第十章§10.8概率、统计与其他知识的交汇问题

§10.8概率、统计与其他知识的交汇问题重点解读有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容.近几年，将概率、统计问题与数列、函数、导数结合成为创新问题.题型一概率、统计与数列的综合问题例1(2026·惠州模拟)小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷.(1)若第1次从小明开始，设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.(2)若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率Pn.解(1)投掷两颗骰子共有36个样本点，和为4的倍数的样本点有(1，3)，(3，1)，(2，2)，(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，(6，6)，共9个.所以一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为936=1依题意，X所有的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=14×14×14P(X=1)=34×34×14+14×34×34+14P(X=2)=14×34×14+34×34×34+34P(X=3)=34×14×14所以X的分布列为X0123P121393数学期望为E(X)=0×164+1×2164+2×3964+3×3(2)若第1次从小芳开始，则第n(n≥2)次由小芳投掷骰子有两种情况：①第n-1次由小芳投掷，第n次继续由小芳投掷，其概率为14Pn-1②第n-1次由小明投掷，第n次由小芳投掷，其概率为1−14(1-Pn-1)=34-34因为①②两种情形是互斥的，所以Pn=14Pn-1+34-34Pn-1=-12Pn所以Pn-12=-1因为P1=1，所以P1-12=1所以Pn−12是以1所以Pn-12=1所以Pn=12-−思维升华概率问题与数列的交汇综合性较强，主要有以下类型：(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)求出通项公式.(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.跟踪训练1(2026·昭通模拟)某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障.每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修.机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时.若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案.机器正常工作1小时可收益10元.各小时机器状态是否正常相互独立.(1)假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率；(2)假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益X的分布列和数学期望；(3)假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记n(n∈N*)小时后机器正常的概率为Pn，求Pn并计算n个小时的累计期望收益E(Y).解(1)设“i小时后机器正常”为事件Ai(i=1，2)，设“加急检修，1小时修复”为事件B1，设“常规检修，1小时修复”为事件B2.由题意，P(A1)=0.8，P(A1)=0.2，P(A2|A1)=0.8，P(B1|A1)=0.9，P(B2|A1从而2小时后机器正常的概率为P=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)+0.5P(A1)P(B1|A1)+0.5P(A1)P(B=0.8×0.8+0.5×0.2×0.9+0.5×0.2×0.6=0.79.(2)依题意，X的所有可能的值为-27，-8，11，X=-27的情况为第1个小时没有修复，第2个小时没有修复，第3个小时继续修，修了3个小时花费27元，从而P(X=-27)=0.1×0.1=0.01；X=11的情况为第1个小时检修好，花费9元，第2个小时正常工作，收益10元，第3个小时也正常工作，收益10元，共收益11元，从而P(X=11)=0.9×0.8=0.72；X=-8的情况为有1个小时收益10元，另外2个小时检修花费18元，则P(X=-8)=1-P(X=-27)-P(X=11)=1-0.01-0.72=0.27.于是X的分布列为X-27-811P0.010.270.72数学期望为E(X)=-27×0.01+(-8)×0.27+11×0.72=5.49(元).(3)初始状态正常，令P0=1；1个小时后正常的概率为P1=0.8；2个小时后正常的概率为P2=0.8P1+0.6(1-P1)；同理，n个小时后正常的概率为Pn=0.8Pn-1+0.6(1-Pn-1)(n≥2)，即Pn=0.2Pn-1+0.6=15Pn-1+3故Pn-34=1从而数列Pn−34是首项为P1-34于是Pn-34=120×因此Pn=34+120×15n−1(n初始状态正常，第1个小时期望收益为E(Y1)=10元；第2个小时期望收益为E(Y2)=10P1-6(1-P1)=16P1-6；同理第k个小时期望收益为E(Yk)=16Pk-1-6(k=1，2，3，…，n).因此当n≥2时，n个小时累计期望收益为E(Y)=E(nΣi=1Yi)=nΣi=1E(Yi)=nΣi=1(=16nΣi=1Pi-1-6n=16(P0+n−1Σi=1=161+34=6n+5-15当n=1时，E(Y)=E(Y1)=10，满足该式，故E(Y)=6n+5-15n−1，n∈题型二概率、统计与导数的综合问题例2(2025·龙岩模拟)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数x作为μ的近似值，用s作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.9973)(2)①从样本的质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；②该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片的利润是m(1<m<24)元，一件B等品芯片的利润是ln(25-m)元，根据(1)的计算结果，试求m的值，使得每箱产品的利润最大.解(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件产品的质量指标值的平均数为x=10×(0.01×50+0.025×60+0.04×70+0.015×80+0.01×90)=69，即μ≈x=69，σ≈s≈11，所以X~N(69，112)，因为质量指标值X近似服从正态分布N(69，112)，所以P(X≥80)=1−=1−P(=0.15865≈0.16，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为0.16.(2)①(0.01+0.01)×10×100=20，所以质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片总件数为20，质量指标值在[85，95]的芯片件数为10，故η的所有可能取值为0，1，2，3，所以P(η=0)=C103CP(η=1)=C102CP(η=2)=C101CP(η=3)=C100C随机变量η的分布列为η0123P215152所以η的数学期望E(η)=0×219+1×1538+2×1538+3×2②设每箱产品中A等品有Y件，则每箱产品中B等品有(100-Y)件，每箱产品的利润为Z元，由题意知Z=mY+(100-Y)ln(25-m)=[m-ln(25-m)]Y+100ln(25-m)，由(1)知，每件产品为A等品的概率为0.16，所以Y~B(100，0.16)，所以E(Y)=100×0.16=16，E(Z)=[m-ln(25-m)]E(Y)+100ln(25-m)=16[m-ln(25-m)]+100ln(25-m)=16m+84ln(25-m)，令f(x)=16x+84ln(25-x)(1<x<24)，由f'(x)=16-8425−x=0，得x=794∈(1又当x∈1,794时，f'(x)>0，f(当x∈794,24时，f'(x)<0，f(所以当x=794时，f(x)取得最大值即当m=794时，每箱产品利润最大思维升华在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现.跟踪训练2为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产.(1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望；(2)设每件新产品为次品的概率都为p(0<p<1)，且各件新产品是否为次品相互独立.记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f(p)，问p取何值时，f(p)最大.解(1)根据题意可知X的可能取值为2，3，4，则P(X=2)=C22CP(X=3)=2C21C31CP(X=4)=C21C则X的分布列为X234P133所以E(X)=2×110+3×310+4×35(2)由题意可得，f(p)=C502p2(1-p)48(0<pf'(p)=C502[2p(1-p)48-48p2(1-p)=C5022p(1-p)47(1-25令f'(p)=0，解得p=125因为当0<p<125时，f'(p)>0，f(p当125<p<1时，f'(p)<0，f(p所以当p=125时，f(p)取得最大值课时精练[分值：30分]1.(15分)某种药材的种植、加工过程受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.(1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；(7分)(2)已知每箱药材的利润如表：等级上等药材中等药材普通药材利润(元/箱)40002000-1200今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m(m∈N*)箱，成本相应增加(1000m-2000lnm)元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.(8分)解(1)X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C20CP(X=1)=C21CP(X=2)=C22CX的分布列为X012P343X的数学期望为E(X)=0×314+1×47+2×(2)按原计划生产药材每箱平均利润为14×4000+14×2000+12×(-1200则增加m箱药材，利润增加900m元，成本相应增加(1000m-2000lnm)元，所以增加净利润为900m-1000m+2000lnm=2000lnm-100m(m∈N*).设f(x)=2000lnx-100x(x∈N*)，则f'(x)=2000x-100令f'(x)=0，得x=20，当1≤x<20时，f'(x)>0，当x>20时，f'(x)<0，且f(20)>0，所以函数f(x)在[1，20)上单调递增，在(20，+∞)上单调递减，当x=20时，f(x)取得最大值，所以需要增加产量，增加20箱最好.2.(15分)(2026·广西名校联盟联考)某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计，P(A)=920，P(B|A)=23，P(A|B)=(1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？(6分)答题活动性别合计男生女生未报名参加报名参加合计100(2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置m(m≥3)道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题是否回答正确相互独立，且每次答对的概率均为13①当m=5时，求甲在一轮答题过程中答题数量ξ的数学期望；(4分)②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为n的概率为Pn(n∈N*)，求Pn.(5分)参考公式与数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)由题意知P(A)=920，P(B|A)=23，P(A|B)=可得报名参加答题活动的人数为100×920=