高考数学备考：不等式恒（能）成立问题

微专题9不等式恒(能)成立问题

高考定位利用导数解决不等式恒成立或有解问题,是高考的热点之一，以解答题的形式出现,多为

压轴题,难度较大.

【难点突破】

［高考真题］(2024•全国甲卷节选)已知函数«。=(1—ar)ln(1+x)—x,当Q0时,於)¥0恒成立，求

。的取值范围.

解Ax)=(l-oi)ln(1+x)—x,［0,+°°),

则八工)=一如(1+冷一空与

设g(x)=-aln(1+的—(?D%

则g’(x尸—卡一冷泉.

因为当上20时&)20,且40)=0，八0)=0,

所以gX0)=—2a—120,得。这一今

故［是原不等式成立的一个必要条件.

下面证明其充分性：

当〃〈一士工>()时，夕(x)>—一—J=—J>(),

2，6\'2(l+x)2(l+x)22(l+x)2

所以/V)在［0,+8)上单调递增，且八幻2八0)=0,

所以/U)在［(),+8)上单调递增，且人工)2贝())=().

综上,4的取值范围是(一8,一'

样题1(2025•河南名校模拟)已知函数7U)=lnx+2aY(Q£R),若g(x)=/U)—2,F,不等式g(x)2一1

在［1,+8)上存在实数解,求实数0的取值范围.

解原条件等价于g(x)=lnx—2,F+2Q尤1在［1,+8)上存在实数解.

可化为a2——一在［1,+8)上存在实数解,

-ln#+2M-l

令h(x)=,xe[i,+oo),

2x

x(~+4x)-(-lnX+2X2-1)

则h\x)=

2x2

2x2+lnx

・••当x£[l,+8）时,2/+][]工>0,

得/（]）=弯手>0,

故/《）在[1,+8）上单调递增，

・・・g）的最小值为/?（1）=1,

・・・当Q，工时，

2

不等式以此2—1在[1,+8）上存在实数解，

故〃的取值范围是停,+8）.

样题2（2025・温州调研改编）已知函数«x）=：ln且（幻=小。-1）.若当[1,2）时，恒有

22-X

/U）》g（x）,求实数m的取值范围.

解当工£[1,2）时，恒有几¥）2g（X）,

即上。〃心;一1）对;vU[l,2）恒成立，

22-X

令A（x）=1ln三一机（x-1）,

%⑴=扣^-772（1-1）=0,

求导得力。）=费一肛

因为y=x（2-x）=2x-f=—（x-1>+1,

所以），=双2—x）在[1,2）上单调递减，

所以/?。）=-^一根在[1,2）上单调递增，

所以h\\）=^—m=1—m,

当mWl时，〃。）2〃'（1）=0,

函数〃（x）单调递增，所以〃。）2//（1）=0,

即公）-g（x）20,所以./W2g。）；

当m>\时，力'⑴=1—〃2<0,

又x->2时,〃'（x）f+00,

所以存在.m£[1,2）,使以赴）=0,当x£[1,刈）,山（助）<0,

所以力（尢）在[1,期）上单调递减,

所以力a）w力（1）=0,

所以Ax）Wg（x）,所以yU）2g（x）对x£[l,2）不恒成立，

综上圻述，当工£[1,2)时，恒有/(x)2g(x),实数机的取值范围为(-8,1].

样题3(2025・武汉质检)已知府尸川口工+泞-ZHaWR且〃W0),g(,E)=cosx+xsinx.

(1)求g(x)在[―兀,兀]上的最小值;

(2)如果对任意的XIe[-7T,71],存在X20F，e],使得g-a或g3)成立,求实数a的取值范围.

.eJ欠2

解(l)g'(x)=-sinx+sinX+ACOSX=XCOSX,

显然g(x)为偶函数，

当A>0时,(0彳)时,NCOSx>0；

g3〉0,所以g(x)在(o弓)上单调递增；

x£(弓,IT)时,.rcosx<0,g*(x)<0,

所以g(x)在C，TT)上单调递减.

又g(D)=l,g(])=1,g(©=—l,

所以g(x)在(0,兀)上的最小值为-1.

由偶函数图象的对称性可知g(x)在(一兀兀)上的最小值为-1.

(2)先证InxWx—1,设A(x)=lnx—x+1,

则》(力=；1=詈

令AU)>0,得04<1,

令/r(x)<o,得心>1,

所以/?(此在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

/?(x)W〃⑴=(),故InxWx—1①恒成立.

由题意可得献2金-,e,

Le

使得3——1成立，

%2

即a(x2—InX2)xf~x-成立.

由①可知X2—InX2^\>0,

参变分离得。2型产，

x2-lnx2

、”|x2-x[1

设9(X)=台一，尤£一,e,

x-InxLe

即只需。2Q(X)min即可.

(x-l)(x-ln%)-(x-l)(1x-lnx+1)

(x-Inx)2(x-lnx)2

由①知InjiWx—1得一x,

所以In工+11—x~\~1

Lz

令,(x)>0,得l<x<e,

令°寞)<0,得匕5<1,

e

所以Mx)在@,1)上单调递减，在(Le)上单调递增.

所以3(.E)min=夕⑴=-所以Q2一

又已知aWO,

故〃的取值范围为[—go)u(o,+8).

规律方法1.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策咚

(1)求最值法:将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.

⑵分离参数法:将参数分离出来，进而转化为a》U)max或。勺㈤min的形式，通过导数的应用求出人0

的最值，即得参数的范围.

2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.

训练(2()25•安康二模改编)已知函数/(#=刎2—(]+〃)1+][]式〃<0),若於)W/?—In(―Q)—。恒成

立,求实数匕的最小值.

解函数应0的定义域为(0,+8),求导得八月=内一(]+〃)+：=空等Z12,

当火()时，由八1)>0,得04<1;

由人工)<0,得Q1,

函数/U)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

则兀X)max=/(1)=_1_*

依题意,b—ln(-a)-a^—1—p

即〃21n(—0—1+式亘成立，

令函数g(a)=ln(―〃)一1+汽〃<0),

gS)=5+[=a+2

2a

当小一2时,g'(4)>0,当-2<a<0时,g'3)<0,

函数g(a)在(一8,一2)上递增，在(-2,0)上递减,

即g(a)max=g(—2)=ln2—2,因此区21n2—2,

所以人的最小值为In2-2.

【精准强化练】

1.(2025・烟台模拟改编)设函数/3=lnx+奴,。仁R,若1恒成立,求实数。的取值范围.

解由题意1nx+orWx+1恒成立，

因为XX),即得恒成立,

即仅冲」

记蚣)=34火>0,

则gd)=等，

令g'a)=O,得X=e2,

令g'(x)v(),得()<v<e2,

即g(.r)在(0,e?)上单调递减，

令夕(1)>0可得x>e2,

即g(X)在(e1+s)上单调递增,

所以g(X)min=g(e2)=1一专,

所以后1一2，

即实数。的取值范围为(一8,1-.

2.(2025•张家口模拟改编)已知yU)=lnx-a(x+l),a£R.若我o£(O,2],使於o)>O,求a的取值范围.

解因为王卬£(0,2],使得兀知)>0,

lnx

所以In加一a(xo+1)>(),因此a<0

4+T

令四)=若仲。，2],

.1H-----Inx

则gd)=77t而2°，2],

令人(x)=1+i-lnx,xe(0,2],

所以〃(幻=一点-J<0在(0,2]上恒成立,

所以函数/?(x)在(0,2]上单调递减，

所以/7(门》〃(2)=称-1112=ln^->0,

所以g\x)>0在(0,2］上恒成立，

所以函数g(x)在(0,2］上单调递增，

所以g(X)max=g(2)=学，

所以好殍.

3.(2025・蚌埠二模改编)已知函数段)=(01+1户-1(4£2.若於户3+1)工对任意的北［0,+8)恒

成立，求。的取值范围.

解J(x)W(a+l)x对任意的［0,+8)恒成立，即(〃+l)x—(o¥+l)e'+120对任意的x£［0,+°°)

恒成立，

令g(x)=(〃+l)x—(ax+1)e'+l,x2(),

所以g(x)=m+1)—(at+〃+1)―

令〃(x)=g3,

所以〃'(x)=—(〃x+2a+1)e',xNO,

当。《一^时,2。+1W0,

又九20,所以。/+2。+1W0,

所以〃3=—(ar+2a+l)e'2O在［0,+8)上恒成立，

所以〃㈤即g。)在区间［(),+8)上单调递增，

所以gq)2g<())=(),所以g(x)在区间［0,+8)上单调递增，

所以g(x)2g(())=(),符合题意；

当一:<〃<0时,令«U)<0,

解得0Wx<一卫，

a

则“3即g'(x)在区间仪,一等)上单调递减；

所以当x£(0,-宁)时,gvgW)=0,

所以g(x)在区间(0,一平)上单调递减，

所以当x£(0,-亮匚)时,g(x)vg(O)=0,不符合题意；

当°20时，又x20,

所以所以〃(x)即g。)在区间(0,+8)上单调递减，

所以g«)Wg<0)=0,

所以g(x)在区间(0,+8)上单调递减，

所以g(x)Wg(0)=0,不符合题意.

综上,4的取值范围为(一8,—3

4.(2025•葫芦岛模拟)已知函数段)=[一。。nx+a).

(1)讨论於)的单调性;

⑵当a<0时,Din(—〃),求实数ci的值.

解(1)因为.人丫)=[—〃(卜丫+〃)，

定义域为。+°°),

求得八箝=一/一ax+l

x2

所以当时,fa)W0成立，此时«T)在。+8)上单调递减；

当。<0时，天£(0,—3