第7节　向量法求空间角

第7节向量法求空间角课标要求

能用向量方法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问

题，并能描述解决这一类问题的过程，体会向量方法在研究空间角问

题中的作用.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

异面直线所成的角

3.

二面角（平面与平面的夹角）

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.

（

×

）（2）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.

（

×

）（3）两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.

（

×

）（4）直线与平面所成角的范围和平面与平面夹角的范围相同.

（

√

）×××√2.

已知直线l1的方向向量s1＝（1，0，1），直线l2的方向向量s2＝（－1，

2，－2），则l1和l2夹角的余弦值为（

）√

4.

已知两平面的法向量分别为m＝（0，1，0），n＝（0，1，1），则两

平面所成的二面角的大小为

⁠.

45°或135°

5.

已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E

＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值为

⁠.

02PART研透核心考点异面直线所成的角（师生共研过关）

用向量法求异面直线所成角的步骤（1）坐标向量法

直线与平面所成的角（师生共研过关）

（2025·北京高考17题）如图，四棱锥P-ABCD中，△ACD与△ABC

为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，E为BC的中点.（1）F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥平面PAB；

（2）若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求AB与平面PCD所成角的正弦值.

利用空间向量求线面角的步骤提醒：线面角的正弦值对应向量夹角的余弦值的绝对值.训练2

（2026·广东湛江模拟）如图，在四棱锥E-ABCD中，△ABE是正三角形，四边形ABCD是正方形，BC⊥平面ABE，F为BC的中点.（1）证明：AF⊥DE；解：

证明：连接EF，DF，记DE的中点为G，连接AG，FG.

因为BC⊥平面ABE，所以BC⊥BE.

由△ABE是正三角形，四边形ABCD是正方形，F为BC的中点，易得△BEF≌△CDF，则EF＝DF.

因为G是DE的中点，所以FG⊥DE.

又AD＝AE，所以AG⊥DE.

因为FG∩AG＝G，FG，AG⊂平面AFG，所以DE⊥平面AFG，

从而AF⊥DE.

（2）求直线AF与平面CDE所成角的正弦值.

二面角（平面与平面的夹角）（师生共研过关）

（1）求A到平面A1BC的距离；

（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面

角A-BD-C的正弦值.

向量法求二面角（平面与平面的夹角）的方法（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后

通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形

判断所求角的大小；（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂

直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的

大小.训练3

（2026·江苏南京模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面

ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝120°，点E在线段PD上，PB∥平

面AEC.

（1）证明：E为PD的中点；解：

证明：连接BD交AC于点O，连接EO.

因为底面ABCD为菱形，所以O为BD的中点.又因为PB∥平面AEC，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝EO，所以PB∥EO，

所以E为PD的中点.

03PART课时跟踪检测（时间：45分钟，满分：58分）

1.

（13分）（2026·江苏苏州模拟）在如图所示的几何体ABCED中，

EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝CB＝2DB，∠ACB＝

90°，M为AD的中点.（1）证明：EM⊥AB；1234解：

证明：由EC⊥平面ABC，AC，BC⊂平面

ABC，得EC⊥AC，EC⊥BC，又∠ACB＝90°，则AC⊥BC，故以C为原点建立如图所

示的空间直角坐标系，设DB＝1，则CE＝CA＝CB＝2.

1234（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.

12342.

（15分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，P在

底面的投影O落在线段AD上.（1）证明：AP⊥BC；解：

证明：因为AB＝AC，D为BC的中点，故

AD⊥BC，又PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故得PO⊥BC，又PO∩AD＝O，PO，AD⊂平面APO，于是BC⊥平面

APO，AP⊂平面APO，从而AP⊥BC.

1234（2）若BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2，M在线段AP上，且满足平

面AMC⊥平面BMC，求直线BM与直线CP夹角的正弦值.

1234

12343.

（15分）（2026·江苏南京、盐城模拟）如图，△ABC内接于圆O，AB

为圆O的直径，CD⊥平面ABC，E为线段AD中点.（1）求证：平面BCE⊥平面ACD；解：

证明：因为△ABC内接于圆O，AB为圆O的直

径，所以AC⊥BC.

因为CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CD⊥BC.

又AC，CD⊂平面ACD，AC∩CD＝C，所以BC⊥平面

ACD.

因为BC⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面ACD.

1234

1234

1234

解：

证明：因为PA⊥平面ABCD，而AD⊂平面

ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，所以

AD⊥平面PAB，而AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB.

因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，根据平面知识可知AD∥BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.

1234

解：

法一

如图所示，过点D作DE⊥AC于E，再过

点E作EF⊥CP于F，连接DF，因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平

面PAC∩平面ABCD＝AC，所以DE⊥平面PAC，又EF⊥CP，所以CP⊥平面DEF，所以CP⊥DF，根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角，1234

1234法二

以DA，DC分别为x轴，y轴，过D作与平面

AB