2026-2027学年高三上学期开学摸底考试数学试题+答案

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）2026-2027学年高三上学期开学摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（

）A．1 B．i C． D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．设；不等式对任意的恒成立，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若函数的值域为，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．5．已知，则（

）A． B． C．1 D．6．已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（

）A．2 B． C． D．8．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，则（

）A． B．C． D．10．已知正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，若，，则（

）A．B．数列有最小项C．D．当或时，取得最大值11．现有一组数据，，，，，，，则（

）A．这组数据的平均数为B．这组数据的分位数为C．从这组数据中任取两个数，这两个数相等的概率为D．用这组数据的个数可组成个不同的七位数三、填空题12．的展开式中的系数为______．13．若函数有且仅有2个零点，则______.14．数列中，，数列的前项和，则数列的前项和______.四、解答题15．甲、乙两人参加学校组织的数学知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题.答题者若答对则得1分，答错则对方得1分.当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜.已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为.(1)记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望；(2)求甲在这次竞赛中获胜的概率.16．如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点.(1)证明：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.17．已知向量，，函数．(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)在锐角中，若且，求周长的取值范围．18．已知圆：，点，是圆上一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点作直线交曲线于，两点，若轴上一点满足．（i）求实数的值；（ⅱ）若，求的面积．19．已知函数，其中，．(1)当时，若在上是增函数，求a的取值范围；(2)若对任意的，均存在两个极值点，求a的取值范围．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）参考答案题号1234567891011答案AAABDBCBBDACDABD1．A【详解】由题知，所以z的虚部为1.故选：A.2．A【详解】.，或，.3．A【详解】由，变形得：，因为是增函数，可得：，即，不等式对任意恒成立，整理得：，因为，，两边除以得：对任意恒成立，令，导数，在上是增函数，因此的最小值为，要使恒成立，只需，即，得，因为，故是的充分不必要条件.4．B【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解.【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减，且当时，，当时，，此时要想满足的值域为，则有，解得，结合，可得；若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意；若，则在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，的值域不可能为，不合题意；若，则在上单调递增，在上单调递增，且当时，，当时，，此时要想满足的值域为，则有，解得，结合，可得，综上所述，实数的取值范围为.5．D【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解.【详解】6．B【分析】根据向量数量积运算公式，求得，结合向量的投影向量的定义，即可求解.【详解】由，可得，所以，所以在方向上的投影向量为．7．C【分析】利用正弦定理把用表示，然后利用余弦定理求得关系，从而求得离心率．【详解】设的半焦距为，过点且与其渐近线垂直的直线与渐近线交于点H，，渐近线的斜率的绝对值为，所以，因为又，所以，故解得，，则．在中，由正弦定理，得，解得，故，由余弦定理，得，整理得，所以的离心率．8．B【分析】根据已知条件，利用球的表面积公式求出外接球半径，结合三角形的性质和勾股定理求出，结合余弦定理、三角形面积公式及三棱锥体积公式计算求解．【详解】记三棱锥外接球的半径为，则，解得，与均为以为斜边的直角三角形，中点为外接球球心，故，在中，，由勾股定理得：，同理可得，取中点，连接，为等边三角形，边长为2，则，，中，，故；又，平面，故平面，则三棱锥体积为，中，，由余弦定理得：，则，，．9．BD【分析】根据不等式的性质判断AB；取判断C；构造函数，借助函数单调性判断D.【详解】对于A，由得，故，故，A选项错误；对于B，由得，故，，B选项正确；对于C，取，满足，，不满足，故错误；对于D，令，，当时，显然成立，当时，，亦成立，故函数在上单调递增，故当时，，即，故D选项正确.故选：BD10．ACD【详解】已知正项等比数列，，，由条件得，即，，由，即，代入得：，整理得，解得（负根舍去，因），故选项A正确；得，通项公式，前项和：，即，故选项C正确；数列是递减正项数列：，增大时不断减小趋近于0，不存在最小项，故选项B错误；前项积，指数是开口向下的二次函数，对称轴为，为正整数，因此和时指数最大，对应为最大值，故选项D正确.11．ABD【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用百分位数的概念可判断B选项；利用组合计数原理和古典概型的概率公式可判断C选项；利用组合计数原理和排列计数原理可判断D选项.【详解】对于A选项，这组数据的平均数为，A正确；对于B选项，将这组数据按照从小到大的顺序排列为，，，，，，，因为，所以这组数据的分位数为，B正确；对于C选项，从这组数据中任取两个数，这两个数相等的概率为，C错误；对于D选项，七位数的个数等同于从个位置中先选个位置排，再选个位置排，剩余的个位置排、、即可，用这组数据的个数可组成个不同的七位数，D正确.故选：ABD.12．【详解】中，任意一个因式选取，该项式的中的指数必为负数，不可能得出，求展开式中的系数等价于求中的系数，的通项公式为，令，，故展开式中的系数为．13．3【分析】参变分离可得，令，，利用导数判断的单调性和图象，结合函数图象分析求解.【详解】因为，则，可知0不为的零点，令，且，可得，令，，可知与有且仅有2个交点，因为，当时，，可知在内单调递增，且当趋近于时，趋近于，当趋近于0时，趋近于；当时，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，当趋近于0或时，趋近于；综上所述：可得的图象，如图所示：若与有且仅有2个交点，则.14．【分析】先求解数列，再求得数列，用错位相减求和，进而求解的前项和.【详解】已知数列的通项公式为，则，数列的前项和为，当时，，当时，，因此数列的通项公式为当时，；当时，，则，两式相减得，即.化简得，时也符合该式，综上所述，.15．(1)(2)【分析】（1）分析总分各取值，求其概率并列出分布列，进而按期望公式求出期望.（2）利用全概率公式，根据第一轮后甲得分三种情形进行递归分解，其中时比赛状态重置，时甲失败、时甲获胜，从而建立关于获胜概率的方程并求解.【详解】（1）第一轮答题后甲的总分X可取，，，，

X的分布列为.（2）记D="甲在这次竞赛中获胜"，因为甲获胜至少经过一轮答题，由（1）知，一轮回答后有三种情形，由全概率公式得：，是指一轮答题后甲得0分的条件下甲获胜的概率，为0（乙获胜，比赛结束）；是指一轮答题后甲得1分的条件下甲获胜的概率为；是指一轮答题后甲得2分的条件下甲获胜的概率为1；所以解得，

所以甲在这次竞赛中获胜的概率.16．(1)取的中点，连接，.因为分别为的中点，所以，且.又，所以，，所以四边形是平行四边形，所以.又平面平面，所以平面.(2)【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）略（2）连接，因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形.因为是的中点，所以，即,又平面，则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则由题意知，，，所以，.设平面的法向量为，则令，则.因为直线与平面所成角的正弦值为，设直线与平面所成的角为，则，解得，所以.17．(1)最小正周期为，单调递增区间为；(2)【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算得到的表达式，结合三角恒等变换公式将其化简为正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解最小正周期和单调递增区间.（2）先由结合锐角三角形的条件求出角，再利用正弦定理将三角形的边转化为角的三角函数，结合锐角三角形内角范围确定角的取值区间，最终求出周长的取值范围.【详解】（1）∵，，∴.∴.函数的最小正周期.令，解得，即的单调递增区间为.（2）∵，∴，即.∵为锐角三角形，∴，则，∴，得.由正弦定理得，∴，.又，故.∵为锐角三角形，∴，解得.的周长，∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即周长的取值范围为.18．(1)(2)（i）（ⅱ）【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可.（2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求解即可.（ⅱ）根据角平分线的性质，结合韦达定理求出值，进而求出交点纵坐标，代入三角形面积公式求解即可.【详解】（1）连接，由题意知，则，所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，.所以，，所以曲线的方程为.（2）（i）设直线的方程为，，，联立，整理得，则，.设直线与的斜率分别为，，则，，因为，所以直线与的倾斜角互补，即，则，所以，所以，又为任意实数，所以.当直线的斜率为0时，，符合题意.综上所述，.（ⅱ）因为，所以为的角平分线，所以.因为，所以，由，，得，解得.