2027高考数学复习-立体几何中的面积与体积问题

专题10立体几何中的面积与体积问题

I.多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底

面面积之和.

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

八，八

A2ITQ;

侧面展开图百

侧面积公式S阴柱利=2兀77SM能恻=兀//Sm台测=兀(门+/2乂

3.柱、锥、台、球的表面积和体积

几何口表面积体积

柱体(棱柱和圆柱)S&面积=S测+2S底V=Sh

V=1s/2

锥体(棱锥和圆锥)S衣血枳=S忸+S底

台体(棱台和圆台)S表面积=Smj+S上+S卜上+s下晨)/?

4

球S=4TTR2V=17TR3

考点一几何体的面积问题

【方法总结】

求几何体的表面积的方法

(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几

何的主要出发点.

(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表

面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积.

平面图形折叠问题的求解方法

(I)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变

量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.

(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析圻叠后的图形，也要分析折叠前的图形.

【例题选讲】

[例1](2014・安徽)如图，四棱锥P—A8c。的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为点G,

E,F,H分别是楂P8,AB,CD,PC上共面的四点，平面GE『H_L平面A4CQ,3c〃平面GEFH.

(1)证明：GH//EF；

(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.

p

H

解析(1)因为8C〃平面GEFH,BCu平面PBC,且平面P8CTI平面GE"7=G"，所以G”〃8c

同理可证E/〃8C,因此G旧〃

(2)如图，连接AC,3。交于点O,BD交EF于点、K,连接OP,GK.

因为以=PC,。是AC的中点，所以尸OLAC,同理可得PO_L5O.

又8。1%4。=0,且AC,8QU底面A8CQ,所以POJ_底面A8CD.

又因为平面GEF”_L平面A8CD,且「。仁平面GE尸H,所以尸0〃平面GEH7.

因为平面尸BOA平面GEF”=GK,所以「O〃GK,且GK_L底面ABC。，从而GK_L".

所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2得EB：AB=KB：DB=1：4,

从而KB=&DB=!OB,即K为03的中点.再由PO//GK得GK=gpO,

即G是P8的中点，且G”=3BC=4.由已知可得08=4、E,

P0=\PB2—(用2=、68—32=6,所以GK=3.

ppJ4-2

故四边形GEFH的面积S=-—♦GK=(-x3=18.

[例2](2017・全国I)如图，在四棱锥P-A8CQ中，4B〃CD,且/84P=NCQP=90。.

(1)证明：平面平面B4D；

Q

(2)若附=PQ=A8=。。，NAPQ=90。，且四棱锥「一ABC。的体积为^求该四棱锥的侧面积.

解析(\y：ZBAP=ZCDP=90°,：,AB1PA,CDLPD.'：AB//CD,：.ABLPD.

又・.・鬼口尸。=尸，PA,PQu平面外£),・・・AB_L平面%。.・.・ABu平面密B,，平面办BJL平面附D.

⑵取AO的中点£,连接PE.'：PA=PD,：.PE±AD.

由(1)知，A8J_平面以。，PEu平面左D,故AB_LPE,又48n4O=A,可得PE_L平面八BCD.

历

Xi

设AB=x,则由已知可得AD=y12xfPE=2

I1Io

故四棱锥P—ABCD的体积VP-ABCD=^ABADPE=^.由题设得故x=2.

从而PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=2y［2,PB=PC=2吸,

可得四棱锥P-ABCD的侧面积为:以/力+5为/8+：P/>/)C+：BC2sin60。=6+2小.

［例3］如图，在四棱锥P-ABCO中，底面A8CD是菱形，/D4B=60。，PO_L平面A8CD,PD=AD

=1，点E,F分别为A8和0。的中点.

(1)求证：直线Ab〃平面PEC；

(2)求三棱锥P-8E/的表面枳.

解析(1)作尸M〃C。交尸。于M,连接ME.

11

•・•点尸为P。的中点，:.FM22CD,又AE^2CD,:.AE&FM,

，四边形4EMF为平行四边杉，，斗尸〃EM,〈ARX：平面PEC,EMu平面PEC,，直线A/〃平面PEC.

(2)连接E。，BD,可知EO1AB,

尸。_L平面48COPD±AB］A8_L平面

AB^^JABCDDElABiPE、FEu平面尸EF)

故坐=*；SApaF=|pFBD=jx1x1=1：

SAP«E=|PEBE=1X^X1=^：SMEF/EF.EB=**=；.

因此三棱锥P—BEF的表面积SP-BEF=SAPEF+$△依/•+S&PBE+S»BE产.十*土吏.

［例4］如图，四边形A8CQ为菱形，G为AC与4。的交点，/汨_1_平面/WCQ.

⑴证明：平面AECJ_平面4ED；

(2)若NA3C=120。，AE±EC,三棱俳E—ACO的体积为坐，求该三棱锥的侧面积.

解析(1)因为四边形ABC。为菱形，所以4C_LB。.

因为4人平面AAC。，ACU平面AAC7),所以〃XJ_AC.

而BDCBE=B,BD,BEu平面所以AC_L平面BE/).

又ACu平面AEC,所以平面AEC_L平面BED.

(2)设48=x,在菱形A8CQ中，由NA8C=120。，可得AG=GC=坐t,GB=GD=^.

因为AE_LEC,所以在RSAEC中，可得EG=^x.

由BE_L平面4BCQ,知为直角三角形，可得BE=§.

由已知得，三棱锥£—AC。的体积V三投标以⑺二:方0日八3七二雪炉二半，故x=2.

从而可得AE=EC=EO=小.所以AEAC的面积为3,△EA。的面积与AECQ的面积均％小.

故三棱锥EACD的侧面积为3+2小.

［例5］如图，在长方形A8CZ?中，4B=4,BC=2,现将△AC。沿AC折起，使。折到尸的位置且P

在平面ABC的投影E恰好在线段AB上.

(1)证明：AP1PB；

(2)求三棱锥P-EBC的表面积.

解析(1)由题意知尸E_L平面ABC,又8CU平面ABC,・・・PE_LBC,

又4BJ_BC且ABnPE=E,AB,尸EU平面%B,・・・BC_L平面B4B,

又4PU平面以B,又APJ_CP且BCnCQ=C,BC,CPU平面PBC,

.•・AP_L平面PBC,又PHU平面PBC,：.APLPB.

_9x2sl

(2)在△氏B中，由(1)得AP1P&A8=4,AP=2,：.PB=2y[3,PE=—广=小,

:.BE=3,・・.S"E8=gx3xV5=乎，在RtZ\£BC中，EB=3,BC=2,£C="/尸+3c2=小,

**•S^EBC=~QX3X2=3,/.S^PEC='^^E'CE='^X"\y3X"\f~\3-，:・SAPBC=5BC，PB=3又2y^又2=2"\!^,

乙N乙乙乙乙

・二三棱锥产一£BC的表面积为S=SSEB+S4EBC+S、PEC++3+2小=7'+Q.

J一谷

考点二几何体的体积问题

【方法总结】

求空间几何体体积的常用方法

(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算.

(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些

体积比等.

(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体.

1.平行+体积模型

【例题选讲】

［例1］(2017•全国11)如图所小，四棱锥P-A8C。中，侧面南。为等边三角形且垂直于底面ABC。，AB

=BC=^AD,ZBAD=ZABC=90°.

(1)证明：直线〃平面附D；

(2)若△PCQ的面枳为2巾，求四棱锥P-ABCD的体积.

解析(1)在平面A8C。中，因为NZMO=NA3C=90。.所以5C〃AO,

又8CQ平面以。，人QU平面必所以直线8。〃平面小D.

京P“

RCN

(2)如图，取AO的中点M,走接PM,CM,由A8=8C=；A。及3C〃AO,

NABC=90。得四边形ABCM为正方形,则CM_LAO.

因为侧面以。为等边三角形且垂直于底面A8CQ,平面处0n平面A8CO=AQ,P/WU平面以。，

所以PM±AD,PM_L底面ABCD,因为CMU底面AI3CD,所以PM±CM.

设8C=x,则CM=x,CD=y［2x,PM=g,PC=PD=2xf

如图，取CO的中点N,连接PN,则PN工CD,所以夕汽=芈¥.因为△PC。的面积为2市，

所以痔X半%=2巾，解得工=一2(舍去)或x=2.于是AB=8C=2,AD=4f尸W=2小.

所以四棱锥P-ABCD的体枳x2,殁土4)X2小=4小.

［例2］如图，在三棱柱八〃C—A8G中，人八］_1_平面人8C,AC±BC,AC-BC-CCi-2,1D为AB

的中点.

(1)证明：AG〃平面8CD；

(2)求三棱锥Ai—CQ31的体枳.

丁点。为A8的中点，：.OD//ACy.又。Ou平面8c。，AGC平面5CD,・・.AG〃平面BCD.

(2)VAC=BC,AD=BD,：.CD1AB.在三棱柱ABC—A山Q中,

由AAiJL平面ABC,得平面A8B/i_L平面ABC.又平面ABBi4n平面A8C=AB,COu平面ABC,

••・C£)J_平面VAC1BC,AC=BC=2,：,AB=A\B\=2y12,CD="

-'-V淞吁s=V.=|xjx2x2V2xV2=1.

［例3］如图，在△P8E中，ABLPE,。是AE的中点，C是线段的上的一点，且4。=小，AB=AP

=，E=2,将△PBA沿AB折起使得二面角P-AB-E是直二面角.

(1)求证：CO〃平面南B；

(2)求三棱锥E-PAC的体积.

解析(1)因为%石=2,所以AE=4,又A3=2,ABA.PE,

所以3月=屈4^=小47=2小，又因为4C=布=36石,

所以AC是RtZXABE的斜边8E上的中线，所以C是8E的中点，又因为。是AE的中点,

所以CO是RtZkABE的中位线，所以CO〃48,

又因为CZX平面布8,A8U平面%B,所以CO〃平面以8.

(2)由(I)知，直线。。是RtZSABE的中位线，所以CO=%8=1,

因为二面角尸一A6-E是直二面角，平面F6G平面用U平面附6,杼4_LA6,

所以平面ABE,又因为AP=2,

所以VE-/MC=VP-4C£=|X|XAEXCDXAP=|X|X4X1X2=^.

J4J

［例4］如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，入A〃C。，CD=2AB=4,AD=p,△/MB

为等腰直角三角形，PA=PB，平面％B_L底面/WC7),E为P。的中点.

(I)求证：AE〃平面PBC；

(2)求三楂锥P-EHC的体积.

解析(1)如图，取PC的中点F,连接E凡BF,

,:PE=DE,PF=CF,：.EF//CD.CD=2EF,

・：AB〃CD,CD=2AB,：,AB//EF,J.EF=AB.

・•・四边形为平行四边形，：.AE//HF.

:9上平面PBC,AEC平面PBC.故〃平面PBC.

(2)由(1)知AE〃平面P3C,；•点E到平面P4C的距离与点A到平面尸水?的距离相等，

V-c=如图，取的中点。，连接尸*：PA=PB,C.OPLAB.

VP-EBC=EPBVA-PBC=VP-ABC.ABO,

•・•平面以8_1_平面A8CD,7面见8n平面A8CO=A8,OPu平面以8,，OP_L平面A8CD.

•••△布8为等腰直角三角形，PA=PB,A8=2,：,OP=\.

;四边形48CQ为等腰梯形，且A8〃CO,CD=2AB=4,AD=巾,

工梯形A8C。的高为1,8c=卧2乂1=1.故%—EBC=Pp-ABC=『1X1=§.

［例5］如图，在四棱锥P—ABC。中，N4BC=NACO=90。，NB4C=NCAO=60。，B4_L平面4BCD,

阴=2,AB=\.设M,N分别为PD,AD的中点.

(1)求证：平面CMN//平面P4H：

(2)求三棱锥P—ABM的体积.

C

解析(1)・・・M,N分别为P。，4。的中点，・•・MN〃心.

又平面以B,以u平面办从-.MN〃平面两艮

在RSAC。中，/C4Q=60°,CN=AN,

・・・NACN=60°.又・・・/8AC=60°,:.CN//AB.

TCM£平面办8,A8u平面附8,JCN〃平面南8.

又.：CNCMN=N,CN,MNu平而CMN,，平面CMN〃平面用8.

(2)由(1)知，平面CMN〃平面%B,・••点M到平面附B的羽离等于点。到平面外B的距离.

由已知得，AB=I,NABC=90。，NR4C=60。，:・BC=/,

，三棱锥尸一A3M的体积V=VM-PAB=V£««C-PAH=VP-ARC=^^X1xV3x2=^.

［例6］(2016•全国HI)如图，四楂锥P-/WCO中，以_1_底面/WCQ,AD//I3C,AB=AD=AC=3,PA=

4c=4,M为线段AQ上一点，AM=2MDfN为PC的中点.

(1)证明：MN〃平面出仪

(2)求四面体N—8CM的体积.

解析(I)由已知得人”=铲。=2.如图，取BP的中点r,连接人r,TN.

由N为PC中是知TN〃BC,TN巨BC=2.又AO〃BC,故乃V4AM,

所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN〃A7.

因为A7t平面以B,MNU平面MB,所以A/N〃平面朋B.

(2)因为%_L平面ABC。，N为尸C的中点，所以N到平面48co的距离为

取BC的中点£,连接AE.由48=AC=3得A£_L5C,AE=y/AB2~BE2=y15.

由AM//BC得M到BC的距离为小，故SABCM=*4X小=2小.

1PA4s

所以四面体N—BCM的体积V四浦体N-8cw=QxSA8CwX~y=..

［例7］如图，在四棱锥产一AHC。中，平面"8J•平面ABC。，PA=PB,AD//BC,AB=AC,AD=^BC

=1,PD=3,N84O=120。，M为PC的中点.

(1)证明:DM〃平面BAB；

(2)求四面体MABD的体积.

解析(1)取P8中点M连接MN,AN.：历为PC的中点，:,MN〃BC且MN=；BC,

又AD〃8C,且AQ=g8C,得MN统AO.，4OMN为平行四边形，：.DM//AN.

又ANu平面R\B,DWG平面以&〃平面PAB.

t

(2)取A3中点O,连接P。，：PA=PB,：.POLABf

又•平面以5_1_平面ABCD,平面%/m平面ABCD=AB,POu平面PAB.

则〃O_L平面AUCD,取UC中点、H,连接AH,

\'AB=AC,：,AH±BC,又.・山。〃8。，ZBAD=\20°,

・・・NA8C=60。，RQAB“中，BH=%C=1,AB=2,：.A0=1,又AO=1,

△AO。中，由余弦定理知，。。=小.Rl△尸。。中，P0=7P》一0D?=#.

।，।।，2

又S△八8D=]484Osin120°=?»，jSAABzr]PO=4,

［例8］如图所示的几何体P—ABCD中，四边形ABC。为菱形，NA8C=120。，AB=a,PB=g,PB

_LA从平面4以工)_1_平面外从AC(WL)=O,七为产。的中点，G为平面以“内任一点.

(I)在平面以8内，过G点是否存在直线/使OE〃/?如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作

法；

(2)过A,C,石三点的平面将几何体P—ABCD截去三棱锥D—AEC,求剩余几何体4石CBP的体积.

解析(1)过G点存在直线/使OE〃/,理由如下：

由题意知。为8。的中点，又E为PO的中点，所以在中，OE//PB.

若点G在直线P8上，则直线PB即为所求的直线/,所以有OE〃/;

若点G不在直线P8上，在平面以B内，过点G作直线/,使/〃P&

XOE//PB,所以。E〃/,即过G点存在直线/使OE〃/.

c

(2)连接E4,EC,则平面ACE将几何体分成两部分：三棱锥D—AEC与几何体AEC8P(如图所示).

因为平面A8CO_L平面以8,且交线为A8,XPB1AB,PBu平面弘B,所以PB_L平面A8CD.

故P8为几何体P—ABC。的高.又四边形ABC。为菱形，ZABC=120°,AB=atPB=W，

S।

=

所以S0过形ABCD==宁口2,所以VP—ABCD~^S凶边吊ABC/TPB产.

1

又OE幺&PB,所以0七_1_平面八€7),

=

所以V三根位I>—AECV三校检£—ACD=]SAAC7)・E0=WV户一八8CD=W〃，

所以几何体AECBP的体积V=V^P^ABCD-V^

【对点训练】

1.如图所示，在四棱锥P—A8CD中，底面48C。为直角梯形，/A8C=NB4O=90。，△P0c和△8OC

均为等边三角形，且平面POC_L平面8QC.

⑴在棱P8上是否存在点E,使得AE〃平面PDC?若存在，试确定点E的位置；若不存在，试说明理

由；

(2)若ZiPSC的面积为华，求四楂锥P-ABCD的体积.

1.解析(1)存在.当点石为棱PB的中点，使得AE〃平面P/DC.理由如下：

如图所示，取的中点E,连接4E,取PC的中点尸，连接七凡DF,取BC的中点G,连接OG.

因为△3CO是等边三角形，所以NOG3=90。.

因为NABC=N8AD=90。，所以四边形A8GD为矩形，所以/1O=BG=4BC,AD//BC.

囚为E”为A/C户的中位线，加以K产=3台。，且EF〃BC,故S.AD//EF,

所以四边形4。尸E是平行四边形，从而AE〃OF,

又AEU平面PDC,。尸u平面尸。。，所以AE〃平面PDC.

(2)取CO的中点M,连接PM,过点P作PN_LBC交8C于点N,连接MM如图所示.

因为△POC为等边三角形，所以PM_L0c.

因为PM_LOC,平面POC_L口面BQC,平面POCA平面BOC=/)C,PMu平面PDC,

所以PM_L平面BC。，则PM为四棱锥P-ABCO的高.

又BCu平面8CD,所以PM1BC.

因为PNJ_BC,PNC\PM=P,尸Nu平面PMN,PMu平面PMN,所以BCL平面PMN.

因为MNu平面PMN,所以MN_L8c.由M为。C的中点，易知NC=；8C.

设BC=x,则△尸8c的面积为卦Jx2一仔)=亨,解得尸2,即3c=2,

所以AQ=1,AB=DG=PM=小.

故四棱锥P—ABCD的体积为V=*S梯形Ag)x尸、，*小=巧.

JJL乙

2.如图，在直三棱柱ABC—A用G中，N3AC=90。,Ali=AC=2,点M,N分别为4G，A巴的中点.

(1)证明:MN〃平面441clC；

(2)若CMLMN,求三楂锥M—NAC的体积.

2.解析(1)连接48,BG,点、M,N分别为4G,ABi的中点，

所以MN为△4BG的一条中位线，肋V〃/3G,

又因为历NU平面BBiCC8c|U平面BBiCiC,所以MN〃平面BBCC

A

〃2+4〃2g

(2)没点D,E分别为AB,/VAi的中点，AAI-4,连接ND,CD,则CM2一标+1,“N2-1+匕一一^—

.2*20

CN2=j+5=—j—,由CMLMN,得C”+MM=CM,解得。=也，又NE_L平面44GCNE=1,

V三棱徉M—NAC=V三棱mN-AMC=gsAAMcNE=gx3><2x^X1二当•

所以三棱锥M—NAC的体积为坐

3.如图,在棱长均为4的三棱柱ABC-4BCi中,D,5分别是8c和81G的中点.

(1)求证:45〃平面ABQ；

(2)若平面4BC_L平面8CGS，ZB)BC=60°,求三棱锥BLABC的体积.

A.C.

D\

5

3.解析(1)连接在三棱栏ABC-A/iG中,

VD,G分别是5c和BiG的中点，・・・BQ〃BD,且BG=3D,・•・四边形BiBDD1为平行四边形,

:.BB\〃DD\,且BBi=DDi.又・・・A4I〃BBI,AA\=BB\y：,AAi//DD\tAAi=DDif

，四边形AAiOi。为平行四边形，：.A\Di//AD.

又平面ABQ,人OU平面人办。，・・・4£>i〃平面ABiD.

(2)在△ABC中，边长均为4,贝i]AB=AC,。为BC的中点，：.AD±BC.

•・•平面ABCJ_平面BiGCB,平面ABCn平面BiGCB=/?C,AOU平面ABC,

・・・AO_L平面BiCiCB,即AD是三棱锥A-&BC的高.

在5c中，由A8=AC=BC=4,得AO=2小，在山。中，3山=3C=4,ZB)BC=60o,

•••△8BC的面积为4小.工三棱锥以-48。的体积即为三棱锥4一8小。的体积^=(><4小乂2小=8.

4.如图，三棱柱ABC—48iG的各棱长均为2,AA|_L平面ABC,E,尸分别为棱4S，BC的中点.

①求证：直线BE〃平面ALG：

②平面4FG与直线A8交于点例，指出点M的位置，说明理由，并求三棱锥8—EFM的体积.

4.解析①取AiG的中点G,连接EG,FG,

因为点E为A山।的中点，所以EG〃BC且EG=|BIC!,

因为〃为的中点，所以且8"=]3|C],所以B”〃EG且3F=EG.

所以四边形8FGE是平行四边形，所以KE〃尸G,又BEQ平面AFCi,尸GU平面4FG,

所以直线BE■〃平面45G.

②M为棱/W的中点.

理由如下：

因为AC〃4G,ACV平面4/G,AiGU平面4FG,所以直线AC〃平面AFG,

又平面ALGA平面A8C=B0,所以AC〃尸M.又产为棱8C的中点，所以M为棱AB的中点.

S^BFM="^SAABC='^22X2Xsin600,

所以三棱锥B-EFM的体积性少”=旌-8/卯=3X乎义2=乎.

5.在梯形4BCO中（图1）,AB//CD,AB=2,CD=5,过A,B分别作CD的垂线，垂足分别为E,F,

已知OE=1,AE=2,将梯形A8CO沿AE,85同侧折起，使得A凡LBO,DE//CF,得空间几何体AOE

-BCE（图2）.

⑴证明:BE〃平面ACO；

（2）求三棱锥E-ACD的体积.

必,”...、/

ABA-B

图1图2

5.解析（1）连接8E交4产于点O,取AC的中点H,连接0月，DH,则O”是△人人?的中位线,

所以OH〃C/且OH=3CF,由已知得DE//CF且DE=^CF,所以DE//OH且DE=OH,

所以四边形OEOH为平行四边形，DH〃EO,又因为反月平面AC。，O”U平面AC。，

所以EO〃平面ACO,即BE〃平面ACD.

（2）由已知得，四边形AB正为正方形，且边长为2,则

由已知人尸_1_/。，BE「1BD=B,BE,8OU平面可得人f_1_平面片。£,

又。EU平面BOE,所以A尸1OE,又AE_LDE,AFQAE=A,A凡AEU平面

所以OE_L平面A8FE,又EFU平面ABEF,所以DELEF,四边形。所C是直角梯形,

又AE工EF,DECEF=E,DE,E7亡平面CDE,所以4E_L平面COE,

II?

所以是三棱锥A-DEC的高，VE-ACD=VA-ECD=VA-EFD=^AEX-XDEXEF=y

6.如图，在直三棱柱ABC—4181G中，AB=AC=5,BB尸BC=6,D,E分别是AAi和办。的中点.

(1)求证：DE〃平面ABC；

(2)求三棱锥E-BCD的体积.

6.解析⑴取8C中点G,连接AG,EG.因为七是的中点，所以EG〃BB1,且EG=gBBi.

4

由直棱柱知，44&8囱，而D是A4i的中点，所以EG4AD,

所以四边形EGAD是平行四边形.所以EO〃AG.又。EQ平面ABC,AGU平面ABC,

所以DE〃平面ABC.

(2)因为AO〃EG,EGU平面BCE,A8平面BCE,所以AZ)〃平面8CE,

所以Vf-8CD=VD-BEC=VA-8CE=%-ABC,由(1)知，。£〃平面A8C

所以VE-ABC=VD-ABC=\AD\RCAG=7X3X6X4=12.

32o

7.已知空间几何体A8CDE中，△8CQ与△COE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰

三角形，平面COE_L平面8CD,平面\48C_L平面8CD.

(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点尸与E的连线E产均与平面A8C平行，并给出

详细证明；

(2)求三棱锥E-ABC的体积.

A

7.解析(I)如图所示，取。。的中点N,取8。的中点M,连接MM则MN即为所求直线.

证明如下：

取BC的中点“，连接A"，.「△ABC是腰长为3的等腰三角形，”为8C的中点，・・・AHJ_BC,

又平面48C_L平面8CO,平面A8CH平面8cO=8C,A”u平面A8C,・・.A”_1平面8。£),

同理，可证EN_L平面8CQ,，EN〃AH,

•「EM平面A8C,4”u平面ABC,JEN〃平面ABC

又M,N分别为B。，。。的中点，・・・MN〃8C,・・・MMt平面ABC,8CU平面ABC,JMN〃平面ABC.

又MNCEN=N,MNU平面EMN,ENU平面EMN,平面EMN//平面ABC,

又EFU平面EMN,・•・EE//平面ABC.

(2)连接。H,取CH的中点G,连接NG,贝uNG〃。"NG=%DH,由(1)可知EN〃平面"C,

所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等.

又△8CO是边长为2的等边三角形，DH=小,

又平面ABCJ_平面BCD,平面人sen平面BCD=BC,O”U平面BCD,

A

・・.O”_L平面ABC,・・・NG_L平面ABC,NG=^t

又AC=A8=3,BC=2,Si,ABC=Y^C-AH=2y[2.VE-AEC=VN-ABC=YS^ABCNG=.

4JJ

8.如图，在四边形ABC。中，AB//CD,BC=CO=OA=)B=2,点E为AB的中点，以OE为折痕将4

AOE折起，使点A到达点P的位置，平面PDE_L平面8CQE,点尸为P8的中点.

(1)求证：尸。〃平面CEE

(2)求三棱锥P-DEF的体积.

p

8.解析(1)因为点E为A8的中点，AB//CD,AB=2CD,所认BE=CD且BE〃CD,

所以四边形BCDE是平行四边形.连接BD交CE于点。，则点。为BO的中点，连接F0,

因为点尸为PB的中点，所以P。〃尸0,又PZX平面CERF0U平面CEF,所以PO〃平面CEr.

(2)由(1)可知尸。〃/0,F0C平面P。瓦所以尸。〃平面POE,

所以点尸到平面POE的距离与点0到平面POE的距离相等.连接。尸，则

VP-DEF=VF-PDE=VO-PDE=匕>-&)£.由题意及四边形BCDE是平行四边形得

BC=CD=PD=PE=BE=DE=2,取。£的中点〃，连接PH,则PH工DE,且PH=小.

因为平面PQEJ■平面8CQE,平面PQEA平面PHU平面PDE,所以PH上平面BCDE.

由题意得四边形4灰?。为等腰梯形且N44C=60°,又四边形8C。七为菱形，所以NEQC=600,

所以SM£=gswc=；X；X2><2Xsin60°=坐，所以VP-DEf-=VP-ODE=^S^ODEXPH=jX^Xy(3=^.

9.如图，在四楂锥P-ABC。中，。。_1_底面48(7),AB〃CD,A4=2,CO=3,M为PC上一点,且PM

=2MC.

(1)求证：〃平面以。:

(2)若人。=2,PD=3,求三棱锥P一八。M的体积.

9.解析：(1)证明：法一：如图，过M作MN〃CD交.PD于点、N,连接AN.

22

-：PM=2MC,：,MN=^CD,又A3=WCO,且A8〃CO,，刀?4MM.••四边形A8MN为平行四边形,

:.BM〃AN.又BWt平面PAD,ANu平面PAD....8M〃平面PAD.

法二：如图，过点、M作MN上CD于点、N,N为垂足，连接BN.由题意，PM=2MC,则0N=2NC,

M

2

又A8〃UO.AR=3CD,:.AB且DN,...四边形ABN。为平行四边形，/.BN//AD.

•・・PO_L平面ABC。，OCu平面ABC。，C.PDA.DC.

又MN_LOC,MMz平面尸DC：.PD//MN.二BNu平而MBN,MNu平面MBN,BNCMN=N

AOu平面附。，POu平面附D,ADC\PD=D,，平面MBN〃平面B4O.

•・•BMu平面MBN,，BM//平而PAD.

(2)如图，过8作AO的垂线，垂足为£;P。，平面A8CZ),BEu平面ABC。，：.PDLBE.

乂AQu平面以。，PQu平面而。，ADC\PD=D,・・・8£1_平面%/).由(I)知，〃平面小Z),

・••点M到平面南。的距离等于点B到平面布。的距离，即BE.

连接80,在“8。中,AB=AD=2,NBA。奇；.BE=®

J

则三棱锥P-ADM的体积1勿4［加=%/“=拉△削)x8E=1x3x小=小.

JJ

10.如图，在四棱锥P—A8CQ中，平面布Q_L平面A3CQ,底面ABCO为梯形，AB//CD,AB=2DC=

2小，且△以。与aABO均为正三角形，E为4。的中点，G为△以。的重心.

(1)求证：G/〃平面POC；

(2)求三棱锥G—PCD的体积.

P

10.解析(I)方法一连接AG并延长交PO于点儿连接C，.

Ap2AG2

由梯形。中〃。且知，评=：.又为的中点，为△以的重心，，方二”

ABCABCA8=2OCrC1UnEIADGD

AGAF2

在。中，用=万，故又平面平面。，尸〃平面尸

&4/70/7rC=7IGF//HC.“CuPCD,G/CPC...GDC.

方法二过G作GN〃A。交P。于N,过F作FM〃A。交CD于M,连接MN,

•・・G为△以。的重心，器=禺=*.・.GN=,£Q=¥.

LJL-YIDDD

又ABC"为梯形，AB//CD.：9AF=r：，AD=y：-MF=3'：・GN=FM.

又由所作GN〃AO,FM//AD.得GN〃尸M,.二四边形GNM/为平行四边形.

:,GF〃MN,又〈GFU平面PCD,MNu平面PCD,・・・6/〃平面2。。.

方法三过G作GK〃P。交AO于K,连接KF,GK,

21

由△南。为正三角形，E为A。的中点，G为。的重心，得。K=§QE,：.DK=^ADt

又由梯形ABC。中AB〃CO,且48=2OC,知皆=彳，即"C=；AC,

，在A4QC中，KF//CD,又・・・GKnKF=K,POnCO=O,，平面GK尸〃平面POC,

又GFu平面GK凡〃平面POC.

(2)方法一由平面出。平面A8CO,△以。与AABO均为正三角形，E为AO的中点，知PE_LAO,

BE1AD,又：平面以。Cl平面ABCO=A。，PEu平面心Z),・・.尸£：_1平面/18。。，且PE=3,

由(1)知GF//邛面PDC,/三帔检G—PCD=VF—PCD=V三极镂P—CDF=xPE^S^CDF-

又由梯形A8CQ中AB〃C。，且A3=2QC=2小，知。?=[3。=芈，

又△48。为正三角形，得/。。斤=248。=60°,・・・SAC/»=gxCZ)xQ/^sin/8OC二坐，

得V三-F=±XPEXSACD尸坐,，三棱锥G—PCD的体积为坐

方法二由平面外。J_平面/WCQ,△%/)与A/WO均为正三角形，E为A。的中点，知

尸K_LAQ,HE-LAD,又二•平面小。八平面A38=A。，PEu平面出。，・•・尸£_L平面A4c。，且尸£=3,

22221

=

连接CE,J，PG=^PE,:.V三惶体G—PCD^V二梭依E—PCD=)VzfeftP-CDE=^X^X/>^X5ACD£»

又△八〃。为正三角形，得N£/)C=I2O。，得S