第2章剪切与扭转材料力学

材料力学9/11/20261材料力学秦始皇有鞭石之法费长房有缩地之方山东蓬莱阁9/11/20262登高风急天高猿啸哀，渚清沙白鸟飞回。无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。万里悲秋常作客，百年多病独登台！艰难苦恨繁霜鬓，潦倒新停浊酒杯。杜甫3第2章剪切与扭转一、剪切变形受力外力垂直于杆轴，相距很近剪切面上的内力为剪力变形相对错动（相邻截面）角度变化2.1剪切与扭转的概念FF剪切面FVFF

9/11/20264产生剪切变形的构件连接件：螺栓、销钉、铆钉、键木材的齿连接剪切面个数nv单面剪切双面剪切三面剪切……FFFF/2F/2F/2F/2F/3F/3F/39/11/20265二、扭转变形外力特点外力偶作用面垂直于杆件轴线，右手定则平行于杆件轴线外力偶矩平衡（静止不动，或匀角速度转动）变形特点外力偶作用面之间任意两横截面发生相对转动（绕轴线）扭转角

MeMe扭转变形为主的构件，一般称为轴（shaft）9/11/20266扭转的工程实例传动轴

主动轮带动从动轮转动每轮处存在外力偶汽车方向盘的转向轴

转向力通过方向盘以力偶传给转向轴9/11/20267三、剪应变和剪应力1.剪应变ABCDB

C

相邻截面发生相对错动剪切位移（相对错动位移）BB

或CC

小变形假设直角的改变量（弧度）称为剪应变（shearstrain），或角应变、切应变。9/11/202682.剪切胡克定律ABCDB

C

剪切面上有剪应力

在比例极限内，剪应力

与剪应变

成正比比例常数G称为剪切弹性模量，或切变模量具有应力的量纲，常以GPa为单位材料常数之间的关系三个弹性常数中仅两个独立9/11/20269图示正交平面构成的长方体x、y、z方向力自动平衡对y、z轴的距自动平衡剪应力互等定理：在相互垂直的面上，剪应力双生互等，对交线而言，同背向。剪应力互等定理xyzOdydxdz

9/11/202610一、剪应力和承压应力1.剪应力假定剪应力在剪切面上均匀分布2.2剪切的实用计算FFFF/2F/2F/2F/2F/3F/3F/3剪切面上的剪力V由截面法确定。对于单面剪切和螺栓双面剪切，设剪切面有nv个，则截面上的剪力9/11/2026112.承压应力物体之间的作用力F，并非集中力，而是在一个面积内分布的分布压力，其集度成为承压应力或挤压应力（bearingstress）FF剪切面假定在计算承压面上均匀分布计算承压面=真实面积（平面接触）

=假面积dt（半圆柱面接触）dt9/11/202612tABCD平面承压面平面承压面半圆柱面承压面9/11/202613例题2.1

图示榫接头，求剪切面上的剪应力和承压面上的承压应力。解剪切应力MPa承压应力MPa40040016080kN80kN6080kNF剪切面承压面9/11/202614例题2.2铆钉受力如图，承压应力计算有下列四种：

A.

bs=F/(td)B.

bs=2F/(td)C.

bs=2F/(

td)D.

bs=4F/(

td)解承压高度t/2FFdt/2t/2答案：B9/11/202615例题2.3

图示法兰盘由四个直径10mm的螺栓连接，承受力矩作用，砝兰盘厚度12mm。计算连接的剪应力和承压应力。解：每个螺栓承力F1501200N.mFN剪应力MPa承压应力MPaO9/11/202616二、剪切强度条件及其应用1.剪切强度条件极限状态设计法材料的抗剪强度设计值材料的承压强度设计值容许应力法材料的容许（许用）剪应力材料的许用（容许）承压（挤压）应力9/11/2026172.应用于螺栓抗剪连接工程上采用搭接和加盖板的对接，故为单面或双面剪切单个螺栓抗剪满足抗剪条件，一个螺栓所能承担的轴力值单个螺栓承压同一受力方向承压构件的较小总厚度满足承压条件，一个螺栓所能承担的轴力值9/11/202618既满足抗剪，又满足承压，一个螺栓所能承担的轴力已知总的轴向拉力（或压力）设计值F，连接所需螺栓数为收尾法取整9/11/202619例题2.4

两块钢板用普通螺栓的盖板拼接。钢板宽360mm，厚8mm；盖板厚6mm。已知轴心拉力设计值F=325kN，钢材为Q235B，C级螺栓（4.8级）M20。试求连接一侧所需螺栓个数。已知螺栓抗剪强度设计值为140MPa，承压强度设计值305MPa.FFFF9/11/202620解答：N/mm2N/mm2一个螺栓承载力（双面剪切）NNNkN连接一侧所需螺栓数可取7个或8个螺栓9/11/202621三、剪切破坏条件1.需要剪切破坏的情形（1）保险钉、保险栓（2）冲压加工（3）剪裁材料（剪断钢筋、钢板）2.剪切破坏条件剪切面上的计算剪应力不低于材料的抗剪强度极限tt9/11/202622例题2.5

已知钢板厚度t=10mm，钢板的剪切强度极限

b=400MPa，若用冲床在此钢板上冲出一个直径d=30mm的圆孔，问需要多大的冲切力F？解：在冲孔中，剪切面是一个圆柱面冲孔条件所以NkNtt9/11/2026232.3扭矩与扭矩图一、外力偶矩1.已知力偶矩Me2.已知力F，力臂a

Me=FaMexMe3.已知功率和转速设功率为P（power），转速为n

，则有

9/11/202624d

Me所以当Pk

(kW),n(r/min)N.m当Ph(horsepower马力),n(r/min)N.m做功功率9/11/202625二、任意截面的扭矩1.扭矩的正负符号规定右手法则，大拇指所指为T的指向T与截面的外法线一致者为正，反之为负2.任意截面的扭矩TTMe1Me1Me2Me3Me2Me3x左段平衡9/11/202626T=

截面以左外转矩之和（左指为正）T=

截面以右外转矩之和（右指为正）TTMe1Me1Me2Me3Me2Me3x左段平衡结果右段平衡规律总结：9/11/202627三、扭矩图1.扭矩图扭矩沿杆件截面位置变化的曲线（图线），称为扭矩图是内力图之一2.坐标系横坐标—杆件轴线纵坐标—扭矩T(N.m)x150120100直观判断危险截面9/11/202628例题2.6作图示杆件扭矩图解：1800N.m5000N.m2000N.m1200N.mT(N.m)x1800320012009/11/202629例题2.7：作扭矩图已知轴之转速1000r/min，B处输入功率20kW，A、C轮输出分别为12kW和8kW。解：（1）外转矩

ABCN.mN.m（2）扭矩图xT

(N.m)114.5976.399/11/2026302.4圆轴扭转一、扭转剪应力1.扭转变形规律平面假定，

应力与变形关系

任一点的切应力与到圆心的距离成正比。写成等式9/11/2026312.剪应力分布规律实心圆截面：三角形分布空心圆截面：梯形分布最大剪应力：圆轴外边缘9/11/2026323.剪应力计算公式所以其中——截面的极惯性矩——截面的抗扭系数（模量）

max9/11/202633xydD

dA此处极惯性矩按定义计算9/11/202634实心圆截面（

=0）xydD

dA截面抗扭系数4.剪应力强度条件或9/11/202635例题2.8

圆轴直径D=100mm，承受扭矩14kN.m，求A、B、C三点剪（切）应力的数值及方向。解：mm3MPa，水平向左MPa，竖直向上MPa，竖直向上D/4ABCT

A

B

c9/11/202636例题2.9

已知图示受载圆轴的直径d=60mm，材料的许用剪应力[

]=50MPa。校核其强度。解：（1）危险截面：右起第二段0.60.60.61.23.0kN.mkN.m9/11/202637（2）几何值mm3（3）强度校核MPaMPa满足强度条件0.60.60.61.23.0kN.m9/11/202638二、扭转变形计算1.扭转角扭转刚度扭矩和刚度为常量时扭矩和刚度分段为常量时9/11/2026392.刚度条件单位长度扭转角为弧度为单位时度为单位时最大单位长度扭转角不超过允许值或rad/mrad/mm9/11/202640例题2.10

图示受扭圆轴，已知G=80GPa，[

]=50MPa，[

]=1/m，试设计直径d。解：（1）危险截面：左边段2.01.23.2kN.mkN.m9/11/202641（2）强度条件确定直径mm（3）刚度条件确定直径

/mrad/mm9/11/202642（4）最后结果mmmm可取d=62mm9/11/202643例题2.11

图示圆轴，Me1=5kN.m,Me2=3kN.m,l=0.5m,G=70GPa,[

]=50MPa,[

]=0.8/m。校核轴的强度和刚度。解（1）BC段危险

Tmax

=3kN.m（2）强度校核

mm3Me1Me29/11/202644（3）刚度校核MPa<[

]=50MPamm4rad/mm

/m<[

]=0.8/m强度条件和刚度条件都满足9/11/2026452.5非圆截面扭转一、基本规律平面假设不成立相邻截面相对转动横截面不再保持为平面，截面发生翘曲剪应力规律剪应力并不与所在点到截面中心的距离成正比边界点上的剪应力沿边界线的切线角点（尖角点）剪应力为零《弹性力学》可以给出理论解答9/11/202646二、几个简单的非圆截面扭转1.椭圆截面扭转aabbOxyAB

A

BT最大剪应力发生在边界线上最靠近中心的A、B两点单位长度扭转角为且且当a=b=R=D/2时，公式与圆截面的公式完全相同9/11/2026472.矩形截面扭转单位长度扭转角最大剪应力发生在长边中点MeMebh

max

系数

、

与矩形的边长比h/b的关系h/b1.01.52.02.53.04.05.06.010.0

0.2080.2310.2460.2580.2670.2820.2910.2990.3120.333

0.1410.1960.2290.2490.