个验证正确与否即可.

【解答】解：A、4说法正确;

B、徐瑞贵曾留=2,B说法正确;

2ab2

C、由己知条件得：09-^—=1＞化简得：a-2b\。说法错误;

a2-4b2a-2b

D由己知得

5a-5b_5ab-5ab_555_5二5行+1)

=5,0说法正确.

2-2―33上+3工1~~T+34=3.i

a+b，a%bab+bJa+ab1+ba+1,工)a+1aa+1

,a

故选：C.

8.（2023春•拱墅区期末）设mb为实数,多项式（A〃）（2x+b）展开后x的一次项系数为

p,多项式(2,vIa)(x»Z?)展开后x的一次项系数为q；若〃iq=6,且〃，q均为正整数,

则()

A.必与且的最大值相等，加与且的最小值也相等

bb

B.。匕与且的最大值相等，4b与旦的最小值不相等

bb

C.ab与且的最大值不相等，出7与包的最小值相等

bb

D.他与包的最大值不相等，岫与三的最小值也不相等

bb

【分析】先利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可表示出p,q,再分析即可.

【解答】解：(x+a)(2x+b)

=2x1+bx+2ax+ab

=2x2+(Z?+2Q)x+ab,

(2x+a)(尤+b)

=Ix^^lbx+ax+ab

=2.^+(2b+a)x+ab,

.・,多项式(x+a)(2x+b)展开后x的一次项系数为p,多项式(2x+a)(x+b)展开后x的

一次项系数为夕，

:・p=b+2a,q=2b+a,

・・・p+g=6,且p,g均为正整数,

•*./?+2。+2/?+。=6,

整理得：a+b=2.

又p=b+2a,q=2b+a,

♦•卬=。+2,q=b+2.

:・a=p-2,b=q-2.

:・ab=(〃-2)(i/-2)=pq-2(p+q)+4=〃(6・〃)-2X6+4=-p2+6p-8=-(〃-3)

2+1.

・・・p,夕均为正整数，

，〃的取值为1,2,3,4,5.

・•・而的最大值为1,"的最小值为-3.

•：a=p.2,b=q-2,

二2=Kj.=6-q2=-=q+22+4=_1+2(］金2).

bq-2q_2q-2q-2q-2

・・・p,夕均为正整数，

・・・g的取值为1,2,3,4,5.

・・・一的最大值为1,且的最小值为-3.

bb

故选项A正确，符合题意.

故选:A.

二.填空题（共6小题）

9.（2023秋•朝阳区期末）若分式7r9丁的值为整数，则x的整数值为0或-1.

【分析】根据分式的值为整数得到2计1=±1,2_r+l=±2,2x+l=±4,再求出整数x即

可.

【解答】解：・.,分式上的值为整数，

2x+l

Alv+1=±1,2v+l=±2,2x+\=±4,

解得x=0,x=-1,x=-—,x=—x=-—,

222f2

又・・h为整数，

・7=0,x=-1,

故答案为：。或・1.

10.（2023秋•丹江口市期末）关于x的方程图旦=1」-无解，则相的值为1或2.

x-11-x

【分析】根据分式方程无解的性质进行解分式方程即可.

【解答】解：贮

X-l1-X

方程转化为吗=1,，

X-lX-1

去分母，〃LV+1=X-1+3,

整理得，（〃？-1）x=l,

当机=1时，方程无解，

••IHW2.

・,・团=2,原分式方程无解.

故答案为：1或2.

11.（2023秋•玄武区期末）小刚、小强两人沿同一直道匀速从A地去B地.小冈！骑自行车，

小强步行，小刚的速度是小强的2倍.若小强比小刚早1加〃从A地出发，晚5加〃到达8

地，则小强整个行程所用的时间为12mhi.

【分析】设小强的速度为xmlmin,从A地去8地的距离为a，n,则小刚的速度为2xm/mint

根据小强比小刚早.〃从A地出发，晚5m证到达8地，列出分式方程，解方程，即可解

决问题.

【解答】解:设小强的速度为工加〃〃力,从A地去8地的距离为atn,则小刚的速度为2xtn!min,

小强整个行程所用的时间为国〃而，

x

由题意得：---=1+5,

x2x

解得：X=—Cb

12

经检验，是原方程的解，且符合题意,

12

・••且=4-=12,

x

12

即小强整个行程所用的时间为12〃”〃，

故答案为：12"〃力.

12.（2022秋•沙依巴克区校级期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两

次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800依，乙每次用

去600元，设两次购买的面粉单价分别为。元/总和〃元/依（a,方是正数，且那

么甲所购面粉的平均单价是小元/依，乙所购面粉的平均单价是①元/依;在甲、

-2——a+b—

(a-b)2

乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为兀

一2(a+b)-

/依.（结果用含〃，力的代数式表示，需化为最简形式）

【分析】根据题意可用含“，〃的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得,

进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值.

【解答】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：8°°a/°°b=a+b（元/依），

800+8002

乙购买面粉的平均单价是：臂+鬻=2：;（元/依），

600600a+b

-----+------

ab

在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：

22

a+b2ab(a+b)-4ab(a-b)（元/依）,

2a+b2(a+b)2(a+b)

故答案为：智2ab.(a-b),

a+b2(a+b)

13.（2023春•德清县期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛

书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1）,将9个数填在3X3（三行

三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，

就得到一个广义的三阶幻方.如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三

图2

【分析】根据“三阶幻方”的定义列出方程，并解答即可.

【解答】解：根据题意，得"3=2・2,

解得a=-3；

根据题意，得3・2+方-4=2+4+',

b+2

解得b=-3.

经检验h=-3是所列方程的根，且符合题意.

所以a+b=-3-3=-6.

故答案为：-6.

14.（2023春•嘉兴期末）现有A,8两袋糖果，其中4袋中水果糖的重量占〃％,其余都为

奶糖，B袋中奶糖的重量占8％,其余都为水果糖.将两袋糖果混合在一起，发现水果糖

的重量占总重量的20%.

（1）当。=6=1（）时，原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比为」

（2）当/7=4〃（0VaV20）时，原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比为80%.

【分析】（1）先设出A和B的重量，然后根据题目中的数据，求出A和B重量的关系，然

后即可求得原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比；

（2）先设出A和8的重量，然后根据题目中的数据，求出A和8重量的关系，然后即可

求得原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比.

【解答】解：（1）设A袋糖果的重量为〃2,3袋糖果的重量为〃，

由题意可得：a%m+n(l-b%)3%,

m+n

当a=b=10时，10》+9炮=20%,

mtn

化简，得：〃z=7〃，

・•・原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比为：a_X100%=-^-X100%=87.5%,

m+n7n+n

故答案为：87.5%；

(2)设A袋糖果的重量为〃2,8袋糖果的重量为小

由题意可得：a%m+n(bb%)=20%,

m+n

当b=4a(0<^<20)时，a%m+n(1-4a%)=20%,

m+n

化简，得："7=4〃，

・・・原来A袋的重量占混合后糖果总重量的百分比为：a-X100%=_”X100%=80%,

m+n4n+n

故答案为：80%.

三.解答题(共11小题)

2

15.(2024•南山区一模)先化简(x-1-旦).1一4,然后从一],],-2,2中选一个合

x+1X2+2X+1

适的数代入求值.

【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再从-1,1,

-2,2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可.

【解答】解：a-1-2)+等士

X+1X2+2X+1

_.(x-1)(x+1)3.(x+l)2

x+1x+1J-4

_x^-4.(x+1)2

x+1,>2-4

=x+1,

Vx+1^0,f+2x+lW0,W-4W0,

-1,xW±2,

•*»X=1r

当x=1时、原式=1+1=2.

16.(2023秋•石景山区期末)已知/+〃-1=0,求代数式(1__1)+『-a的值.

aTa-2a+l

【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘

法，最后代入求出答案即可.

3

【解答】解：3_1)子£F

a-2a+l

_a-(a-l)・a(a+1)(a-1)

aT.(a-l)*2

1.(a-l).

a-la(a+1)(a-l)

-1

a(a+1)

,1

a2.+a'

'：a2+a-1=0,

/.a2+a=1,

・••原式=；=1.

2

17.(2023秋•重庆期末)先化简，再求值：2(m+2-2―)，其中〃?，〃满足3n

m+nm-2m-2

-1)2+〃2+6〃+9=0.

【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，利用完全平方公式、非负数的性质

分别求出加、〃，代入计算即可.

22

【解答】解：原式=2-咤+(里二1-2二支)

m+nm-2m-2m-2

22

2o._nrn二m-n

m+nm-2m-2

2_nrn.m-2

m+nm-2(m+n)(m-n)

=2_1

m+nm+n

_--1,

m+n

(/n-1)2+n2+6n+9=0,

(77;-1)2I(7?I3)2=0,

/.m-1=0或,〃+3=0,

解得：m=l,n=-3,

则原式=，=_』.

1-32

18.（2023秋•成武县期末）（1）若方程虺^+衿旦有增根，则增根是文=3

x-33-x

（2）若方程鼻+54有增根，求，〃的值.

【分析】（1）根据题意可得：x・3=0,然后进行计算即可解答；

（2）利用（1）的结论，把x的值代入整式方程中进行计算，即可解答.

【解答】解：（1）・・•方程%+5*有增根，

x-33-x

/.x-3=0,

解得：x=3,

・•・增根是x=3,

故答案为：x=3；

3x+5（x-3）=-"z,

由（1）可得：x=3,

把4—3代入方程3x+5（x・3）一一加中得;

3X3+0=・〃？，

解得：加=-9,

19.（2023春•宜宾月考）已知关于，的方程-八m

x-3（x-3；（x-4）

（Dm为何值时,这个方程的解是5?

（2）相为何值时，这个方程有增根？

【分析】（1）把x=5代入，然后解关于加的方程即可；

（2）去分母化为整式方程，再求出方程有增根时x的值，代入整式方程即可求出〃z的值.

【解答】解：（1）・・•方程的解是5,

・.•把x=5代入娱-1二，，得

x-3（x-3）（x-4）

5m_____

言一1二（5-3）（5-4）’

解得加=3；

IB

(2)1(x-3)(x-4)

两边都乘以（x-3）（x-4）,得

x(x-4)-(x-3)(x-4)=m,

整理得3x・12=〃z,

•・,方程有增根，

.*.x=3或x=4,

当K=3时，

加=3X3-12=-3,

当x=4时，

〃?=3X4-12=0,

・・.m的值为-3或0・

20.（2023春•义乌市月考）（1）己知关于x的分式方程-

x-1lx

①当。=5时，求方程的解.

②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求。的值.

（2）关于x的方程啜出;2有整数解，求此时整数，〃的值.

【分析】（1）①把〃=5代入原方程中，然后按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答;

②先解分式方程可得x=。-2,再根据题意得：x=l,从而可得。-2=1,然后进行计算即

可解答；

（2）先解分式方程可得：3=工，再根据题意可得2-团=±1或2-m=±2且N-W2,

2-m2-m

然后进行计算即可解答.

【解答】解：（1）①当。=5时，分式方程为：上+2=1,

x-1l-x

5-3=x-1,

解得：x-3,

检验：当x=3时，x・1W0,

・・・x=3是原方程的根；

a-3—x-1,

解得：x=a-2,

由题意得：x-1=（）,

解得；x=l,

ci-2—1,

解得：4=3,

・•・〃的值为3；

nix-1-1=2(x-2),

・・,方程有整数解，

.,.2・〃？=±1或2・机=±2且一?一#2，

2~m

解得：〃2=1或3或（）或4且加W1,

/.m=3或0或4,

・••此时整数m的值为3或0或4.

21.（2024春•合川区月考）随着人们健康意识提升，运动锻炼需求增多，越来越多的人愿意

为保持健康付出更多努力,跑步作为老少皆宜的运动方式，进入门槛低，吸引了大量群众

加入，掀起全民跑步热潮,甲、乙两人相约去环形运动场进行跑步锻炼，绕环形运动场跑

步一圈的里程为400米.

（1）甲进行变速跑训练.先以一定的速度绕运动场跑完2圈后立即提速20%并以该速度

跑完2圈后停止跑步，若提速后所用的时间比提速前少号秒，求甲提速前每秒跑多少米？

（2）甲、乙同时同起点出发（甲、乙两人分别以一定的速度匀速跑步）.若同向而行，640

秒后两人第一次相遇；若相向而行，等秒后两人第一次相遇.已知甲比乙跑得慢，求甲、

乙两人每秒各跑多少米？

【分析】（1）先表示出提速前所用的时间，提速后所用的时间，再根据时间差为坨列出

3

分式方程，再求出解即可；

（2）根据两人所跑的路程和等于400,再根据两人所跑的路程差等于400列出方程组，再

求出解即可.

【解答】解：（1）设甲每秒跑步，〃米，由题意可得，

2X4002X400二160

m1.2m3

解得

经检验，制是原方程的解.

乙

答：甲每秒跑步2.5米；

（2）解：设甲、乙每秒分别跑步为x米，），米，由题意可得，

（x-Hy）X喑=400

«y,

（y-x）X640=400

解得，y^y--

答：甲、乙每秒分别跑步为g米，孕米.

28

22.（2024春•开州区月考）列方程解应用题:

中国最重要的传统节日之一春节，除了有热烈的庆祝活动和丰盛的美食外，长辈发压岁钱

给晚辈表达美好的祝福也是春节习俗的重要组成部分.为迎接2024年龙年春节的到来，某

工厂计划安排甲车间生产16000个龙年布艺红包袋.根据现有设备和工艺，甲车间每天可

生产360个布艺红包袋，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赴工，且乙

车间每天可生产680个布艺红包袋.

（1）从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要多少天？

（2）由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生

产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间.改进后甲、乙两车间每天生产的

布艺红包袋数量之比为7：13,且改进工艺后甲车间完成剩下生产任务的天数比乙车间完

成剩下生产任务的天数多6天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺红包袋？

【分析】（1）设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要1天，根据“甲、乙的工作量

之和为16000"列方程求解；

（2）设改进工艺后甲车间每天生产7〃?个，乙车间每天生产13机个布艺红包袋，根据“改

进后甲、乙两车间每天生产的布艺红包袋数量之比为7：13,且改进工艺后甲车间完成剩

下生产任务的天数比乙车间完成剩下生产任务的天数多6天”列方程求解.

【解答】解：（1）设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要1天，

则360x+680（x-4）=16000,

解得：x=18,

答：从开始加工到完成这批布艺红包袋.一共需要18天.

（2）设改进工艺后甲车间每天生产7〃?个，乙车间每天生产13小个布艺红包袋，

甲车间按原生产效率单独生产4天后还剩：16000-360X4=14560（个），

每个车间完成145604-2=7280（个）

由题意得：7280.7280飞,

7m13m

解得："2=80,

经检验：机=80是原分式方程的解，旦符合题意，

・,•甲车间每天生产7〃?=7）<80=560（个），

答：改进工艺后甲车间每天生产560个布艺红包袋.

23.（2023春•滨江区期末）已知（=度工（小〃是常数，xW-。）.①

x+a

（1）若4=-2,/?=—,求/；

2

（2）试将等式①变形成"4r=8”形式，其中A,8表示关于小〃，/的整式；

（3）若，的取值与x无关，请说明必=-1.

【分析】（1）将。=-2,b=4，代入，=包口进行计算即可；

（2）根据等式的性质，依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项即可；

（3）由f的取值与x无关可得b=Z,进而得到必+1=0,即帅+1=（）,得出结论.

【解答】解：（1）当。=-2,时，

2

11x-2

二

x-2x~22

（2）将£=区1两边都乘以（x+a）得，

x+a

t（x+a）=bx-1,

去括号得，a+々=区-1,

移项得，b・bx=-\-ta>

两边都乘以-1得，bx-tx=ta+\f

即（Z?-r）x=ta+\.

：.A=b-r,3=s+l；

（3）,.丁的取值与x无关,

-r=0,即/?=1,

*e•tci^'1=0>即4。+1=0,

.*.ab=-1.

24.（2023秋•岱岳区期末）阅读下面材料，解答后面的问题

解方程：xT_4x0.

xx-1

解：设y±1,则原方程化为：y-^=Q,方程两边同时乘y得：/-4-0,

xy

解得：y=±2f

经检验：y=±2都是方程y-l=o的解，・・・当），=2时，工支;2,解得：x=7，

y