重难专攻1　导数中函数的构造问题

1/1重难专攻1导数中函数的构造问题函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，多以客观题的形式出现，通过构造一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质（单调性、极值、最值等），来解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.与f'（x）有关的函数构造问题（定向精析突破）考向1利用f（x）与xn构造函数（1）（2026·山东济南三校第一次联考）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（D）A.（－4，0）∪（0，4）B.（－∞，－4）∪（4，＋∞）C.（－4，0）∪（4，＋∞）D.（－∞，－4）∪（0，4）解析：构造F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出当x＜0时，F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减.根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）.（2）已知函数f（x）的定义域为[0，＋∞），导函数为f'（x），若f'（x）＜f（x）x+1恒成立，则A.f（2）＞f（3） B.2f（1）＞f（3）C.f（5）＞2f（2） D.3f（5）＞f（1）解析：因为f'（x）＜f（x）x+1，x≥0，所以（x＋1）·f'（x）－f（x）＜0，构造函数g（x）＝f（x）x+1，x≥0，则g'（x）＝（x+1）f'(x）－f（x）（x+1）2＜0，所以g（x）在定义域上是减函数，从而g（1）＞g（2）＞g（3）＞g（5），即f（1）2＞f（2）3＞f（3）4＞f利用f（x）与xn构造函数（1）出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；（2）出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝f（考向2利用f（x）与ex构造函数〔多选〕已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A.f（2）＜e2f（0） B.f（2）＞e2f（0）C.e2f（－1）＞f（1） D.e2f（－1）＜f（1）解析：AC构造F（x）＝f（x）ex，则F'（x）＝exf'(x）－exf（x）e2x＝f'(x）－f（x）ex，又导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x），则F'（x）＜0，F（x）在R上是减函数，故f（－1利用f（x）与ex构造函数（1）出现f'（x）＋nf（x）形式，构造函数F（x）＝enxf（x）；（2）出现f'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝f（考向3利用f（x）与sinx，cosx构造函数（2026·山东潍坊模拟）已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导函数是f'（x）.若f'（x）sinx－f（x）cosx＞0恒成立，则关于x的不等式f（x）＜2f（π6）sinx的解集为（）A.（0，π6） B.（0，πC.（0，π3） D.（0，π解析：A构造F（x）＝f（x）sinx，则F'（x）＝f'(x）sinx－f（x）cosxsin2x＞0，所以F（x）在定义域（0，π）内是增函数.所以关于x的不等式f（x）＜2f（π6）sinx，可化为f（x）sinx＜f（π6）sinπ6，即F（利用f（x）与sinx，cosx构造函数（1）出现f'（x）sinx＋f（x）cosx形式，构造函数F（x）＝f（x）sinx；（2）出现f'（x）sinx－f（x）cosx形式，构造函数F（x）＝f（（3）出现f'（x）cosx＋f（x）sinx形式，构造函数F（x）＝f（（4）出现f'（x）cosx－f（x）sinx形式，构造函数F（x）＝f（x）cosx.训练1（1）函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f'（x）＞2，则f（x）＞2x＋4的解集为（B）A.（－1，1） B.（－1，＋∞）C.（－∞，－1） D.（－∞，＋∞）解析：令g（x）＝f（x）－2x－4，则g'（x）＝f'（x）－2＞0，∴g（x）为R上的增函数，又∵g（－1）＝f（－1）－2×（－1）－4＝0.∴f（x）＞2x＋4等价于g（x）＞g（－1），解得x＞－1.（2）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞1，f（1）＝4，则不等式exf（x）＞ex＋3e的解集为（D）A.（－∞，0） B.（－∞，1）C.（0，＋∞） D.（1，＋∞）解析：设g（x）＝exf（x）－ex（x∈R），则g'（x）＝exf（x）＋exf'（x）－ex＝ex[f（x）＋f'（x）－1]，因为f（x）＋f'（x）＞1，所以f（x）＋f'（x）－1＞0，又ex＞0，所以g'（x）＞0恒成立，所以函数g（x）在定义域R上单调递增.故原不等式可转化为exf（x）－ex＞3e，又f（1）＝4，所以g（1）＝ef（1）－e＝3e，所以g（x）＞g（1），所以x＞1.故选D.（3）已知f（x）是定义在（0，π2）上的函数，f'（x）是它的导函数，且恒有f'（x）＞f（x）tanx成立，则有（DA.2f（π4）＞f（πB.3f（π6）＞2cos1·f（1C.2f（π4）＜6f（πD.3f（π6）＜f（π解析：∵x∈（0，π2），∴sinx＞0，cosx＞0.由f'（x）＞f（x）tanx，得f'（x）cosx－f（x）sinx＞0，构造函数g（x）＝f（x）cosx，则g'（x）＝f'（x）·cosx－f（x）sinx＞0，∴函数g（x）在（0，π2）上单调递增.结合选项知，g（π6）＜g（π3），即f（π6）·cosπ6＜f（π3）cosπ3，∴3f（π6）通过变量构造具体函数（师生共研过关）（1）若lnx－lny＜1lnx－1lny（x＞1，y＞1），则（A.ey－x＞1 B.ey－x＜1C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1解析：依题意，lnx－1lnx＜lny－1lny，令f（t）＝t－1t（t≠0），则f'（t）＝1＋1t2＞0，∴f（t）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增，又x＞1，y＞1，得lnx＞0，lny＞0，则f（lnx）＜f（lny），则lnx＜lny，∴1＜x＜y，即y－x＞0，∴ey－x＞e0＝1，A正确，B不正确；又无法确定y－x－1与0的大小关系（2）（2026·贵州贵阳质检）已知a＜5，且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则（D）A.c＜b＜a B.b＜c＜aC.a＜c＜b D.a＜b＜c解析：三个等式可变形为e55＝eaa，e44＝ebb，e33＝ecc.∵ae5＝5ea，a＜5，∴a＞0.同理b＞0，c＞0.构造函数f（x）＝exx，x＞0，则f'（x）＝ex（x－1）x2.当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.∵f（5）＝f（a），而0＜a＜5，故0＜a＜1.同理，0＜b＜1，0＜c＜1，f（4）＝f（b），f（3）＝f（c）.∵f（5）＞f（4）＞f（3），∴若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，再利用函数的单调性求解.训练2（2026·浙江金华模拟）若对任意的x1，x2∈（m，＋∞），且当x1＜x2时，都有lnx1－lnx2x1－解析：因为当x1＜x2时，都有lnx1－lnx2x1－x2＞3x1x2，所以lnx1－lnx2＜3（x1－x2）x1x2＝3x2－3x1，即lnx1＋3x1＜lnx2＋3x2，令f（x）＝lnx＋3x，所以当任意的x1，x2∈（m，＋∞），且当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（m，＋∞）上单调递增，由f'通过数值构造具体函数（师生共研过关）（1）设a＝ln22，b＝ln33，c＝4－ln4e2，其中e是自然对数的底数，A.b＜a＜c B.a＜c＜bC.b＜c＜a D.c＜b＜a解析：因为a＝ln22＝ln44，b＝ln33，c＝4－2ln2e2＝lne22e22，令函数f（x）＝lnxx，x＞e，求导得f'（x）＝1－lnxx2＜0，即函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减，又3＜e22＜4，因此f（2）已知a－12＝ln2a，b－13＝ln3b，c－e＝lnce，其中a≠12，b≠13，c≠e，则a，b，c的大小关系为c＜a＜b解析：由题得a－lna＝12－ln12，b－lnb＝13－ln13，c－lnc＝e－lne.构造函数f（x）＝x－lnx（x＞0），f'（x）＝1－1x＝x－1x，令f'（x）＝0，得x＝1，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，作出函数f（x）的大致图象如图所示.因为f（a）＝f（12），f（b）＝f（13），f（c）＝f（e），且a≠12，b≠13，c≠e，则由图可知b＞a＞1，0当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小.训练3（1）已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则（A）A.a＞0＞b B.a＞b＞0C.b＞a＞0 D.b＞0＞a解析：由10＝9m＞9，得m＞1.设f（x）＝xm－x－1，x＞1，则当m＞1时，f'（x）＝mxm－1－1＞x1－1－1＝0，所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以f（10）＞f（9）＝0＞f（8），即a＞0＞b.（2）实数e3，3π，π3的大小关系为e3＜π3＜3π.解析：设f（x）＝lnxx，则f'（x）＝1－lnxx2，当x＞e时，f'（x）＜0，所以f（x）在（e，＋∞）上单调递减，所以f（3）＞f（π），即ln33＞lnππ，所以πln3＞3lnπ，所以ln3π＞lnπ3，即3π＞π3.因为y＝x3在（0，＋∞）上单调递增，e＜π，所以e3＜π3，（时间：60分钟，满分：77分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f'（x）＜12，则f（x）＜x2＋12的解集为A.{x｜－1＜x＜1} B.{x｜x＜－1}C.{x｜x＜－1或x＞1} D.{x｜x＞1}解析：D构造函数h（x）＝f（x）－x2－12，所以h'（x）＝f'（x）－12＜0，故h（x）在R上是减函数，且h（1）＝f（1）－12－12＝0，故h（x）＜0的解集为{x｜2.已知e为自然对数的底数，函数f（x）的导函数为f'（x），对任意x∈R，都有f'（x）＜－f（x）成立，则（）A.f（0）e＞f（1）＞ef（2） B.f（1）＞efC.ef（2）＞f（1）＞f（0）e D.ef（2）＞f（解析：A由f'（x）＜－f（x），得f'（x）＋f（x）＜0.令g（x）＝exf（x），则g'（x）＝ex[f（x）＋f'（x）]＜0，所以g（x）是减函数，故g（0）＞g（1）＞g（2），即e0f（0）＞e1f（1）＞e2f（2），同除以e得f（0）e＞f（1）＞ef（23.已知a＝23＋ln32，b＝1＋1e，c＝12＋ln2，A.c＜b＜a B.b＜c＜aC.c＜a＜b D.a＜c＜b解析：D构造函数f（x）＝1x＋lnx，因为f'（x）＝－1x2＋1x＝x－1x2（x＞0）.所以当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增.因为1＜32＜2＜e，所以f（32）＜f（2）＜f（e），即23＋ln32＜12＋ln2＜14.已知α，β均为锐角，且α＋β－π2＞sinβ－cosα，则（A.sinα＞sinβ B.cosα＞cosβC.cosα＞sinβ D.sinα＞cosβ解析：D∵α＋β－π2＞sinβ－cosα，∴β－sinβ＞π2－α－sin（π2－α），令f（x）＝x－sinx，x∈（0，π2），则f'（x）＝1－cosx＞0，∴f（x）在（0，π2）上单调递增，∵α，β均为锐角，则π2－α∈（0，π2），β∈（0，π2），∴β＞π2－α，∴cosβ＜cos（π2－α），sinβ＞sin（π2－α），∴cosβ＜sin5.（2026·湖南衡阳调研）已知函数f（x）的定义域为R，设f（x）的导函数是f'（x），且f（x）·f'（x）＋sinx＞0恒成立，则（）A.f（π2）＜f（－π2B.f（π2）＞f（－πC.f（π2）＜｜f（－π2）｜ D.｜f（π2）｜＞｜f（－π2解析：D设g（x）＝f2（x）－2cosx，则g'（x）＝2f（x）·f'（x）＋2sinx＞0，故g（x）在定义域R上是增函数，所以g（π2）＞g（－π2），即f2（π2）＞f2（－π2），所以f（π2）＞f（－π26.定义在（0，＋∞）上的函数f（x），g（x）的导函数都存在，f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）＜1，且f（1）＝2，g（1）＝1，则不等式f（x）g（x）＜x＋1的解集为（）A.（1，2） B.（2，＋∞）C.（0，1） D.（1，＋∞）解析：D由f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）＜1，可得[f（x）g（x）]'＜1.设函数h（x）＝f（x）g（x）－x，则h'（x）＝f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）－1＜0，所以h（x）在（0，＋∞）上单调递减.因为f（1）＝2，g（1）＝1，所以h（1）＝1，所以f（x）g（x）＜x＋1，即h（x）＜h（1），则x＞1，所以不等式f（x）g（x）＜x＋1的解集为（1，＋∞）.故选D.7.〔多选〕已知a＞b＞0，且a1a＝b1b，A.0＜b＜1 B.0＜a＜1C.1＜b＜e D.a＞e解析：CDa1a＝b1b两边同取自然对数得lnaa＝lnbb，设f（x）＝lnxx，则f'（x）＝1－lnxx2，令f'（x）＞0，解得0＜x＜e，令f'（x）＜0，解得x＞e，∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，∴f（x）在x＝e处取得最大值f（e）＝1e，在（0，e）内，函数f（x）有唯一的零点x＝1，在（e，＋∞）内，f（x）＞0，又∵a＞b＞0且f（a）＝f（b）＞08.〔多选〕（2026·浙江杭州模拟）定义在（0，＋∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且（x3＋x2）f'（x）＜（3x2＋2x）f（x）恒成立，则必有（）A.f（3）＞18f（1） B.f（2）＜6f（1）C.3f（1）＞16f（12） D.f（3）＜3f（2解析：BD因为（x3＋x2）f'（x）－（3x2＋2x）·f（x）＜0，令h（x）＝f（x）x3＋x2，则h'（x）＝（x3＋x2）f'(x）－f（x)(3x2+2x）（x3＋x2）2＜0，所以h（x）在（0，＋∞）上单调递减.对于A，h（3）＜h（1），f（3）27+9＜f（1）2，所以2f（3）＜36f（1），即f（3）＜18f（1），不正确；对于B，h（2）＜h（1），f（2）8+4＜f（1）2，所以f（2）＜6f（1），正确；对于C，h（1）＜h（12），f（19.已知f（x）是定义在（0，π2）上的函数，其导函数为f'（x），f（π3）＝23，且x∈（0，π2）时，f'（x）sinx＋f（x）cosx＞0，则不等式f（x）sinx＜3的解集为{x｜0＜x＜π解析：因为f'（x）sinx＋f（x）cosx＞0，所以[f（x）sinx]'＞0，令g（x）＝f（x）sinx，则当x∈（0，π2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，因为f（π3）＝23，所以g（π3）＝f（π3）sinπ3＝3，不等式f（x）sinx＜3，即g（x）＜g（π3），因为g（x）在（0，π2）上单调递增，所以原不等式的解集为{x｜10.（2026·浙江杭州调研）已知实数a，b，c∈（0，1），且ae2＝2ea，be3＝2eb，ce3＝3ec，则a，b，c的大小关系为b＜c＜a.解析：由ae2＝2ea，可得eaa＝e22，由be3＝2eb，可得ebb＝e32，由ce3＝3ec，可得ecc＝e33.记f（x）＝exx，则f'（x）＝（exx）'＝exx－exx2＝ex（x－1）x2，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，＋∞）时，f'（x）