2023年北京市中考数学试卷 (一)

2023年北京市中考数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩,进度过七成半，将239000000

用科学记数法表示应为（）

A.23.9X107B.2.39X108C.2.39X1()9D.0.239X109

2.（2分）下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

N4OC=NBOZ)=90°，乙40。=126°,则N8OC的大小为()

C.54°D.63°

4.（2分）已知1>0,则下列结论正确的是（）

A.-1<-a<a<\B.-a<-\<\<aC.-a<-1<a<1D.-1<-a<1<a

5.（2分）若关于A-的一元二次方程A-2-3x+m=（）有两个相等的实数根，则实数m的值为

)

D.9

6.（2分）正十二边形的外角和为（）

A.30°B.150°C.3605D.1800°

7.（2分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概

率是（）

A.AB.Ac.AD.2

4324

8.（2分）如图，点A,B,C在同一条直线上，点8在点人，C之间，点D,E在直线AC

同侧，AB<BC,NA=NC=90°，△EAB^ABCD,连接DE.设BC=b,DE

=c,给出下面三个结论：

①a+/?Vc：

@«+^>Va2+b2;

@V2：>c.

A.①②B.®®C.②®D.①®®

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）若代数式工有意义，则实数x的取值范围是

X-2

10.（2分）分解因式：3，-）3=.

11.2（分）方程」的解为__________.

5x+l2x

12.（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y=K（AW0）的图象经过点A（-3,2）和

x

B（阳，-2）,则m的值为.

13.（2分）某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了

50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：

使用寿XV10001000«16001600«22002200WxV2800x22g(X)

命

灯泡只51012176

数

根据以上数据，估计这10（H）只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为

只.

14.（2分）如图，直线4D,5C交于点O,AB//EF//CD,若AO=2,OF=\,FD=2,则

理的值为.

EC

工

cD

15.（2分）如图，。4是00的半径，BC是。0的弦，0AJ_8c于点。，AE是的切线,

AE交0C的延长线于点E.若NAOC=45°,BC=2,则线段AE的长

为_______________.

16.（2分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成

共需4,B、C,。、E,F、G七道工序，加工要求如下：

①工序C,。须在工序人完成后进行，工序石须在工序8,。都完成后进行，工序产须

在工序C,。都完成后进行；

②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；

③各道工序所需时间如下表所示：

工序ABCDEFG

所需时间/分钟99797102

在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要

分钟：若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟.

三、解答题（共68分，第17・19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22・23题，每

题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27・28题，每题7分）

17.（5分）计算：4sin60°+（A）''+1-2|-V12.

3

'）x+2

18.（5分）解不等式组：（x2一.

5x-3<5+x

19.（5分）已知x+2y-l=0,求代数式一生喳一^的值.

x2+4xy+4y2

20.（6分）如图，在uABCD中，点E,尸分别在8C,AD上，BE=DF,AC=EF.

（1）求证：四边形4ECF是矩形：

(2)若AE=BE,AB=2,lanZACB=-1,求8c的长.

2

21.（6分）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为

天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是6：4,左、

右边的宽相等，均为大头长与地头长的和的某人要装裱一副对联，对联的长为

10

100”?，宽为27c”若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长.

装裱后的宽

天头

T

「T

天头长

-

装

裱

后

边--——边

的

长

:地头长

工

cmN边的:i——宽地头

22.（5分）在平面直角坐标系中，函数.（次#0）的图象经过点A（0,I）和4

（1,2）,与过点（0,4）且平行于x轴的直线交于点C.

（1）求该函数的解析式及点C的坐标；

（2）当XV3时，对于x的每一个值，函数尸|%+〃的值大于函数产依+。（H0）的

值且小于4,直接写出〃的值.

23.（5分）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：c〃?），数据整

理如下:

a16名学生的身高:

161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175；

力.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：

平均数中位数众数

166.75mn

（1）写出表中wbn的值；

（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越

好,据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或

“乙组”）；

甲组学生的身高162165165166166

乙组学生的身高⑹162164165175

（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛,已确定三名学生参赛,他们的身高分别为168,

168,172,他们的身高的方差为22.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与

9

已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于丝，其次要求所选的两名学生与

9

已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生

的身高分别为和.

24.（6分）如图，圆内接四边形48CO的对角线AC,BD交于点E,平分/ABC,ZBAC

=^ADB.

（1）求证。8平分/AOC,并求NBA。的大小；

（2）过点C作C/'〃AD交A3的延长线于点”，若/1C'=A。，8"=2,求此圆半径的长.

25.（5分）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略，部分内容如下.

每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800,要求清洗后的清洁

度为0.990.

方案一：采用一次清洗的方式：

结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990.

方案二：采用两次清洗的方式：

记第一次用水量为#个单位质量，第二次用水量为M个单位质量，总用水量为（XI+X2）

个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C.记录的部分实验数据如下:

XI11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0

X20.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5

X\+X211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990

对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容.

（I）选出C是0.99（）的所有数据组，并划“J”：

（II）通过分析（I）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量力和总川水量

M+X2之间的关系，在平面直角坐标系X0中画出此函数的图象；

y

十3・_____________

■■一■-一-一广・一■,__..--■.

42-r"•"一—■r一■—一-一-r—*■—一

十卜■■■―一■■■―■■--

-W-'11111

—..一QA.•

..QO.________L_1_J-__

..7t.P•••■■.r——*—尸,■■r■■——・■■.■■■「■■■■

-6....

-*5,*B

4

j

__.一._—_———■

..7-L一・一一■*-rr———r-"一—一r

一--一■■■」一■■一■■■■■一■一」■■■■・■—一■■■」

--1.L.--■■■■

02345678911)111213

iiaiiiiai

....L■■■•••J■■■,

结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为个

单位质量（精确到个位）时，总用水量最小.

根据以上熨验数据和结果，解决下列问题:

（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水

约个单位质量（结果保留小数点后一位）；

（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单

位质量，则清洗后的清洁度C0.990（填"或"V"）.

26.（6分）在平面直角坐标系工。），中，M（xi,y\N（x2,户）是抛物线y=ad+Z?x+c（o

>0）上任意两点，设抛物线的对称轴为工=九

（1）若对于X]=l,X2=2,有yi="，求/的值；

（2）若对于OVxiVl,1<X2<2,都有户V”，求/的取值范围.

27.（7分）在△ABC中，N3=NC=a（0°<a<45°）,4M_LBC于点M,。是线段MC

上的动点（不与点M,C重合），将线段OM绕点。顺时针旋转2a得到线段OE.

佟h图2

（1）如图1,当点E在线段4c上时，求证：。是MC的中点；

（2）如图2,若在线段上存在点尸（不与点B,历重合）满足DF=QC,连接AE,

EF,直接写出/AE尸的大小，并证明.

28.（7分）在平面直角坐标系xOy中，。0的半径为1.对于OO的弦和。。外一点C

给出如下定义：若直线CA,C8中一条经过点。，另一条是。。的切线，则称点C是弦

AB的“关联点”.

（1）如图，点A（-1,0）,Bi（一^,亚），B2（亚•，2ZL）.

2222

①在点CM-1,1）,C2（-V2,0）,C3（0,&）中，弦的“关联点”是；

②若点C是弦A历的“关联点”，直接写出OC的长；

（2）已知点〃（（），3）,N（@Z£,0）,对于线段MN上一点S,存在的弦P。，使

5

得点S是弦户。的“关联点”.记PQ的长为当点S在线段MN上运动时，直接写出/

的取值范围.

yk

2023年北京市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共16分，每题2分）第L8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩,进度过七成半，将239000000

用科学记数法表示应为（）

A.23.9X107B.2.39X108C.2.39X109D.0.239X109

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为4X11,其中IWMIVIO,〃

为整数，且〃比原来的整数位数少I,据此判断即可.

【解答】解:239000000=2.39x108,

故选：B.

【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表不绝对值较大的数时，一

般形式为“XI0*其中lW|a|V10,〃为整数，且〃比原来的整数位数少I,解题的关键

是要正确确定4和〃的值.

2.（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

A.

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

【解答】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意:

从原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

。、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：A.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形佗概念.轴对称图形的关键是寻找对

称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自

身重合.

3.（2分）如图，ZAOC=ZBOD=9（）0，NAO£>=126°,则N80C的大小为（）

A.36°B.44°C.54°D.63°

【分析】先求出NCO。的度数，然后根据NBOC=NBOD-NCOO,即可得出答案.

【解答】解：•••乙4。。=90°,乙4OD=126°,

・•・4C0D=NAOD-/AOC=36°,

•・・NBO£>=90°,

:.ZBOC=ZBOD-ZCOD

=90°-36°

=54°.

故选：C.

【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和

差首先求出NCO。的度数.

4.（2分）已知。-1>0,则下列结论正确的是（）

A.-1<-«<«<1B.-a<-\<\<aC.-a<-1<«<1D.-1<-a<\<a

【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答.

【解答】解：Ta-1>0,

:.--1,

-4V-1<1Va,

故选：B.

【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.

5.（2分）若关于x的一元二次方程』-3x+〃=0有两个相等的实数根，则实数〃？的值为

（）

A.-9B.上C.9D.9

44

【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=房-4砒，建立关于〃?

的等式，即可求解.

【解答】解：•・•关于X的一元二次方程3"加=0有两个相等的实数根,

:.△=庐-4ac=（-3）2-4/72=0,

解得

4

故选：C.

【点评】此题考查了根的判别式.一元二次方程a?+如+c=0（aW0）的根与△=户-4〃c

有如下关系：（1）AAOo方程有两个不相等的实数根；（2）△=（）0方程有两个相等的

实数根：（3）△＜（）=方程没有实数根.

6.（2分）正十二边形的外角和为（）

A.30°B.150°C.360'D.18000

【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等

于360°.

【解答】解：因为多边形的外角和为360”,所以止十二边形的外角和为：360”.故选：

C.

【点评】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是指出定理即可求出正十二边行的

外角和度数.

7.（2分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概

率是（）

A.AB.Ac.AD.2

4324

【分析】根据概率的意义，即可解答.

【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，

正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是

4

故选：A.

【点评】本题考查了概率的意义，本题考查了概率的意义是解题的关键.

8.（2分）如图，点A,&C在同一条直线上，点3在点A,C之间，点。，£在直线4C

同侧，ABCBC,ZA=ZC=90°,AEABqABCD,连接设A8=mBC=b，DE

=c,给出下面三个结论：

①a+AVc；

②”+〃＞爪2+匕2；

@V2（a+b）>c.

A.①②B.®@C.®©D.®@®

【分析】①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；

②在三角形中，两边之和大卜第三边，据此可解答；

③将c用。和人表示出来，再进行比较.

【解答】解：①过点。作。/"AC,交AE于点F；过点B作8G_LFD,交尸D于点G.

'JDF//AC,AC1AE,

：.DF±AE.

又,：BG1FD,

：.BG//AE,

••・四边形A8G尸为矩形.

同理可得，四边形ACDG也为矩形.

：,FD=FG+GD=a+b.

・••在Rt^E尸。中，斜边c>直角边a+尻

故①正确.

②♦:△EAB94BCD,

:・AE=BC=b,

・••在中，^=7AB2+AE2=Va2+b2-

*：AB+AE>BE,

Ad+/?>^a2+b2.

故②正确.

③•：AEAB安/XBCD,

，NAEB=/CBD,

又・・・N4E8+NA8E=9D°,

.•・NC8O+NA8£=9（T,

・・・NEBZ)=90°.

,:BE=BD,

：.ZBED=ZBDE=45a,

，8E=y&2+b2=c・sin45"=^^-c.

2

・,“应中

•[V2(a+b)]2=2(J+2他+启)=2(J+庐)+4而>2(廿+扇),

AV2(a+b)>72(a2+b2)»

:,近(a+b)>c.

故③正确.

故选：o.

【点评】本题考查全等三角形的性质.虽然是选择题，但计算量不小，比较繁琐，需要

细心、耐心.

二、填空题(共16分，每题2分)

9.(2分)若代数式上有意义，则实数x的取值范围是xW2.

x-2

【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由题意得：X-2W0,

解得：xW2,

故答案为：xW2.

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键.

10.(2分)分解因式：,R-y3=y(x+y)(x-y).

【分析】先提取公因式)，，再利用平方差公式进行二次分解.

【解答］解

=y(f-y2)

=y(x+y)(x-y).

故答案为:y(x+j)(A-y).

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行

二次因式分解是解题的关键，分解要彻底.

11.（2分）方程」的解为x=\.

5x+l2x

【分析】依据题意，由分式方程的解法即可得解.

【解答】解：方程两边同时乘以法（5x+l）得，

3K2X=5KH,

：.x=\.

检验：把x=l代入2x（5x+l）=12X0,且方程左边=右边.

・•・原分式方程的解为x=l.

【点评】本题主要考查了分式方程的解法，解题时要熟练掌握并灵活运用.

12.（2分）在平面直角坐标系中，若函数y=K（&W0）的图象经过点A（-3,2）和

X

B（〃?，-2）,则m的值为3.

【分析】将点A（-3,2）代入反比例函数y=K可求出女的值，进而确定反比例函数关

x

系式，再把点8（加，-2）代入计算即可.

【解答】解：,・,函数产区（修0）的图象经过点4（-3,2）,

x

：,k=-3X2=-6,

工反比例函数的关系式为y=-2，

x

乂（加，-2）在反比例函数的关系式为y=一2的图象上，

x

——=3>

-2

故答案为：3.

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用

的方法.

13.（2分）某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了

50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：

使用寿x<10001000<x<16001600<x<22002200<x<2800x22800

命

灯泡只51012176

数

根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为J16O

只.

【分析】用1000乘以使用寿命不小于2200小时的百分比即可.

【解答】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为IG00X

坦•一460（只）.

50

故答案为：460.

【点评】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计

总体思想的运用.

14.（2分）如图，直线4D,8c交于点。，AB//EF//CD,若AO=2,OF=\,FD=2,则

【分析】根据题意求出AF,再根据平行线分线段成比例定理计算即可.

【解答】解：・・・AO=2,OF=1,

：.AF=AO+OF=2+\=3,

*：AB//EF//CD,

・BE=AF=_3

**ECFD~2

故答案为：1.

2

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理.，灵活运用定理.、找准对应关系是解题

的关键.

15.（2分）如图，是0。的半径，3c是的弦，OAJ_3c于点。，AE是。。的切线,

AE交OC的延长线于点£若NAOC=45°,BC=2,则线段的长为

【分析】根据切线的性质得到/A=90°,根据等腰直角三角形的性质得到OD=CD,

OA=AE,根据垂径定理得到CD=LBC=1，于是得到结论.

2

【解答】解：是00的半径，AE是。。的切线，

・・・NA=90°,

VZAOC=45°,0A_BC,

・•・△CQ0和△E4O是等腰直角三角形，

：.()D=CD,OA=AE,

*：OA1BC,

•••8=暴=1，

OD=CD=\,

?.OC=®OD=

:・AE=OA=OC=近,

故答案为：V2.

【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握

等腰直角三角形的判定和性质定理是解题的关键.

16.(2分)学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成

共需4,B、C,。、E,F、G七道工序，加工要求如下：

①工序C,D须在工序4完成后进行，工序E须在工序B,。都完成后进行，工序尸须

在工序C,。都完成后进行；

②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；

③各道工序所需时间如下表所示：

工序ABCDEFG

所需时间/分钟99797102

在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要53

分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要28分钟.

【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这

两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A,乙学生同时做工序8；然后甲学

生做工序。，乙学生同时做工序C,乙学生工序。完成后接着做工序G；最后甲学生做

工序E,乙学生同时做工序P,然后可得答案.

【解答】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2=53（分钟），

即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；

假设这两名学生为甲、乙，

•・•工序C,。须在工序A完成后进行，工序£须在工序8,。都完成后进行，且工序A,

8都需要9分钟完成，

，甲学生做工序A,乙学生同时做工序从需要9分钟，

然后甲学牛做工序。，乙学牛同时做工序。，乙学生工序。完成后接着做工序G,需要

9分钟，

最后甲学生做工序E,乙学生同时做工序凡需要10分钟，

，若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10=28（分钟），

故答案为：53,28.

【点评】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出।加工顺序是解题的关踵.

三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每

题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27・28题，每题7分）

17.（5分）计算：4sin600+（A）■'+|-2|-^12.

3

【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数哥的运算法则、绝对值的性质、二次根

式的性质计算.

【解答】解：原式=4）〈返+3+2-2立

2

=273+3+2-273

=5.

【点评】本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数鞋的运算法

则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键.

'〉x+2

18.（5分）解不等式组：（x~.

5x-3<5+x

【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答.

x>畔①

【解答】解:0

5x-3<5+x②

解不等式①得：£>1,

解不等式②得：“V2,

•••原不等式组的解集为：1VXV2.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题

的关键.

19.(5分)已知x+2y・l=0,求代数式2x+4y的值.

x2+4xy+4y^

【分析】根据已知可得x+2y=l,然后利用分式的基本性质化简分式，再把x+2y=l代入

化简后的式子讲行计算即可解答.

【解答】解：•・"2y7=0,

，x+2y=I,

,2x+4y2(x+2y)

x2+4xy+4y2(x+2y)2

_2

x+2y

-_-2■—

1

=2,

・•・4y的值为2.

x2+4xy+4y^

【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键.

20.(6分)如图，在。A8CO中，点、E,尸分别在8C,八。上，BE=DF,AC=EF.

(1)求证：四边形AEC/是矩形；

(2)若AE=BE,AB=2,tan/ACB=1，求的长.

BEC

【分析】(1)先证四边形AECF是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；

(2)由矩形的性质得/AEC=/AE8=90°,再证乙486是等腰直角三角形，得AE=

BE=心然后由锐角三角函数定义得EC=2AE=2j5，即可解决问题.

【解答】(1)证明：•・•四边形43C。是平行四边形，

.\AD=BC,AD//BC,

，：BE=DF,

：.AD-DF=BC-BE,

即AF=EC,

・•・四边形AEC/是平行四边形，

;AC=EF,

••・平行四边形4EC”是矩形；

(2)解：•••四功形A£CF星矩形，

AZAEC=ZAEB=W,

•：AE=BE,AB=2,

•'△ABE是等腰直角三角形，

：,AE=BE=^AB=M，

2

VtanZ4CB=-^.=A,

EC2

:・EC=2AE=2H

:.BC=BE+EC=^2+2^2=3&,

即BC的长为3d5.

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的

判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关健.

21.(6分)对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为

天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是6：4,左、

右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的某人要装裱一副对联，对联的长为

10

1(X)5?,宽为27“〃.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长.

装裱后的宽

天头

T

「T

天头长

...1

-

装

裱

0-后

0边..——边

c的

m长

••••,,—不

地头长

工

边的宽地头

【分析】设大头长为6X57,地头长为41"?,则左、右边的宽为XC"根据题意得列方

程即可得到结论.

【解答】解：设天头长为6xCM,地头长为4xc〃?，则左、右边的宽为反川,

根据题意得，100+（6r+4x）=4X[27+（6x-4.r）],

解得x=4,

答：边的宽为4cm,天头长为24c7〃.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确地理解题意列出方程是解题的关键.

22.（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数（A^O）的图象经过点4（0,1）和8

（1,2）,与过点（0,4）且平行于x轴的直线交于点C.

（I）求该函数的解析式及点C的坐标；

（2）当xV3时，对于x的每一个值，函数），=2r+八的值大于函数产区+〃（�）的

3

值且小于4,直接写出〃的值.

【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4,代入函

数解析式求出点C的横坐标即可；

（2）根据函数图象得出当），=2计〃过点（3,4）时满足题意，代入（3,4）求出〃的

'3

值即可.

【解答】解：（1）把点A（0,1）,B（1,2）代入＞，=履+力（&W0）得：b=\,k+b=2,

解得：k=\,b=\,

・•・该函数的解析式为），=X+1,

由题意知点C的纵坐标为4,

当），=x+l=4时，

解得：x=3,

AC（3,4）；

（2）由（1）知：当x=3时，y=x+l=4,

因为当xV3时，函数产Zr+〃的值大于函数y=x+l的值且小于4,

3

所以当y=2r+〃过点（3,4）时满足题意，

3

代入（3,4）得：4=2x3+〃，

3

解得：〃=2.

【点评】本颍考杳了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的

坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键.

23.（5分）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm）,数据整

理如下：

4•16名学生的身高：

161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175；

以16名学生的身高的平均数、中位数、众数：

平均数中位数众数

166.75tnn

（1）写出表中m,n的值；

（2）对于不同组的学生，如果•组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越

好,据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是甲组（填“甲组”或“乙

组”）；

甲组学生的身高162165165166166

乙组学生的身高161162164165175

（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168,

168,172,他们的身高的方差为丝.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与

9

已确定的一名学生所组成的五名学生的身高的方差小于丝，其次要求所选的两名学生与

9

已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生

的身高分别为170和172.

【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行计算：

（2）根据方差的计算公式计算方差，然后根据方差的意义进行比较；

（3）根据方差进行比较.

【解答】解：（1）数据按由小到大的顺序排序：到1,162,162,164,165,165,165,

166,166,167,168,168,170,172,172,175,

则舞蹈队16名学生的中位数为〃—166+166=166,众数为〃=搐5；

2

(2)甲组学生身高的平均值是：162+165+165+166+166=38,

5

甲组学生身高的方差是：-ix((161.8-162)2+(16d.8-165)2+(16d.8-165)2+(16d.8

5

-166)2+(164.8-166)2]=2.16,

乙组学生身高的平均值是：161+162+164+165+175=1654

5

乙组学生身高的方差是：-1x((165.4-161)2+(165.4-162)2+(165.4-164)2+(165.4

5

-165)2+(165.4-175)2]=25.04,

V25.04>2,6,

・•・甲组舞台呈现效果更好.

故答案为：甲组；

（3）V168,168,172的平均数为」•（168+168+172）=1691，

33

且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于丝,

9

・•・数据的差别较小，

可供选择的有170,172,

平均数为：—(168+168+170+172+172)=170,

5

方差为：(|68-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(172-170)2+(172-170)

5

2]=3.2V丝，

9

・•・选出的另外两名学生的身高分别为170和172.

故答案为：170,172.

【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意

义是解题的关键.

24.（6分）如图，圆内接四边形A3C。的对角线AC,BD交于点E,3。平分N/WC,ABAC

=/ADB.

（1）求证。B平分N小。C,并求的大小；

（2）过点C作CT〃AD交AB的延长线于点凡若HC=A。，BF=2,求此圆半径的长.

【分析】（I）由圆周角定理得到/HAC=NCO8,而N8人C=NAO8,因此N4O^=N

CDB,得到BD平分NA。。，由圆内接四边形的性质得到乙48。+乙4£>8=90°,即可求

出NBA£>=90°；

（2）由垂径定理推出△ACO是等边三角形，得到乙4OC=60°由BO_LAC,得到N8OC

=1ZADC=3O°,由平行线的性质求出N尸=90°,由圆