高考数学一轮复习 新思路 9.1 直线与圆

9.1直线与圆考向1直线与方程题型1倾斜角、斜率、直线方程直线与方程1.直线的倾斜角和斜率若直线与轴相交,则以轴正方向为始边,绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角.（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为0（2）倾斜角的取值范围设直线的倾斜角为,则的正切值称为直线的斜率,记为（3）当时，斜率不存在;所以竖直线是不存在斜率的（4）越大，直线越陡峭2.过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点则（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关.（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为（3）三点共线两直线的斜率相等三点共线;反过来,三点共线,则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在.3.直线的方程（一）直线的截距若直线与坐标轴分别交于,则称分别为直线的横截距,纵截距（1）截距:可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线（二）直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于轴的直线名称方程适用范围斜截式不含垂直于轴的直线两点式不含直线和直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用题型2求直线斜率和方程例1在下列四个命题中,正确的是（）A.若直线的倾斜角越大,则直线斜率越大B.过点的直线方程都可以表示为:C.经过两个不同的点的直线方程都可以表示为:D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为例2已知点,若过的直线与线段相交,则实数的取值范围为A.B.C.或D.例3（2026秋·兴义市校级月考·多选）直线,下列选项中正确的有（）A.若，则与射线相交B.若，则与射线平行C.若，则与射线垂直D.若存在，则在上例4（2026·广东二模·多选）在平面直角坐标系中，已知正方形四边所在直线与轴的交点分别为,则正方形四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（）A.2 B.C.D.（三）直线系问题概念:具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系.它的方程称直线系方程.题型3位置关系直线,直线,若,则;若,则.（此处注意与向量的区别）例5“”是“直线与直线平行”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件例6（2026秋·东西湖区校级期中）直线和的位置关系是A.平行B.重合C.相交D.不确定题型4距离问题（一）两点间距离设,则.（二）点到直线距离设，，则点到直线的距离，.（三）两平行线间距离,则的距离为.例7（2026秋·南海区校级期中）“”是“两点，到直线的距离相等”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件例8已知直线相互平行,则之间的距离为A.B.C.D.例9（2020新课标III）点到直线距离的最大值为（）A.1 B. C. D.2例10已知实数,则的取值范围是（）A. B. C. D.例11已知两点，直线，在直线上求一点（1）使最小；（2）使最大.例12（2024・四川）设,过定点的动直线和过定点的直线交于点,则的取值范围是（）A.B.C.D.例13（2026·多选·沈阳期末）在平面直角坐标系中,设定点是函数图像上一动点.若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为（）A.B.C.1D.-1题型5对称问题1.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论:（1）点关于轴的对称点为.（2）点关于轴的对称点为.（3）点关于原点的对称点为.（4）点关于直线的对称点为.（5）点关于直线的对称点为.（6）点关于直线的对称点为.（7）点关于直线的对称点为.2.点关于直线对称点关于直线对称的点为,连接,交于点，则垂直平分,所以,且为中点,又因为在直线上,故可得,解出即可.策略:点关于直线对称的妙解公式,设点关于直线对称的点为,则坐标为,其中.定理1:点关于直线对称的点坐标为.点关于直线对称的点坐标为.直线关于直线对称的直线方程为.直线关于直线对称的直线方程为.直线关于点对称的直线方程为.定理2:点关于直线对称的点坐标为.点关于直线对称的点坐标为.直线关于直线对称的直线方程为直线关于直线对称的直线方程为关于定理2,只需记住或者例14已知点与关于轴对称,点与点关于轴对称,点与点关于直线0对称,则点的坐标为（）A.B.C.D.例15（2026秋·天津校级月考）已知直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为_____；直线关于直线对称的直线方程为_____.例16（2026秋·宝坻区校级月考）已知直线，求::（1）点关于的对称点；（2）直线关于直线对称的直线方程；（3）直线关于（1，2）的对称直线.例17（2026秋·杭州期中）已知，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上,最后经直线反射后又回到点,则光线所经过的路程是（）A.B.6C.D.考向2圆与方程题型1圆的方程1.圆的方程（1）圆的定义在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆（2）圆的标准方程设圆心的坐标,半径为,则圆的标准方程为:（3）圆的一般方程圆方程为，圆心坐标:，半径:①，的系数相同，方程中无项②对于的取值要求:③以及为直径端点的圆的方程为（4）确定圆心的位置:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上.②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上.③两圆相切时，切点与两圆圆心共线.（5）求圆方程的方法:①几何法:根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程②待定系数法:a.根据题意，选择标准方程或一般方程；b.根据条件列出关于或的方程组;c.解出或,代入标准方程或一般方程③相关点法（代入法）若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系,可设点,用点的坐标表示出来点,然后代入曲线方程,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称代入法）.④换元法（参数方程法）若圆心为点,半径为,则可将圆上的点换元为为.其中为参数,.例18已知是实数，则“”是“方程表示圆”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件例19（多选）设点和均在上,圆心在直线上,则下列结论正确的是（）A.圆心为（1，-1） B.半径为5C.一般方程为 D.点到直线距离为例20已知圆的圆心在直线上,且点和均在圆上,则圆的标准方程为.例21已知圆经过三点.（1）求圆的方程；（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为.①求的方程；②试探究:在直线上是否存在定点（异于原点），使得对于上任意一点，都有为一常数,若存在,求出所有满足条件的点的坐标,若不存在,说明理由.题型2位置关系2.位置关系（1）点与圆的位置关系解法一:点与圆的位置关系:若在圆外,则;若在圆上,则若在圆内,则.解法二:点与圆的位置关系:若在圆外,则,若在圆上,则,若在圆内,则（2）直线与圆的位置关系直线与圆相交,有两个公共点;直线与圆相切,只有一个公共点;直线与圆相离,没有公共点.（3）判断直线与圆的位置关系的方法几何法:利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系.相交;相切;相离代数法:联立直线方程与圆方程,得到关于的一元二次方程则判别式（4）圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为,圆心距为,则两圆的位置关系可用下表来表示:位置关系相离外切相交内切内含几何特征代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210例22（2021・多选・新高考II）已知直线与圆:，点，则下列说法正确的是（）A.若点在圆上,则直线与圆相切B.若点在圆外,则直线与圆相离C.若点在直线上,则直线与圆相切D.若点在圆内,则直线与圆相离例23（2016·山东）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.相离例24（2026秋・大兴区期末）已知圆，则圆的半径为_____；是圆上任意一点,且点,满足是钝角，则正数的取值范围是_____.例25（2026秋·南安市期中）直线的方程为，则圆:上到直线距离为1的点的个数为（）A.4B.2C.1D.3例26在平面直角坐标系中,经过两点和,且圆心在直线上的圆与轴交于两点在的左侧）,若直线与圆相交于两点.（1）求圆的方程；（2）若，求实数的值；（3）设直线与直线交于点，记直线，直线，直线的斜率分别为，，，求证:是的等差中项.题型3切线问题与弦长问题（1）圆的切线方程的求法①点在圆上，解法一:利用切线的斜率与圆心和切点连线的斜率的乘积等于-1,即.解法二:圆心到直线的距离等于半径.②点在圆外,则设切线方程:,变成一般式,因为与圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径,解出.注意:因为此时点在圆外,所以切线一定有两条,即方程一般是两个根,若方程只有一个根,则还有一条切线的斜率不存在,务必要把这条切线补上.（2）常见圆的切线方程过圆上一点的切线方程是;过圆上一点的切线方程是.过圆外一点作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为过曲线上,做曲线的切线,只需把替换为替换为替换为替换为即可,因此可得到上面的结论.题型4弦长问题①利用垂径定理:半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法.②利用交点坐标:若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长.③利用弦长公式:设直线，与圆的两交点，，将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数关系得弦长:例27（2025·新高考I）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个,则的取值范围是（）A.B.C.D.例28（2025·天津）与轴交于点,与轴交于点,与圆交于两点，，则_____.例29（2026秋·泉州期中）已知是圆上两点,且,若直线上存在点使得,则实数的取值范围为（）A. B.C. D.例30已知圆与圆有两条公切线,则实数的取值范围是（）A. B. C.D.例31（2023·乙卷）已知的半径为1,直线与相切于点,直线与交于两点，为的中点，若，则的最大值为（）A.B.C.D.例32（2021·多选·新高考Ⅰ）已知点在圆上，点，，则（）A.点到直线的距离小于10B.点到直线的距离大于2C.当最小时,D.当最大时,例33（2026-多选・江苏期中）已知为圆的弦,且点为的中点,点为平面内一动点,若,则（）A.点构成的图像是一条直线 B.点构成的图像是一个圆C.的最小值为2 D.的最小值为3例34（2026秋·海淀区校级期末）已知直线与交于两点.（1）时，；题型5动点与距离问题与圆有关的长度或距离的最值问题的解法,一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.（1）形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题.（2）形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题.（3）形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题例35若实数满足，则的最小值为-2，的最大值为_____.例36（2026秋·佛山期中）已知是圆上任意一点，则的最小值为（）A.B.C.D.例37已知直线上存在点，使得过点可作两条直线与圆:分别切于点,且,则实数的取值范围是（）A. B.C. D.例38若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A.B.C.D.例39（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.的最大值为C.的最大值为D.的最大值为拓展思维拓展1阿氏圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”.特殊地,当时,点的轨迹是线段的中垂线.求证:已知动点与两定点的距离之比为,那么点的轨迹是什么?证明:不妨设,由得:,即,①当时,即为,整理得:,即点的轨迹是以为圆心,为半径的圆;②当时,化简得,即点的轨迹为轴.如图，、、、为调和点列；、分别为的内、外角平分线；；以上三个条件中,知道任意两个都可以推得第三个!设阿波罗尼斯圆的圆心为,半径,则有,即,即,即,即（反演）.同时,,即.例1古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中,,点满足.当三点不共线时,面积的最大值为（）A.24B.12C.6D.例2阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波