第十章必刷小题19计数原理与概率

必刷小题19计数原理与概率[分值：73分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.已知一个系统由A，B两个部件并联组成，当A或B正常工作时，系统就能正常工作，若A正常工作的概率为0.65，B正常工作的概率为0.6，则该系统正常工作的概率为()A.0.86 B.0.75 C.0.47 D.0.14答案A解析根据题意，A，B两个部件都不能正常工作的概率为(1-0.65)×(1-0.6)=0.14，所以该系统正常工作的概率为1-0.14=0.86.2.对于(x-3)5的展开式，下列说法不正确的是()A.展开式共有6项B.展开式的各项系数之和为-32C.展开式的第2项是90x3D.展开式的二项式系数和为32答案C解析由n=5可知(x-3)5的展开式共有6项，故选项A正确；令x=1，则(1-3)5=-32，故选项B正确；展开式中的第2项是T2=C51x4(-3)1=-15x4，故选项展开式的二项式系数和为25=32，故选项D正确.3.有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个蓝球，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是()A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件但不对立事件C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D.“同时取到2个红球”的概率为310答案C解析有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个蓝球，从中一次性随机取2个球.对于A，“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；对于C，“至少取到1个红球”的概率P=C32+C31C21C52=910所以“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率，故C正确；对于D，由概率的意义可知，“同时取到2个红球”的概率为C32C52=310，即重复进行10次这样的取球试验，可能会有34.甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是()A.12 B.13 C.14答案D解析以甲为中心，其他三人的位置是甲的左边、右边、对面，共有A33种情况，其中乙在甲的左边或右边，即甲与乙能牵手有2A22种情况，所以所求概率为P=5.(2026·大同模拟)某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有()A.32个 B.28个 C.27个 D.24个答案B解析依题意，首位数字为2的“幸运数”中其他三位数字的组合有以下七类：①“0，0，6”组合，有C31种，②“0，1，5”组合，有A33种，③“0，2，4”组合，有A33种，④“0，3，3”组合，有C31种，⑤“1，1，4”组合，有C31种，⑥“1，2，3”组合，有A33种，由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有3C31+3A36.某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三这三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为()A.25 B.40 C.150 D.240答案C解析先将五门课程分成3，1，1和2，2，1这两种情况，再安排到三个学年中，则共有C53+C52C32A7.在二项式2x−1A.135 B.16 C.14答案A解析在二项式2x−1xn的展开式中，二项式系数的和为2n二项式2x−1展开式的通项为Tk+1=C6k·26-k(-1)k·x3-k，k=0，1，2，…，故展开式共有7项，当k=0，2，4，6时，第k+1项为奇次项，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其他的3个偶次项先任意排，再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有A3故奇次项都互不相邻的概率为P=A33A8.某规范化考场的规格为每场30名考生，分为6排5列，依照如表所示的方式进行座位号的编排.为了确保考试的公平性，考生的试卷分为A卷和B卷，座位号为奇数的考生使用A卷，座位号为偶数的考生使用B卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加考试，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一排或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有()第5列第4列第3列第2列第1列2524131201第1排2623141102第2排2722151003第3排2821160904第4排2920170805第5排3019180706第6排A.2016种 B.1008种 C.1440种 D.720种答案A解析先考虑甲、乙、丙三人使用A卷，则这三个人的座位号都为奇数，分以下几种情况讨论：(1)若这三人都在奇数列，则有一人需在第1列选一个奇数号的座位，有3种情况，然后有一人在第3列要选一个奇数号的座位，但与第一人不能在同一排，只有2种情况，最后一人只能在第5列选择一个奇数号的座位，但该人不能与前两人在同一排，最后一人的座位只有一种选择，此时，不同的排法有3×2×1×A33(2)三人中只有两人在奇数列，首先在第1，3，5列中选两列，有C3其次，第一个人在其中的第一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有3种选择，第二个人在另一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有2种选择，第三个人在两个偶数列中选择一个奇数号的位置，有6种选择，此时，共有C32×(3×2×6)×A(3)三人中只有一人在奇数列，第一个人在第1，3，5列中随便选择一个奇数号的位置，有9种选择，其次，第二个人在第2列中选择一个奇数号的位置，有3种选择，例如第二个人选择11号座位，由于第三个人不能与第二个人同排或同列，则第三个人只有2种选择，即19号和21号两个位置可供选择，此时，不同的排法有9×3×2×A33=324综上所述，当三人都使用A卷时，不同的排法种数为36+648+324=1008.由对称性可知，当三人都使用B卷时，不同的排法种数也为1008.综上，当三人的试卷类型相同时，不同的座位安排方案种数为1008×2=2016.二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，则下列结论一定正确的是()A.P(AB)=0.18B.A，B不可能为互斥事件C.若P(AB)=0.42，则事件A，B相互独立D.若A，B相互独立，则P(A+B)=0.7答案BC解析若P(AB)=0.18=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，无法确定，故A错误；若A，B为互斥事件，则P(AB)=0，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.6+1-0.3=1.3>1，故A，B不可能为互斥事件，故B正确；若P(AB)=0.42=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，故C正确；若A，B相互独立，则A，B相互独立，所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.4×0.3=0.58，故D10.(2026·齐齐哈尔模拟)已知f(x)=(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则()A.a0+a1+a2+…+a8=1B.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38C.f(-1)除以5所得的余数是1D.a0-a1+a2-a3+…+a8=38答案ACD解析因为(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，令x=1，得a0+a1+a2+…+a8=1，所以选项A正确；因为(2-x)8的展开式的通项为Tk+1=C8k28-k(-x)k=(-1)k28-kC8kxk，k=0，1，2，由通项公式知，a0，a2，a4，a6，a8>0，a1，a3，a5，a7<0，所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=-a1+a2-a3+…+a8，由(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，令x=0，得a0=28，令x=-1，得a0-a1+a2-a3+…+a8=38，所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38-28，所以选项B错误，D正确；因为f(-1)=38=94=(10-1)4=104-C41103+C42102-C4310+1=10×(103-C41102+所以f(-1)除以5所得的余数是1，所以选项C正确.11.(2026·承德模拟)某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球.规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球.规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是()A.在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是1B.顾客最终获得6张优惠券的概率是1C.第二次抽到红球的概率是5D.若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为1答案AD解析在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄球有1个，所以抽到黄球的概率为P=14，故A顾客最终获得6张优惠券，则需要抽到2个绿球，第一次抽到绿球的概率为16，第二次在绿盒中抽到绿球的概率为14，所以顾客最终获得6张优惠券的概率为16×14=设“第一次从红盒中抽到红球”为事件A，“第一次从红盒中抽到黄球”为事件B，“第一次从红盒中抽到绿球”为事件C，“第二次从红盒中抽到红球”为事件A1，“第二次从黄盒中抽到红球”为事件B1，“第二次从绿盒中抽到红球”为事件C1，“第二次抽到红球”为事件D，则P(A)=36=12，P(A1|A)=36=12，P(B)=26=13，P(B1|B)=24=12，P(C)=16，P所以P(D)=P(A)P(A1|A)+P(B)P(B1|B)+P(C)P(C1|C)=12×12+13×12+16×1第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为P(C)P(C1C三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2026·南京模拟)从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则P(B|A)=.答案5解析第一次抽到3或6的概率为27，所以P(A)=2当事件A，B同时发生时，有两类情况：当第一次抽到3时，第二次可抽4，5，6，7，共4种情况；当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况，所以P(AB)=4+17×6P(B|A)=P(AB)P(13.(2025·沈阳模拟)若(x-1)x2+ax6答案±2解析x2+ax6的展开式的通项为Tk+1=C6k×x26−k×axk=C6k·2若得到常数项，有两种情况：①当(x-1)取-1时，令6-32k=0，解得k=4②当(x-1)取x时，令6-32k=-1，解得k=143∉N因为(x-1)x2+ax6的展开式中常数项为-15，则−C64×2-6+4×a14.(2026·广州模拟)如图是一个3×3的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为.(-1，1)(0，1)(1，1)(-1，0)(0，0)(1，0)(-1，-1)(0，-1)(1，-1)答案72解析123456789首先对3×3的九宫格每个位置标注数字，第一步先排(0，0)，一共9个位置，因此有C91种排法，根据对称性知，(0，0)所在的行和列只能排(1，1)，(-1，-1)，(1，-1)，(-1，1)，不妨设(0，0)在1位置，第二步排2位