高考数学一轮复习 新思路 3.1 导数小题篇

第一节导数小题篇考向1导数的运算1.求导的基本公式基本初等函数导函数（为常数）2.导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则:；（2）函数积的求导法则:；（3）函数商的求导法则:，则.3.复合函数求导数复合函数的导数和函数的导数间关系为:如我们将分三步:①将复合函数分解为基本初等函数；②将对的导数记为，将对的导数记为；③注意:奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.4.八大同构函数①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧1.我们通过基本的求导来看看这八大同构函数的图像,再分析单调区间及极值,以及它们之间的本质联系.①如图1，对于函数，求导后可得:，在区间递减，在区间递增,且;②如图2,对于,求导后可得:在区间递减,在区间递增,且;反思关于图1和图2,我们仔细观察会发现对于函数,我们把换成即可得到.③如图3,对于函数,求导后可得:在区间递增,在区间递减，；④如图4,对于函数,求导后可得:，在区间递增，在区间递减，；⑤如图5，对于函数，求导后可得:当时，，在区间递减；当时,,在区间递减,在区间递增,;⑥如图6，对于函数，求导后可得:当时，，在区间递减；当时,,在区间递减,在区间递增,;⑦如图7，对于函数，求导后可得:，在区间递减，在区间递增,;⑧如图8,对于函数,求导后可得:在区间递减,在区间递增,;我们可以利用八大函数快速求解最值或单调区间注意:改变单调区间的因素:、、；改变最值的因素:;题型1基本求导例1下列式子正确的是（）A.B.C.D.例2若函数,则（）A. B.C. D.例3已知函数（其中是的导函数）,则A.B.e+3C.e-2D.e-3例4函数,其导函数记为（）A.-3B.3C.-2D.2例5已知函数,则（）A.B.C.D.题型2必备拓展知识例6给出定义:若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数,记.若在上恒成立,则称在上为凸函数（反之为凹函数）.以下四个函数在上不是凸函数的是A. B.C. D.例7（多选）已知函数的导函数为,若存在使得,则称是的一个“新驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是（）A.B.C.D.例8给出定义:设是函数的导函数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点为,则下列结论正确的为（）A. B.点在直线上C. D.点在直线上例9以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系,是微积分学重要的理论基础,其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心,其内容如下:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,则内至少存在一个点,使得,其中称为函数在闭区间上的“中值点”.请问函数在区间上的“中值点”的个数为（）A.1B.2C.3D.4考向2导数的切线问题题型1在点的切线方程切线方程的计算:函数在点处的切线方程为:,一定要抓住关键.例10（2023·甲卷）曲线在点处的切线方程为（）A.B.C.D.例11（2025·新高考I）若直线是曲线的切线，则_____.例12（2024·甲卷）设函数,则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A.B.C.D.题型2过点的切线方程设切点为,则斜率,过切点的切线方程为,又因为切线方程过点,所以然后解出的值.注意:在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.例13已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为_____.例14已知，则函数的图像过点的切线方程为_____.例15（2022·新高考II）曲线过坐标原点的两条切线的方程为_____，_____。题型3切线条数问题设切点为,则斜率,过切点的切线方程为,又因为切线方程过点,所以然后解出的值,有几个值,就有几条切线.例16经过点作曲线的切线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条例17（2021·新高考I）若过点可以作曲线的两条切线，则（）A.B.C.D.例18（2022-新高考I）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是_____.题型4公切线问题公切线代数表达:当与具有公切线时,设直线与切于点与切于点,①当与切于同一点,设切点为,则有;②公切线方程的等量关系，求参数取值范围或者切点的取值范围.例19（2024·新高考I）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_____.例20曲线在点处的切线与在点处的切线相同,则（）A.-1B.-2C.1D.2例21（深圳一模）已知曲线与曲线只有一个公共点,则（）A.B.1C.D.考向3单调性与极值最值1.函数单调性和导数的关系（1）函数的单调性与导函数的正负之间的关系①单调递增:在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；②单调递减:在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减.③如果在某个区间内恒有，那么函数在这个区间上是一个常数函数.（2）函数值变化快慢与导数的关系一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么在这个范围内函数值变化得快,这时,函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢,函数的图像就“平缓”一些.2.函数的极值（1）极小值点与极小值:如图,函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小,,而且在点附近的左侧,右侧,则把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值.（2）极大值点与极大值:如图,函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都大,,而且在点附近的左侧,右侧,则把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值.（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.3.函数的最大值与最小值（1）一般地，如果在区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当的图像连续不断且在上单调时,其最大值和最小值分别在两个端点处取得.（2）函数的极值与最值的区别①极值是对某一点附近（即局部）而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.②在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值最多有一个.③函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.题型1最值与求参例22下列函数中,在区间内不单调的是（）A.B.C.D.例23（2022·乙卷）函数在区间的最小值、最大值分别为（）A.B.C.D.例24已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.题型2极值与求参例25（2025·新高考II）若是函数的极值点，则_____.例26若函数有两个不同的极值点,则实数的取值范围为（）A.B.C.D.例27已知函数在处有极值0，则实数的值为_____A.4B.4或11C.9D.11例28（2024·多选·新高考I）设函数，则（）A.是的极小值点B.当时,C.当时,D.当时,考向4必备函数模型题型1三次函数的图像和性质基本性质设三次函数为:（、、、且），其基本性质有:性质1:①定义域为.②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值.③单调性和图像:图像性质2:三次方程的实根个数对于三次函数,其导数为.当,其导数有两个解,原函数有两个极值.①当时，原方程有且只有一个实根；②当时，原方程有两个实数根；③当时，原方程三个实数根；性质3:对称性三次函数是中心对称曲线,且对称中心是;,其中横坐标为其函导数的对称轴;性质4:三次函数韦达定理若有三个零点:,则证明:设一元三次方程:的三个根分别为,则有:,展开整理得:,对比系数得:,故例29（2024·新高考Ⅱ）设函数,则（）A.当时,有三个零点B.当时,是的极大值点C.存在,使得为曲线的对称轴D.存在,使得点为曲线的对称中心例30（2021乙卷）设,若为函数的极大值点,则（）A.B.C.D.例31已知函数，且，则（）A.B.C.D.例32（2026·巴蜀中学月考T14）已知关于的方程有三个不等实根、,且,则实数取值范围是（）A.B.C.D.例33（2026·T8联考T11）已知三个不同的实数，满足，且，则（）A. B.C. D.的最小值是-28题型2八大同构函数模型例34利用八大函数（不求导）求下列函数的单调区间:①;②；例35利用八大函数（不求导）求下列函数的最值:①;②；③；④；⑤；例36已知函数的最小值分别为,则（）A. B.C. D.的大小关系不确定题型3飘带函数函数的图像类似两条无限延伸的飘带，故把它称为飘带函数.由于一条飘带函数与对数函数具有紧密的放缩关系,为使整个函数放缩关系完整,我们通常用一个反比例函数对进行逼近放缩,如图,从图像可以看出三个函数在的左右两边大小关系彻底发生改变,既有结论:①;②,此不等式在多变元问题中是常见有效的放缩方法,是多元问题的一条主线,万万不能忘记.证明①构造函数，则，而，故当时，；当时.②构造函数，则，而，故当1时,;当时,.飘带函数在高考中应用广泛，如:证明对均、比大小、导数与数列结合、端点效应、三零点问题等.例37已知函数，对任意的，都有，则实数的取值范围是（）A.B.C. D.例38设,则（）A.B.C.D.考向5同构体系题型1单变量同构例39设实数,若对任意的,不等式恒成立,则的取值范围是_____.例40若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____.例41函数，若恒成立，则实数的取值范围为_____.例42已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____.题型2双变量同构与等量关系八大同构函数中,会经常形成内部同构的关联,成为了近几年常考题型.①若，则，当时，，当（或者）时,一定有,或者;②若（或），则（或），当时，,当（或者）时,一定有,或者;③若，则，当时，，当（或者）时,一定有,或者;例43已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的值为A.B.C.D.例44已知函数,若存在,使得成立，则的最大值为_____.例45（2022·新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值.（1）求a；（2）证明:存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.例46（2026·河北邯郸月考）已知函数与函数有相同的最大值.（1）求的值；（2）若函数共有4个不同的零点，且,证明:.题型3朗博同构的保值性1.朗博函数指的是形如或类型的函数,我们可以将这类函数进行“改头换面”处理比如;关于朗博函数我们一般往母函数同构,即恒成立,当且仅当时等号成立;或,当且仅当时等号成立,等等,要确保“”能成立,且取等条件满足定义域,我们称之为保值性.2.常见变形总结（注意定义域）例47已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.例48若时，恒有成立，则实数的取值范围是_____.例49若,则的取值范围为（）A. B.C.D.题型4双变量同构的新考法1.一类题型是不同同构方式下的内部关系或外部关系2.一类题型是同构结合其他知识点进行考察3.一类题型是不完整同构的考察例50（多选）已知,则（）A.B.C.D.例51（多选）已知实数满足，则（）A.B.C.D.例52已知，且，e为自然对数的底数，则（）A.B.C.D.例53若，自然对数的底数为，则的最小值为_____.例54对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是_____.拓展思维拓展1数形结合与公切线问题题型1平移函数公切线问题当与为平行曲线,即,则有证明:按照数形结合来理解,就是与,两点确定公切线,两切点连线的斜率就是公切线斜率,即将切点左移单位,再下移单位,这样得到点,所以公切线斜率,注:可通过图像确定的正负.例1（2016·新课标II）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_____.例2若直线与曲线和曲线同时相切，则（）A.B.C.D.题型2公切线方程中的隐形同构两曲线公共点公切线问题:当与切于同一点,设切点为,则有,单参数求定值,双参数转化为单参数后确定参数的取值范围,这里面要看清楚同构.例3直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则的最大值是A.B.C.2eD.4e例4（多选）已知.若图像有公共点,且在该点处的切线重合,则的可能取值为（）A.B.C.D.题型3凹凸性数形几何解读公切线条数与是否有公切线,决定它们公切线条数的是函数凹凸性和相同的单调区间交点.凹凸性相同的两曲线,在两个曲线时,两个函数均为凹函数,且,时均在递增区间,①如图,若与无交点,可以类比于两个圆的外公切线,当小圆内含于大圆时,无公切线;②若与有唯一交点时,如图,可以类比于当小圆与大圆内切时,有唯一的外公切线;③若与有两个交点时,如图,可以类比于当小圆与大圆相交时,有两条外公切线;同理,凹凸性不同的两条曲线,在两个曲线为凹函数,为凸函数时,且,两个函数均在递增区间;④如图，若与有两个交点，可以类比圆的内公切线，当两圆相交时，无内公切线；⑤若与有唯一交点时,如图所示,可以类比于当两圆外切时,有唯一的内公切线.⑥若与无交点时,如图所示,可以类比于当两圆相离时,有两条内公切线.例5已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为A.0B.1 C.2D.无数例6若函数与函数的图像存在公切线,则的取值范围为（）A.B.C.D.例7（多选）若两曲线与存在公切线,则正实数的取值可能是（）A.1.2B.4C.5.6D.2e题型4分段函数公切线条数问题例8（多选）关于曲线和的公切线，下列说法正确的有（）A.无论取何值,两曲线都有公切线 B.若两曲线恰有两条公切线,则C.若,则两曲线只有一条公切线 D.若,则两曲线有三条公切线例9若曲线与曲线有公切线,则实数的取值范围是（）A.B. C.D.拓展2切线条数与拐点切线界定题型1数形结合凹凸性分析我们可以参考圆的切线，对于圆上一点只能作一条切线，圆外一点能作两条切线，圆内一点不能作切线，所以对于一个凹凸性不改变的函数,即二阶导没有变号零点的函数,在“圆外”一点能作两条切线如下左图所示.例10（2021新高考I）若过点可以作曲线的两条切线,则（）A.B.C.D.题型2三次函数切线条数一般地,如图,过三次函数图像的拐点（对称中心或拐点）作切线,则坐标平面被切线和函数的图像分割为四个区域,有以下结论:（1）由于区域I、IV属于外弧区域，故过区域I、IV内的点作的切线，有3条；（2）由于区域II、III属于内弧区域,过区域II、III内的点或者对称中心作的切线，有且仅有1条；（3）过切线或函数图像（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有2条.例11（2022·多选·新高考I）已知函数，则（）A.有两个极值点B.有三个零点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线例12过点可作三条直线与曲线相切，则的取值范围为（）A.B.C.D.例13若过点可作曲线三条切线,则（）A. B.C.或 D.题型3含渐近线和拐点的函数切线界定关于切线条数问题,由于,当2时,,此处为函数的拐点,易求拐点处切线方程为,当时,,我们把称为此函数的渐近线,区别于三次函数只有拐点,故我们通过拐点切线和渐近线,将平面分为7个区域,我们可以对此类型题进行归纳总结,如下:（1）当时，函数与拐点处切线以及轴（渐近线）将平面分成四个区域（如图所示），分别由两个外弧区域和两个内弧区域组成，①区域1和区域4属于双外弧区域，位于此区域的点能作三条切线；②区域2和区域3属于一内弧一外弧区域,位于此区域的点能作一条切线；我们将拐点切线作为内外弧分界点,区域2就是拐点右侧曲线的内弧区域,但是相对于曲线左侧,则是外弧区域,所以只能往拐点左侧区域作唯一一条切线,也是“远切线”；同理，区域3是拐点左侧曲线的内弧区域，也是拐点右侧曲线的外弧区域，所以过区域3的任意一点能作唯一一条切点位于拐点右侧的“远切线”；那么区域1和区域4就是拐点左右两侧的双外弧区域,在本侧能作两条切点位于拐点同侧的“近切线”,以及一条拐点另一侧的“远切线”.③过曲线上拐点处仅能作一条切线，过拐点以外的曲线上任意一点能作两条切线；在曲线上任意一点能作一条切线,这可以理解为拐点同侧外弧的两条切线合二为一,类比于圆,圆上一点能作一条切线,就是圆外的两条切线在这里合二为一,还有一条切线源自拐点另一处的“远切线”.④过拐点处切线上除了拐点以外的任意一点，仅能作两条切线；拐点切线,就是一条“近切线”和一条“远切线”合二为一，否则就会有三条切线.（2）当时，函数与拐点处切线以及轴将平面分成三个区域（如图所示）,分别由两个外弧区域和一个内弧区域组成,由于不在渐近线内侧,故少了一条“远切线”.⑤区域5和区域7属于双外弧区域，位于此区域的点能作两条切线，相比区域1和区域4，少了一条位于处的远切线；⑥区域6属于一内弧一外弧区域,由于唯一一条远切线的缺失,故位于此区域的点不能作的切线;⑦由于缺失了一条远切线，故过曲线上任意一点仅能作一条切点在曲线上切线；⑧过曲线与轴的交点仅能作唯一切线.例14（2022·新课标1卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是_____.例15（多选）已知过点作曲线的切线有且仅有1条,则的可能取值为A.-5B.-3C.-1D.1例16若曲线有三条过点的切线,则实数的取值范围为（）A.B.C.D.例17若过点可以作曲线的三条切线,则（）A.B. C.D.例18（无拐点）过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围为（）A.B. C.D.例19若过点可以作曲线的两条切线,切点分别为,则的取值范围是（）A.B.C.D.拓展3小题双参篇优化方法题型1单调与共零点转化若,且满足:①与在同一定义域内有变号零点;②与同为单调递增（或单调递减）函数；则一定有与共零点，即零点相同，如图.例20设函数,若,则的最小值为（）A.B.C.D.0例21函数，若恒成立，则的最小值是A.B.C.D.例22（2024·新高考II）设函数，若，则的最小值为A.B.C.D.1题型2距离转换与柯西不等式柯西不等式:,取等或”.例23若关于的方程有实根，则的最小值为_____.例24已知函数有实根，则取最小值时，的值为_____.例25（2022·天津卷改编）已知函数.若和有公共点,求证:.题型3零点比大小破双参比值问题1.恒成立,求的最值和取值范围;2.恒成立,求的最值和取值范围.如图1所示,通常的方法是构造函数,则时,从而达到解决此类型的目的,这种解答方法适合解答题,但此类型题目出现在选填压轴题的几率更大,常规思路由于计算量大,对一道客观题来说没必要，故需要采纳一些高观点低运算的方法，此类型可以利用数形结合的思想，如图2所示，通常是一个凹函数,如意味着与相切时即恒成立,是直线和轴的交点,记为,将的唯一零点求出,满足即可.同理,在比较时,也是一类型转化,此时为凸函数,也将图3的方案转化为图4,构造;四个图中的虚线直线是不可能满足题目要求的,此方法叫零点比大小.注意:①直曲分离是关键，问题与直线零点有直接关系，所以我们可以根据问题来将原式进行变形.②此类问题，关于参数是存在性问题，即存在，后续的切线找点也是如此.例27若不等式对恒成立，其中，则的最大值为（）A.B.C.ln3e D.例28不等式对任意实数恒成立，则的最大值为A.B.C.D.例29已知函数，对任意恒成立,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.例30已知对恒成立，则的最小值为_____.题型4切线比较法破解双参乘积问题已知,当且仅当时取等,则有,我们可称为临界切线.若,求的最大值,我们可以做如下分析:首先,需满足与题设矛盾,;注意到与斜率相等,则仅需满足（如下图）,即可得到,接下来同构或者求导即可求出最值.例31已知函数，若，则的最大值为_____.例32已知函数，若恒成立，则的最大值是（）A.-1 B.1 C.2 D.例33（新课标真题改编）已知函数满足,若,则的最大值为_____.例34若关于的不等式（为自然对数的底数）在上恒成立,则的最大值为（）A. B. C. D.题型5平行切线与距离问题例35（2012·新课标）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）A. B.C.D.例36已知函数与分别是函数图像上的动点,则的最小值为（）A.B. C. D.例37实数满足,则的最小值是.例38在同一平面直角坐标系中,分别是函数和图像上的动点,若对任意,有恒成立,则实数的最大值为（）A.B.C. D.实拓展4原函数与导函数的定性分析原函数与导函数周期的关系定理1:若关于直线对称,则关于点对称,反之亦然;当关于直线对称时,则是的极值点,易知;可以参考三角函数的对称轴为，则其导函数，其关于点对称.定理2:若关于点对称，则关于直线对称，反之亦然；参考三角函数的对称中心为,则其导函数,其关于直线对称.定理3:若的周期为,则的周期也为.例39（2022·新课标1卷·多选）已知函数及其导函数的定义域均为,记,若均为偶函数,则（）A.B.C.D.例40（2026·长沙名校联考）已知函数的定义域均为,它们的导函数分别为.若是奇函数,与图像的交点为,,则（）A.的图像关于点对称 B.的图像关于直线对称C.的图像关于直线对称D.例41（2026·多选·衡水月考T11）已知函数及其导函数的定义域均为，且满足,则（）A.-18B.-20C.88D.90例42（2026·成都月考T14）已知函数定义域为,若为奇函数,,则_____.类拓展5抽象函数的导函数构造角度1:导数和差，构造和差型函数和与积联系,构造乘积型函数;差与商联系,构造分式型函数:角度2:幂函数及其抽象构造定理1:证明:因为,所以,则函数单调递增;,则单调递增.定理2:当时,证明:因为,所以,则函数单调递增;,则单调递增.角度3:指数函数与抽象构造定理3: 证明:因为,所以,则单调递增;反之单调递减;