山东省济宁市2025-2026学年高二下学期期末考试 数学 含解析

山东济宁市2025-2026学年第二学期质量检测高二数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．2或43．已知随机变量，且，则（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.64．若为实数，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．已知函数则（

）A． B． C． D．6．已知离散型随机变量的分布列为，其中、、、，则（

）A． B． C． D．7．已知函数的定义域为，，对，且都有，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．8．如图，从点出发的三条线段，，的中点分别为，，.将数字，，，，，，分别标在上述个点的位置上，使，，每条线段上的三个数字之和相等，则不同的标记方法共有（

）A．36种 B．48种 C．96种 D．144种二、多选题9．在6道不同试题中有4道选择题、2道填空题，每次从中随机抽出1道，抽出的题不再放回.设事件“第1次抽到选择题”，“第2次抽到填空题”，则（

）A． B． C． D．10．已知，则（

）A．当时，的展开式中存在常数项B．当时，的展开式中各项系数和为C．当时，的展开式中的系数为D．当，时，能被15整除11．已知函数是定义域为的奇函数，为奇函数，当时，，则（

）A．B．C．当时，函数共有9个零点D．不等式的解集为三、填空题12．已知离散型随机变量，且，，则________.13．2026年美加墨世界杯正在举行，某班级对“学生性别和关注世界杯”是否有关做了一次调查，将所得数据整理如下：性别世界杯合计关注不关注女生男生合计根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和关注世界杯有关”，则被调查的女生中关注世界杯的最少为________人.（附参考数据：0.0500.0100.0053.8416.6357.879参考公式：，）14．已知函数的两个零点为，，且满足.若的最大值不小于64，则实数的最大值为_________.四、解答题15．已知函数.(1)当时，若不等式的解集为，求实数的取值范围；(2)若，，，求的最小值.16．已知幂函数的定义域和值域相同，是的导函数.(1)求函数的解析式；(2)若函数，讨论的单调性.17．甲、乙两人分别从，，，，中取2个数字，其中.设随机变量表示两人取到相同数字的个数.(1)若，求的分布列和期望；(2)设事件“甲乙至少有一人取到数字1”，事件“甲、乙两人取到的2个数字均相同”，若，求的值.18．某大型设备组装企业为提升工作效率，引入人工智能优化部分流程，引入后记录了8天的组装完成时间（单位：分钟）如下表：第天12345678组装完成时间分钟140125115110107105103101(1)请根据最小二乘法，求经验回归方程①，并估算第5天的残差的值.（精确到0.01）(2)通过观察散点图，发现随着天数的增加，完成时间的下降速度逐渐变缓，于是考虑改变拟合模型，引入变量，令.（ⅰ）写出关于的非线性经验回归方程②；（精确到0.1）（ⅱ）已知模型②中的决定系数，通过决定系数说明模型①与②哪个拟合效果更好？(3)为评估人工智能参与后的优化时效，记连续参与天后，回归时效函数为，已知回归时效函数值越大，表明优化时效越好，试根据模型①与②中的拟合效果较好的模型数据，估算在连续多少天后优化时效最好.附：，，，，，，，模型①：；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，；决定系数为.19．已知函数.(1)当时，证明：；(2)若函数有三个极值点，，.（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）试判断过点可以作曲线的几条切线？并说明理由.参考答案1．B解析：．2．D解析：根据组合数性质：若，则要么，要么，且组合数上标需满足、，本题中，分情况讨论：若，解得，此时，，符合组合数定义；若，化简得，解得，此时，，符合组合数定义，综上的取值为2或4.3．C解析：由，得正态曲线关于对称，所以，所以．4．B解析：当时，则，在该不等式的两边同时除以得，即“”“”，当时，不妨取，此时，即“”“”，故“”是“”的充分不必要条件.5．D解析：因为，所以.6．C解析：由题意可得，解得，所以.7．A解析：由，可得函数的图象关于直线对称；对，且都有，则在上单调递减，由对称性可得在上单调递增；结合函数单调性与对称性，等价于到对称轴的距离小到的距离，即；所以不等式等价于，即；即，展开整理得，解得.故不等式的解集是.8．D解析：设点处的数字为，每条线段上数字之和为，则，因为，所以是的倍数，又，所以的取值可能为，当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为，因为，每组数据分到个线段上有种，每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种，当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为，因为，每组数据分到个线段上有种，每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种，当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为，因为，每组数据分到个线段上有种，每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种，综上，共有种.9．ACD解析：对于A，，A正确；对于B，，因此，B错误；对于C，，，C正确；对于D，，D正确.10．BCD解析：选项A，当时，，展开式通项为，令得，故A错误.选项B，当时，，令，得展开式各项系数和为，故B正确.选项C，当时，，通项为，要得到项，需使中的次数为.又，所以，即或.当时，，中的对应项为，中的对应项为；当时，，中的对应项为，中的对应项为；所以当时，的展开式中的系数为.故C正确.选项D，当时，.则，（），因为每一项均能被15整除，所以能被15整除，故D正确.11．AC解析：由题意得：，又为奇函数，所以，所以，所以，所以是以为周期的周期函数，所以，故A正确；又，，所以，故B错误；由是定义域为的奇函数，所以，所以，所以是的零点，又为奇函数，所以，所以，所以是的零点，又当时，，所以，所以，所以是的零点，又，所以是的零点，所以的零点为：共有9个，故C正确；又，所以，当时，，解得，又是以为周期的周期函数，当时，，所以，不满足题意，当时，，所以，不满足题意，所以不等式的解集为，故D错误.12．解析：由随机变量，且，，得且，所以.13．6解析：由列联表得，，根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和关注世界杯”有关，所以，即，所以.又，即为正偶数，所以被调查的女生中关注世界杯的最少为人.14．/解析：由题可得，,则.设，则由，要求的最大值，可知此时，则.所以，又因为，所以，所以所以.设，考虑，，.当时，恒成立，所以在单调增.又因为，由零点存在定理可知,使得.所以在单调减，在单调增.又因为.又,故时，单调递增，且时，，所以在的最大值为，故，即.15．(1)(2)解析：（1）当时，，不等式的解集为，当时，，这是一次函数，解集不可能为，舍去；当时，二次函数开口向下，的解集不可能为，舍去；当时，需要满足，展开并整理：，因式分解：，解得，所以实数的取值范围是。（2）已知，代入函数得：，整理得：，因为，所以，且可变形为，令，则，目标式变为：，，由基本不等式，当且仅当即时取等号，代入，得，，此时，，因此：，所以的最小值为.16．(1)(2)当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.解析：（1）由幂函数，得，解得或，当时，的定义域、值域分别为，不符合题意，当时，的定义域、值域都为，符合题意，所以函数的解析式为.（2）由（1）得，函数，函数的定义域为，求导得，当时，，由，得或；由，得，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增；当时，由，得或；由，得，函数在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.17．(1)012期望为(2)解析：（1）解：由题意知，甲乙两人从5个数字中取2个，总的基本事件为，其中随机变量的可能取值为，可得，，，所以变量的分布列为：012所以期望为.（2）解：设为所求的数值，可得，，因为，可得，可得，即，解得或（舍去），所以的值为.18．(1)经验回归方程为；第5天的残差.(2)（ⅰ）；（ⅱ）模型②拟合效果更好.(3)连续天后优化时效最好解析：（1）由已知得，所以.所以.所以经验回归方程为.第5天的残差.（2）（ⅰ）因为，所以.所以所以关于的非线性经验回归方程为（ⅱ）模型①中的决定系数，已知模型②中的决定系数，即，所以模型②拟合效果更好.（3）根据（2）结果选择模型②，则所以令，即，得.所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，取得最大值.因为，则，.所以.所以在连续天后优化时效最好.19．(1)当时，，可得，当时，，可得，单调递减；当时，，可得，单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，所以，即.(2)（i）；（ii）2条解析：（1）略（2）解：（i）由，可得，因为函数有三个极值点，所以有三个根，其中，即是的一个根，所以方程有两个不等于的实数根，即有两个不等于的实数根，设，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以