2027年高考数学一轮复习讲义-圆与圆的位置关系（含解析）

圆与圆的位置关系

【课标要求】1.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.能根据圆与圆的位置关系求公共弦方程、公共弦长、切

线等一些简单问题

--------------------------«落实主干知识---------------------------

圆与圆的位置关系（O。，002的半径分别为“，〃2,d=\O\O2\）

图形量的关系

外离冷门十厂2

外切岁>=厂1+r2

相交血）1门一川“<门+〃2

内切♦=--r21

内含©

3自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“4”或“X”）

⑴若两圆没有公共点，则两圆一定外离.（X）

⑵若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（X）

（3）若两圆相切，则两国有三条公切线.（X）

（4）若两圆G,G相交于力，B两点,则线段GC2与线段48互相垂直平分.（X）

2.网Ci：炉+））=4与圆G：x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是（）

A.外切B.相交C.外离D.内切

答案A

解析圆G的圆心4（0,0）,半径12,

圆。2可化为(K~4)2+63)2=9,

，圆心02(4,3),半径=2=3,

22

A|CiC2|=V(4-0)+(3-0)=5=n+r2,

故两圆外切.

3.设6>0,若圆。-4尸+)2=1与圆/+产=25有公共点，则。的取值范围为()

A.(0,4)B.{4}

C.(4,6)D.[4,6]

答案D

解析圆(》-。)2+炉=1,圆心为(。，0),半径为1,EJx2+产=25,圆心为(0,0),半径为5,若圆(x-a)2+y=l与

圆炉十产25有公共点，则4W|a|W6,又a>0,所以4WaW6.

4.(2024•哈尔滨模拟)已知圆G：<y=4,圆Cz：<+产41-4尸+4=0,两圆的公共弦所在的直线方程

为.

答案x+y-2=0

解析由圆G：/+炉=4,圆C2：9+小4工-4尸"4=0,两式作差得，4x+4产4=4,即x+y-2=0,所以两圆的公共

弦所在的直线方程是用y2=0.

回微点提醒

灵活应用两圆相交时公共弦的性质

圆G：x2+y2+£)[x+E[y+B=0与网。2：r+产田力什及尹凡二。相交E寸：

(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在的直线方程；

(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；

(3)/+产+小什£产~+价2^+0>+邑产砌=0(2/-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).

；---------------------------探究核心题型---------------------------

题型一圆与圆的位置关系的判断

例1(1)(多选)(2024•合肥模拟月知圆O：/廿1,圆C(六4+伙1)2=4,a£R,例)

A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1

B.若圆。与圆C相切，则。=±2应

C.若圆O与圆。恰有两条公切线，则-2&v〃<2&且

D.若4=6,且尸，。分别是圆O和圆C上的动点，则/0|的取值范围是[1,7]

答案ACD

解析根据题意，可得圆0：》2+炉=1的圆心为0(0,0),半径尸1,圆C：(X/尸+3-1)2=4的圆心为C(a,

1),半径R=2,因为两圆的圆心距"=|OQ=G^T1N1,所以A项正确；

当两圆内切时，圆心距d=|OC|=R*l,即JQ2+I=],解得斫0;当两圆外切时，圆心距d=|OC|=R+尸3,

即JQ2+1=3,解得所±271综上所述，若两圆相切，贝!]〃=0或。=土2或，故B项不正确；

若圆。与圆。恰有两条公切线，贝」两圆相交，d=\OQ^(R-r,■•),即面2+咐1,3),可得

1<7«2+1<3,解得-2或q<2或且〃W0,故C项正确；

当a=\G时，两圆的圆心距4|OC|=4>R+乙故两圆外离，贝!J|Oq-RvW|PQ|W|Oq+/?+L即1W|PQ|W7,

故D项正确.

(2)圆G：/+/+8%-2尹9=0和圆。2：/+/+6『4>11=0的公切线方程是()

A.y=-x+l

B.^=-x+l或y=x+5

C.y=-x+5

D.尸x+1或尸2x+5

答案A

解析圆G：(/4)2+什-1六8,圆心G(41),半径门=2四，

圆C2：(x+3)2+(y-2)2=2,圆心C2(・3,2),半径/衣，

因为|。。2曰旧=门-2

所以两圆内切，公切线只有一条，

因为两圆圆心连线与切线相互垂直，且。心=1,

所以切线的斜率为-1,

由方程组E+y；+-2y+9=0，

解得上2，

故圆G与圆C2的切点坐标为(-2,3),

故公切线方程为产3=・(/2),

即y=-x+1.

思维升华判断两圆的位置关系的两种方法

⑴几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行匕徽，进而判断出两圆的位置关

系，这是解析几何中主要使用的方法.

(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.

跟踪训练1（2024•聊城模拟）若圆Ci：炉+产=1与圆C2：（x・a）2+（y・A）2=4恰有一条公切线，则下列

直线一定不经过点（。，力）的是（）

A.2x+y-&=0B.2x-y+2=0

CJC+J-V2=0D.x-y4-2=0

答案D

解析圆G：声产1的圆心G（o,0）,半径e,圆C2：（x・02+W））2=4的圆心C2（*b）,半径相=2,若

圆G与圆。2恰有一条公切线，则两圆内切，所以即&2+炉=1,所以点（4,力）的轨迹为圆

月户1.圆心（0,0）到直线2/广企=0的距离为用乌萼1,则该直线可能过点（见b）,故A不符合；

圆心（0,0）到直线2x-y+2=o的距离为号工等1,则该直线可能过点（明b）,故B不符合；

圆心。0）至U直线x+y•我=0的距离为方普1,则该直线可能过点（。，b）,故C不符合；

圆心（。，0）至I」直线ky+2=0的距离为个詈a>1,则该直线一定不过点3,b）,故D符合.

题型二公共弦问题

例2（多选）（2024•白城模拟）已知圆O：工2+产=4与圆C：（x・3）2+（y-2）2=9交于/,B两点,则下列

说法正确的是（）

A.线段AB的垂直平分线所在的直线方程为2x-3尸0

B.直线月4的方程为3x+2v-4=0

C.|叫普

D.若点尸是圆。上的一点，则AP4A面积的最大值为生智

答案ABD

解析由圆C：。-3）2+（产2）2=9知圆心为C（3,2）,所以直线OC的方程为尸|x,即2x-3）=0,所以线段相

的垂直平分线所在的直线方程为2.3尸0,故A正确；

因为圆。：/+产=4与圆C：（x-3>+3-2）2=9,两圆的方程作差，可得直线48的方程为3x+2y<=0,故B正

确；

点O到直线相的距离六悬再I又圆。的半径尸2,所以故

C错误；

点P到直线AB的距离的最大值为"尸*2,则面积的最大值为:义智X（察+2），4+：/

故D正确.

思维升华(1)若圆Ci：x2+y2+D\x+E\y^-F\=0与圆Ci：x2+)^+D^+E2y+F2=0相交，则两圆公共弦所在的直线

方程为(ZZ-£>2)X+(EI心)尸Fi-B=0.

(2)公共弦长的求法

①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定

理求解.

跟踪训练2(多选)若圆O：x2+y2=4与圆Ci：(x-my+U-m'd的公共弦44的长度为2V3,则下列

结论正确的有()

A.〃?2+/=4

B.直线48的方程为〃歹-2=0

C.线段43中点的轨迹方程为好y=3

D.四边形4O8G的面积为百

答案AB

解析两圆的方程相减可得直线的方程为2mx+2〃y-〃产・〃2=o,因为圆。的圆心为0(0,0),半径为2,

且公共弦,48的长度为28，则。(0,0)到直线2〃?x+2〃产〃2-〃2=o的距离为1,所以/；?解得

V4(mz+nz)

〃#+序二|,所以直线的方程为〃！x+〃广2=0,故A,B正确；

由圆的性质可知直线OG垂直平分线段相，所以0(0,0倒直线九什止2=0的距离即为线段初的中点与

点。的距离，设线段48中点的坐标为(Ey),则〃工-0)2+。-0)2=1,即/+产1,故C错误；

易得四边形/OAG为菱形，且|四=2怎QG|=2,贝I四」边形/08G的面积为:X2®X2=2®故D错误.

■微拓展

隐圆

隐圆是指条件中某些点或点的轨迹在某个圆上，常见的隐圆形式有：

(1)阿氏圆：平面上两定点4B,则平面上所有满足篇且*1)的点P的轨迹是一个圆心在直线48上，半

径为|$|短目的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.

⑵直角顶点在以斜边为直径的圆上：在△尸河中，若P4LPB,则点P的轨迹是以线段48为直径的圆滁去力，

8两点).

典例(多选)(2024•铜仁模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定

点48的距离之比为定值m(m>0且〃M1)的点的轨迹是圆”.人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简

称阿氏圆.在平面直角坐标系0个中，力(2()),8(4,0),点Q满足能•设点夕的轨迹为曲线C,则下列结论

正确的是()

A.曲线C的方程为(x+4)2+y=16

B.|PB|的最大值为12

C.曲线C上总存在两个点到点A的距离为1

D.过点6作曲线C的两条切线，切点分别为M,M则直线的方程为尸-2

答案ABD

解析如图，因为在平面直角坐标系中，A(-2.0),8(4,0),点P满足舞;.设P(x,刃，则唯空空

化简可得(.什4)2+产=16,故选项A正痈；

由(x+4)2+y2=16可得圆心。(40),半径门=4,所以P/max=|8q+n=12,故选项B正确；

到点N的距离为1的点在以力为圆心,半径忻1的圆上，即圆月：(x+2>+产1,又|鼠=2〈人刊=3,所以圆C

与圆,4内含，故曲线C上不存在点到点力的距离为1,所以选项C错误；依题意，在四边形中，N

BMC=NBNC=90°,所以C,MN四点共圆，且直径为BC,该圆的方程为炉+炉=16,故A/N为圆。与圆

/+产=16的公共弦，其方程为--2,所以选项D正确.

课时精练

(分值:80分)

知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共20分)

1.(2024・长春模拟)已知圆E：(x-2)2+(y-4)2=25,圆尸：(x-2)2+(y-2)2=l,则这两圆的位置关系为()

A.内含B.相切C.相交D.外离

答案A

解析圆E：(1-2产心4)2=25的圆心为凤2,4),半径门=5,圆析解2)2+伊2)2=1的圆心为尸(2,2),半径

r2=l,则|防=，(2-2)2+(4-2)2=2,故闭〈心也所以两圆内含.

2.若半径为1的动圆与圆C：(x-l)2+y=4相切，则动圆圆心的轨迹方程为()

A.(X-1)2+/=9

B.(X-I)2+/=3

C.(x-l)2+y2=9或(x-1)2+产=1

D.(X-1)2+/=3或(x-1>+炉=5

答案c

解析设动圆圆心为力a,刃，半径为1,已知圆。的圆心为C(l,0),半径为2.

若两圆外切，则|4C|=J(%—1尸+(y—0)2=1+2=3,即圆/：(x-l)2+y2=9;

若两圆内切，则MC|=〃x—1)2+(y—0)2=2・1=1,即圆/：(x-l>+产1.

综上，动圆圆心的轨迹方程是(X-1F+)，2=9或(x-1)2+/=1.

3.(2024•驻马店模拟)设圆O：/yF和圆°：a+2)2+/2)2=4交于48两点，则四边形O4C8的面积为

()

A.2V2B.4C.6D.4V2

答案B

解析由题意可知0(0,0),C(-2,-2),且两圆半径均为2,

将两圆方程相减，得直线口的方程为x+尸■ZR,

易知四边形OACB为边长为2的正方形，

所以S国羽。4c8=2X2=4.

4.(2025•济南模拟)已知圆O：x2+/=l,4(4,a),8(4,-a),若圆O上有且仅有一点P,使PHJ_P8,则正

实数。的取值为()

A.2或4B.2或3

C.4或5D.3或5

答案D

解析由题意可知，圆。：，+y=1的圆心为0(0,0),半径-1,且心0,

因为P4_LP8,可知点尸的轨迹为以线段4?的中点M(4,0)为圆心，半径R=a的圆，

又因为点P在圆O：/+产=1上，

可知圆O与圆M有且仅有一个公共点，

则10M=什/或QM=,画,

即4=1+〃或4=卜乙

解得片3或片5.

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

5.(2024・齐齐哈尔模拟)已知圆G：(%-3)2+/=1,圆G：炉+6〃)2=16,则下列结论正确的有()

A.若圆Ci和圆Cz无公共点，则a>4

B.若圆G和圆J外切，则。=土4

C.若两圆有一条公切线，则。=0

D.当a=-2时。，圆Ci和圆C2相交，且公共弦所在直线的方程为3x+2v-10=0

答案BCD

解析由题意得圆G的圆心为G(3,0),半径为门=1,圆C2的圆心为C2(0,a),半径为厂2=4,

2

|CiC2|=V9+a.

若圆C和圆C2无公共点，则两圆外离或内含，贝！J|CC2|=j9+。2>门十2=5,或4C2|=j9+a2Vz力=3,解

得心4或a<-4,故A错误；

若G和Cz外切，则|GC2|=j9+。2=门+72=5,解得。=±4,故B正确；

若两圆有一条公切线，则两圆内切，则|GC2|=V9+。2=r2-k=3,解得〃=0,故C正确；

当a=-2时，r2-n=3<|CiC2|=V13<5=ri+r2f则圆G和圆C2相交，将两圆方程相减得3x+2y-10=0,故D正确.

6.已知圆O：炉=1,圆C：合0),P,。分别是圆。与圆。上的动点，则()

A.直线4x+3尸0平分圆O和圆。

B.当尸2时,|PQ的取值范围为[2,8]

C.存在点P,使NOPCq

D.当r=3时，过户点作圆。的两条切线，切点分别为力，B,则N/P8不可能等于5

答案ABC

解析易知圆。：/+产=1的圆心为。。0),半径八=1,圆C：('-3)2+04)2=产的圆心为c(3,-4),半径

为广.

平分两圆的直线为直线OG其方程为4x+3尸0,故A正确；

当尸2时，|OC|=5>l+2=3,可知两圆外离，|PQ|的取值范围为|OC|+3],即|尸。|的取值范围为[2,8],

故B正确；

若存在点P使NO尸则点P在以"为直径的圆M上，又点P为圆。上的动点，故点P为圆"与

圆。的公共点，显然圆〃与圆。有两个公共点，故C正确；

若4P8苦，可知四边形力C联为正方形，如图所示，则可得|PC|=3或，而|PC|的取值范围是[|OC|-1,

IOC+1L即9G的取值范围是[4,6],

而3应£[4,6],所以存在P满足//P8、，故D错误.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.(2024-沈阳模拟)已知圆O：x2+y2=4与圆C：x2+y2-Sx+4y+16=0关于直线I对称，则直线/的方程

为.

答案2x-y-5=0

解析由题意知，/是圆。和圆C圆心连线的垂直平分线，

・・・。(0,0),C(4,-2),

则。。的中点为(2,-1),

圆心OC连线的斜率为垢则直线/的斜率为2,

故直线/的方程为y+l=2(x-2),

即2可-5=0.

8.(2025•泰州模拟)已知点力(-2,0),B(2,0),若圆(XP)2+(>4-3)2=1上存在点历满足拓(•丽=5,则实数

的取值范围是

答案卜等，等]

解析设y),则拓?=(-2-x,-y),~MB=(2-x,-y),

因为拓(•丽=5,则(-2㈤(2-x)+(-y)(-y)=5,

即f+产9,圆心坐标为(0,0),半径为3,

因为M也在圆(x-aF+Oog)2^上，圆心坐标为(%。+3),半径为1,

故(3-1)2・*+(。+3)2《(3+1)2,

整理得12a2+6a+5>0,

罡埋嶙2a2+6a-7<0,

解彳三母

所以实数。的取值范围是卜等，竽.

四、解答题(共27分)

9.(13分)已知圆C：/土产446尸0.

(1)求直线尸2x被圆C截得的弦长；(5分)

(2)已知圆M过点(-4,0)且与圆C相切于原点，求圆切的方程.(8分)

解(1)由x2+f_4x-6j=0可得(X-2)2+0，-3)2=13,圆心为(2,3),半径为r=g,

圆心C(2,3)到直线产2x的距离为N等!哈

所以直线尸2x被圆C截得的弦长为2五=力=2]13—岩^.

⑵设圆M的方程为(广。)2+8S)2=*(火>0),

”4―Q)2+(0i)2=R2,

人」1(0-a)24-(0-b)2=R2,

解得｛(Ra==-E2,

因为圆M与圆C相切于原点，且圆M过点(-4,0),所以两圆外切,

22

所以.?+V13=7(2-a)+(3-d)r

即，4+炉+旧=46+(3-bp,

解得b=-3,所以H=S⑸

所以圆时的方程为(x+2)2+(v+3)2=13.

10.(14分)(2024・延边模拟)已知圆G：/+/+6*10.)升25=0与圆。2：/+产8>7=0交于48两点，圆C经过

A,8两点，且圆心在直线4x-3y-3=0上.

(1)求|力用；(5分)

⑵求圆。的方程.(9分)

解⑴因为圆G：.占好6-10)，+25=0与Q：f+尸8产7=0交于4B两点,

所以两圆方程作差得直线AB的方程为3x・y+9=0.

又圆Q：f+e-4)2=9,

所以点C?到直线44的距离

|-4+9|-710

“V9M2，

所以阴=2Jg-=725.

⑵圆G：(X+3)2+G，-5)2=9,圆。2：/+。-4)2=9,

则G(・3,5),G(0,4),则如C2=4,

•J

则直线CC的方程为尸小+4,

即x+3y-12=0,

中俨+3、-12=0,解得俨=3,

田-3y-3=0,解得(y=3,

所以G(3,3),所以点C到直线为6的距离

|3X3-3+9|_3A/10

d尸

79+12~

设圆。的半径为乙

所以

所以圆C的方程为(x・3)2+(y-3)2=29.

IR能力拓展

II题5分，12题