2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版微专题8　重构数列问题

第六章微专题8

重构数列问题数列视角1公共项问题

(2025·湛江二模)将数列{3n＋2}与{4n}中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排列得到数列{an}，则a5＝______，{an}的前202项和为___________．【解析】

{3n＋2}与{4n}的公共项为12n－4，去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排列为4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…，所以a5＝14，且每两个相邻的公共项之间有5项，分别求和为11＋12＋14＋16＋17＝70，23＋24＋26＋28＋29＝130，35＋36＋38＋40＋41＝190，…，可知这5项的和作为一项构成的新数列是首项为70，公差为60的等差数列．1－11449609

(2025·信阳二模)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1＝b1＝4，b2＝a2＋1，b3＝2a3－4．(1)求{an}和{bn}的通项公式；【解答】1－2

(2025·信阳二模)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1＝b1＝4，b2＝a2＋1，b3＝2a3－4．(2)数列{an}和{bn}的项从小到大依次排列(相等项计两项)得到新数列{cn}，求{cn}的前50项和．【解答】

当数列{cn}的前50项中含有数列{bn}的前5项时，令3n＋1＝25＋1＝64，得n＝21，则第26项为64．1－2处理两个数列的公共项问题的策略：(1)客观题：一般可采用从特殊到一般，采用不完全归纳并检验猜想．即通过观察找到首项后，再寻找到后若干项，并找出规律(如周期、等差数列、等比数列)，从而得到通项公式．(2)主观题：对于需要找出通项公式处理的问题，可设公共项的第k项是ck＝am或ck＝bt，则通过构造符合{an}，{bn}通项公式的ck＋1确认其递推公式再求解．视角2增减项问题已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25．(1)求{an}的通项公式；【解答】

因为{an}为等差数列，则S5＝5a3＝25，即a3＝5，可得d＝a4－a3＝2，a1＝a3－2d＝1，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1．2－1已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25．(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1,2，…)之间插入2k－1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前150项和T150．【解答】2－1已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数．(1)求r的值；【解答】

因为Sn＝2n＋r，所以a1＝S1＝2＋r，a1＋a2＝S2＝4＋r，即a2＝2，a1＋a2＋a3＝S3＝8＋r，即a3＝4．2－2已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数．(2)设bn＝2(1＋log2an)，若数列{bn}中去掉与数列{an}相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，求c1＋c2＋c3＋…＋c100的值．【解答】2－2对于增加项或减少项数列问题，弄清插入(或减少)的项数及插入(或减少)的项的规律是解题关键，然后再利用分组求和法可解决此类问题．变式2

(2025·杭州期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝2Sn＋3．(1)求数列{an}的通项公式；【解答】

由an＋1＝2Sn＋3，得n≥2时，an＝2Sn－1＋3，两式相减得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)．又{an}是等比数列，所以q＝3．当n＝1时，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝3a1，解得a1＝3，所以an＝3n．变式2

(2025·杭州期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝2Sn＋3．(2)在数列{an}的相邻项ak与ak＋1(k∈N*)之间插入k个相同的数(－1)k，使其与原数列构成新数列{bn}，设Tn为数列{bn}的前n项和，求T40．【解答】当n＝8时，X8＝36；当n＝9时，X9＝45．视角3计数数列已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8．(1)求{an}的通项公式；3【解答】已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8．(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．3【解答】

由bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，所以2n≤m，所以n≤log2m，故b1＝0，b2＝1，b3＝1，b4＝2，b5＝2，b6＝2，b7＝2，b8＝3，b9＝3，b10＝3，b11＝3，b12＝3，b13＝3，b14＝3，b15＝3，b16＝4，…，可知0在数列{bm}中有1项，1在数列{bm}中有2项，2在数列{bm}中有4项，…，【解析】因为当1≤n≤3时，1≤Sn＜2，此时[Sn]＝1；当4≤n≤8时，2≤Sn＜3，此时[Sn]＝2；当9≤n≤15时，3≤Sn＜4，此时[Sn]＝3；当16≤n≤24时，4≤Sn＜5，此时[Sn]＝4；当25≤n≤35时，5≤Sn＜6，此时[Sn]＝5；当36≤n≤48时，6≤Sn＜7，此时[Sn]＝6；当49≤n≤63时，7≤Sn＜8，此时[Sn]＝7；当64≤n≤80时，8≤Sn＜9，此时[Sn]＝8；当81≤n≤99时，9≤Sn＜10，此时[Sn]＝9；当100≤n≤112时，10≤Sn＜11，此时[Sn]＝10．所以[S1]＋[S2]＋[S3]＋…＋[S112]＝3＋10＋21＋36＋55＋78＋105＋136＋171＋130＝745．745配套精练【解析】

数列{2n－1}是正奇数数列，对于数列{(n＋1)2－1}，当n为奇数时，设n＝2k－1(k∈N*)，则(n＋1)2－1＝4k2－1，为奇数；【答案】D2．在首项为2，公差为8的等差数列{an}的任意相邻两项之间均插入3个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{bn}，由{bn}中的部分项构成等比数列{cn}，当{cn}的首项与公比均最小时，则{cn}的前6项和为 (

)A．42

B．62C．126

D．254【解析】C3．(多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则 (

)A．an＝5n B．an＝5n【解析】BC4．(2025·郑州一模)(多选)已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2log2(1＋an)－1．若在数列{bn}中去掉{an}的项，余下的项组成数列{cn}，则

(

)A．a1＋a2＋a3＋a4＝26 B．b5＝10C．a4＜b15＜a5 D．c1＋c2＋…＋c10＝170【解析】对于B，bn＝2log2(1＋2n－1)－1＝2n－1，则b5＝2×5－1＝9，故B错误．对于C，因为a4＝15，b15＝29，a5＝31，所以a4＜b15＜a5，故C正确．【答案】ACD5．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bn}：3,7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式为cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是______．【解析】

因为等差数列{an}：5,8,11，…的首项为5，公差为3，所以通项公式为an＝3n＋2；{bn}：3,7,11，…的首项为3，公差为4，所以通项公式为bn＝4n－1，所以它们的公共项组成的数列{cn}是等差数列，其首项为11，公差为3×4＝12，所以数列{cn}的通项公式为cn＝11＋12(n－1)＝12n－1．12n－1256．(2025·莆田二模)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知2a4＝a3＋14，S3＝15．(1)求{an}的通项公式；【解答】

设公差为d，由题意得2a1＋6d＝a1＋2d＋14，S3＝3a1＋3d＝15，解得d＝3，a1＝2，故an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1．6．(2025·莆田二模)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知2a4＝a3＋14，S3＝15．(2)记集合A＝{x|x＝an，n∈N*}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}，将A∪B中元素从小到大依次排列，得到新数列{bn}，求{bn}的前20项和．【解答】7．(2025·芜湖二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2(n∈N*)．(1)求{an}的通项公式；【解答】

由an＋1＝Sn＋2(n∈N*)，得an＝Sn－1＋2(n≥2)，则an＋1－an＝an(n≥2)，即

an＋1＝2an(n≥2)．又a2＝S1＋2＝a1＋2＝4，满足an＋1＝2an，所以an＋1＝2an(n∈N*)，所以{an}是首项是2，公比为2的等比数列，故an＝2n．7．(2025·芜湖二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2(n∈N*)．(2)保持{an}的各项顺序不变，在ak和ak＋1之间插入k个1，使它们与数列{an}的项组成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T55．【解答】8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3．(1)求数列{an}的通项公式；【解答】

在2Sn＝3an－3中，令n＝1，得a1＝