第20讲　机械振动

8/8第20讲机械振动1.知道简谐运动的概念，掌握简谐运动的特征，理解简谐运动的表达式和图像。2.知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式。3.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件。双基落实1.易错判断（1）弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能为零。（）（2）简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。（）（3）单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定。（）2.〔人教版选择性必修第一册P42·T2改编〕已知物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin（100t＋π2）cm，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin（100t＋π6）cm，下列说法正确的是A.振幅是矢量，A的振幅是6cm，B的振幅是10cmB.周期是标量，A、B振动的周期都是100sC.A振动的相位始终超前B振动的相位π3D.A振动的频率fA等于B振动的频率fB，均为50Hz考点一简谐运动的基本特征简谐运动的五个特征受力特征回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x的大小成正比，方向相反运动特征靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小能量特征振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒周期性特征质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为T2对称性特征关于平衡位置O对称的两点，相对平衡位置的位移大小、加速度的大小、速度的大小、动能、势能均相等〔多选〕（2026·北京东城一模）如图所示，鱼漂静止时，O点恰好位于水面处。用手将鱼漂缓慢向下压，使M点到达水面，松手后，鱼漂沿竖直方向运动，上升到最高处时，N点到达水面。若鱼漂的MN段可视为圆柱体，仅在重力与浮力的作用下运动，则有关鱼漂松手后的运动，下列说法正确的是（）A.鱼漂的运动是简谐运动B.O点过水面时，鱼漂的速度最大C.M点到达水面时，鱼漂具有向下的加速度D.鱼漂由释放至运动到最高点的过程中，动能先增大后减小尝试解答〔多选〕（2026·河北沧州模拟）如图所示，沿水平方向做简谐运动的质点，以相等的速率依次通过相距0.2m的A、B两点。质点经过A点时开始计时，t1＝1s时经过B点，t2＝3s时也刚好经过B点，则该质点简谐运动的振幅和周期可能是（）A.0.1m，1s B.0.1m，0.4sC.0.2m，0.4s D.0.2m，67尝试解答简谐运动的周期性和对称性（如图）（1）相隔Δt＝nT（n＝1，2，3…）的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。（2）相隔Δt＝（n＋12）T（n＝0，1，2…）的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向（或都为零），速度也等大反向（或都为零）考点二简谐运动的表达式和图像1.简谐运动的振动方程和图像（1）从平衡位置开始计时：x＝Asinωt，如图甲所示。（2）从最大位移处开始计时：x＝Acosωt，如图乙所示。（3）图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。2.由图像可获取的信息（1）振幅A、周期T（或频率f）和初相位φ（如图所示）。（2）某时刻振动质点离开平衡位置的位移。（3）某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。（4）某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。（5）某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。（2026·云南玉溪期中）如图，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin（10πt＋π2）cm，下列说法正确的是（）A.振子的运动周期是0.2sB.t＝0时，振子位于M点C.t＝0.05s时，振子具有最小速度D.从M→O运动过程中，振子的加速度减小，振子的动能减小尝试解答教材母题〔人教版选择性必修第一册P39例题改编〕如图甲所示，竖直悬挂弹簧振子在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，振子到达D点开始计时，规定竖直向下为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，则（）A.弹簧振子从D点经过O点再运动到C点为一次全振动B.图乙中的P点时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向C.弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin（2πt＋3π2D.弹簧振子在前2.5s内的路程为1m链接高考（2024·浙江1月选考10题）如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则（）A.t1时刻小球向上运动B.t2时刻光源的加速度向上C.t2时刻小球与影子相位差为πD.t3时刻影子的位移为5A链接分析教材母题和2024·浙江1月选考10题：（1）都属于竖直方向弹簧振动模型；（2）都考查了简谐运动振动图像的应用；（3）高考题的情境比教材母题更为复杂，是教材母题的拓展提升。弹簧振子周期公式T＝2πmk推导：由于x＝Asin（ωt＋φ0），故v＝ΔxΔt＝－Aωcos·（ωt＋φ0），则a＝ΔvΔt＝－Aω2sin（ωt＋φ0），由牛顿第二定律得F＝－kx＝ma，所以k＝mω2，则ω＝km，故T＝2πω＝2π〔多选〕（2025·河北高考9题）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为θ，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是（）A.左侧小物块沿斜面做简谐运动B.细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大C.右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等D.若θ增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长尝试解答（2026·山西阶段测试）某弹簧振子在光滑的斜面上做简谐振动，其动能与弹性势能随时间变化的图像如图所示，已知轻质弹簧的质量为m，弹簧振子的周期公式为T＝2πmk，由图像的特点分析下列说法正确的是（A.此弹簧振子不是从弹簧处于原长开始计时B.弹性势能的变化周期与动能的变化周期相等C.t0时刻重力势能最小D.弹簧的劲度系数为2考点三单摆及其周期公式1.单摆的受力特征（1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsinθ＝－mglx＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反（2）向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，Fn＝FT－mgcosθ。（3）两点说明①当摆球在最高点时，v＝0，Fn＝mv2l＝0，FT＝mgcos②当摆球在最低点时，Fn＝mvmax2l，Fn最大，FT＝mg＋m2.周期公式T＝2πlg（1）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。（2）g为当地重力加速度。（2025·四川高考5题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（）A.小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零B.小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零C.小球甲、乙的振动周期之比为3∶4D.小球丙、丁的摆长之比为1∶2尝试解答（2026·山东烟台期中）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，其摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2。下列说法正确的是（）A.该单摆摆长约为2mB.t＝1s时，摆球偏离平衡位置的位移最大C.t＝1.5s时，摆球所受回复力最大，速度为零D.0.5～1s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大尝试解答（2026·江苏淮安模拟）某同学探究单摆运动，图甲是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，则以下说法正确的是（）A.单摆振动周期T＝0.8sB.Fmin＝mgC.t＝0.1s时刻摆球速度最大D.t＝0.5s时刻摆球经过最低点（2026·浙江杭州期末）如图所示，某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根悬线长为d，两悬点间相距s，金属小球半径为r，A、B为光电计数器。现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时，启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线（光束）位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时。然后每当小球经过点O时，计数器都计数一次。当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t，则下列说法正确的是（）A.双线摆的摆角越小，则周期越小B.双线摆的振动周期T＝2C.双线摆的等效摆长L＝dD.静止释放瞬间，小球的回复力为零尝试解答对等效摆长的考查主要有以下三点（1）模型等效：如图a，小球在光滑的半径较大（R≫r球）的圆周上做小幅度（θ很小）的圆周运动时，小球做简谐运动，周期T＝2πRg（2）摆长等效：如图b，小球半径可忽略，小球在垂直纸面方向小角度摆动起来时，等效摆长为l·sinα，周期T＝2πlsin（3）等效重力加速度：如图c，小球半径可忽略，摆球在光滑斜面上小角度摆动时，等效重力加速度g'＝gsinθ，周期T＝2πlg考点四受迫振动和共振简谐运动、受迫振动和共振的关系比较振动项目简谐运动受迫振动共振周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱T驱＝T0或f驱＝f0振动能量系统的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆（θ≤5°）机械工作时底座发生的振动共振筛、声音的共鸣等〔多选〕（2025·辽宁沈阳三模）飞力士棒通过利用特殊构造和弹性，产生一定的振动频率，从而这些振动会深入到身体内的核心肌肉，从而达到强化锻炼的作用，如图所示。飞力士棒的固有频率为3.5Hz，则（）A.若该棒做自由振动，则频率为3.5HzB.使用时手振动的频率增大，飞力士棒振动的幅度也随之增大C.手每分钟震动210次，飞力士棒产生共振D.PVC软杆长度不变，负重头质量减小时，飞力士棒的固有频率保持不变尝试解答〔多选〕如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则（）A.a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝Tc＜TbB.b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大C.由图乙可知，此时b摆的周期大于t0D.c摆的摆长为g尝试