【新教材】人教版（2024）八年级上册数学：第十七章《因式分解》教案

第第页【新教材】人教版（2024）八年级上册数学：第十七章《因式分解》教案课程基本信息学科数学（2024人教版）年级八年级学期秋季课程标准领域主题数与代数--数与式教科书书名：人教版教材出版社：人民教育出版社出版日期：2024年6月单元名称第十七章因式分解单元课时数正课5课时+数学活动1课时+小结1课时单元学习主题分析课标要求（一）内容要求《课程标准（2022年版）》在初中阶段“数与代数”部分“因式分解”的要求：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。（二）学业要求能用提公因式法、公式法（对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式）进行因式分解（指数为正整数）。单元教学分析（一）教材分析2024版教材将“因式分解”从原“整式的乘除与因式分解”章节中独立为第17章，凸显其核心地位。内容以“概念—方法—应用”为逻辑主线，先通过整式乘法的逆运算引入因式分解概念，再系统讲解提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），配套梯度化练习与数学活动，实现从知识到能力的进阶。教材新增“阅读思考”“数学活动”板块，强化知识的现实关联与实践应用。（二）本章在中考中的地位与作用因式分解是中考数学的核心工具性知识点，并非独立重难点题型，但贯穿代数解答的关键环节，是解决多个高频考点的“桥梁”。因式分解在中考中的具体作用多体现在3个核心场景：1.快速求解一元二次方程（如用十字相乘法分解因式，比公式法更高效）；2.化简分式（分解分子分母的公因式，是分式约分、通分的前提）；3.辅助二次函数相关计算（如分解函数解析式求与x轴交点，或判断代数式取值范围）。综上，因式分解是“解题工具”而非“最终考点”，掌握不扎实会直接影响代数板块的解题速度与准确率。（三）学情分析八年级学生已掌握整式的加、减、乘、除运算，对代数式变形有初步认知，具备基础运算能力与逻辑思维能力。但因式分解作为逆向思维过程，与整式乘法的思维逻辑相反，学生易出现概念混淆、方法选择不当等问题；对含多项式公因式、符号问题的分解易出错，需强化方法指导与易错点辨析。单元学习目标（一）知识与技能目标1.理解因式分解的定义，能区分因式分解与整式乘法。2.掌握公因式的确定方法，能熟练运用提公因式法分解因式，公因式可涵盖单项式或多项式。3.能运用平方差公式、完全平方公式（直接使用不超过二次）进行因式分解，综合运用提公因式法与公式法解决复杂的因式分解题。4.了解因式分解的结果要求。（二）过程与方法目标1.经历从分解因数到分解因式的类比过程，体会从具体到抽象的思维转化，发展观察、归纳与概括能力。2.再探究提公因式法和公式法的过程中，通过观察、比较、归纳、推理，提升规范运算能力与逻辑推理能力。（三）情感态度与价值观目标运用因式分解变形代数式，解决简单实际问题（如几何面积），感知知识间的内在逻辑与工具价值。（四）教学重难点1.教学重点：理解因式分解的概念；熟练掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解。2.教学难点：灵活运用多种方法分解因式；处理符号问题、多项式公因数等复杂情况。相反变形相反变形整式的乘法因式分解特殊形式具体方法相反变形相反变形五、单元教学结构设计课时序号课时主题核心内容与活动设计备注117.1用提公因式法分解因式（基础）复习整式乘法，通过逆向变形引入因式分解概念；讲解公因数的“三定”原则；提公因式法的基础训练。新授课217.1用提公因式法分解因式（进阶）突破多项式公因数、符号问题；错题分析与巩固练习。新授课317.2用公式法分解因式-平方差公式推导平方差公式，分析“两项、异号、平方”特征；例题讲解与基础训练。新授课417.2用公式法分解因式-完全平方公式1.推导完全平方公式，对比平方差公式的特征区别；2.例题讲解与基础训练。新授课517.2用公式法分解因式-公式法的灵活使用（拔高）补充：阅读与思考x²+(p+q)x+pq分解因式1.讲解“先提公因式，再公式法”的思路；2.例题讲解与针对训练；3.引入数学活动：运用十字相乘法分解因式。习题课6数学活动个位数字是5的两位数平方的规律、利用因式分解生成密码1.前期准备2.现场实施：探究-小组合作3.后期总结：成果展示-方法学习实践课7本章小结数量知识框架；易错点复盘；综合训练与能力检测。小结课六、2012版教材与2024版教材对比分析目录结构对比（二）内容变化1.将原来的2012版第十四章整式的乘法与因式分解拆分成两章，2024版教材第十七章因式分解独立成章，内容更加独立与系统。2.2024版教材新增了例题、习题--P125例1、P126例3（2）、习题17.1，P128例1（2）、P126例3（2）、习题17.1，P130例3（1）、例4（1）、习题17.2，复杂的因式分解问题.3.2024版教材更换了一些例题习题，题目内容素材，如章前言由绿地面积更换为跳水比赛计算选手的得分问题。4.2024版教材删减了一些重复的题目，更换成一些与教材搭配呼应且有一定思维含量的题目，如17.1课时练习、P128例4（2）、17.2课时练习。5.2024版教材替换了数学活动2--删除两数积的规律，新增了利用因式分解生成密码。（三）就本单元变化要点解读及教学建议1.要点解读(1)章节独立性增强：2024年教材突出了因式分解的重要性，内容安排更具系统性和完整性。(2)知识点表述细化：2024年教材在提公因式法部分，给出了确定公因式的“三定”原则，即“定系数、定字母、定指数”，相比2012年教材，知识点的表述更加具体、清晰，便于学生理解和掌握。(3)导学功能优化：2024年教材在章节引言、小结等内容上进行了全面修订，如在因式分解章节引言中可能会更注重创设情境，引发学生的学习兴趣，引导学生自主思考因式分解的意义和作用。2.教学建议(1)强调知识联系：虽然因式分解单独成章，但教学中仍要注重其与整式乘法的互逆关系，通过对比练习等方式，让学生理解两者的区别与联系，加深对知识的理解。(2)细化方法指导：在讲解提公因式法和公式法时，要详细阐述方法的步骤和要点，如提公因式法的“三定”原则，公式法中对公式结构特征的分析等，通过具体例题让学生熟练掌握因式分解的方法，通过错题对比、专项练习集中攻克易错点。(3)引导自主探究：引导学生通过阅读章节引言、小结等内容，自主总结归纳知识点，培养学生的自主学习能力和总结归纳能力，落实数学活动。第十七章因式分解分课时教学设计学科数学（2024人教版）年级八年级学期秋季教科书书名：义务教育教科书数学八年级上册出版社：人民教育出版社出版日期：2024年6月教师霍林郭勒市蒙古族学校聂凤题17.1用提公因式法分解因式（第一课时）课型新授课☑章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课标要求能用提公因式法进行分解因式教材分析前承：整式乘法是提公因式的逆向运算基础；后启：后续学习公式法因式分解、分式化简、一元二次方程求解等，提公因式法是这些内容的“前置工具”。学情分析一、已有基础1.知识层面：已掌握整式乘法法则，能计算单项式乘多项式，对“乘法分配律”有一定认知，具备理解“提公因式”的前提。2.能力层面：初步具备简单代数运算能力，但逆向思维和代数变形意识较弱。二、潜在困难1.概念混淆：易将“公因式”与“最大公约数”“同类项”概念混淆。2.操作失误：提取公因式后漏项，符号处理错误。学习目标一、知识与技能1.理解因式分解概念且会识别；2.理解公因式的定义，掌握提公因式法分解因式的基本步骤。过程与方法通过“整式乘法→逆向推导→归纳方法”的过程，培养逆向思维和代数变形能力；通过小组讨论找公因式，提升合作探究与逻辑表达能力。情感态度与价值观感受数学的严谨性，体会“逆向思考”运算.学习重点理解因式分解概念且会识别；确定多项式的公因式正确因式分解。学习难点确定多项式的公因式；提取公因式后剩余项的确定（避免漏项）；处理符号问题（如多项式首项为负时，提取带负号的公因式）。学习策略启发式教学+小组合作学习+讲练结合课前准备多媒体课件（含复习题、探究题、练习题）课堂练习单（分层设计）教学思路情境引入-新知探究-巩固应用-拓展提升-课堂小结教学过程（45分钟）环节一：问题引入时间教师活动学生活动设计意图2分钟章前言情境导入提出问题：在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的，某单人跳水选手完成了一个难度系数为P的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉2个最高分和2个最低分，会剩下3个分数a、b、c，求选手的得分？2.引导思考，引出主题：从整式运算角度看，从②到①是整式运算，从①到②相当于把一个多项式写成两个整式的乘积。问题本质是找“pa、pb、pc”的公共因式，引出本节课主题——提公因式法分解因式。学生思考作答①pa+pb+pc或②p(a+b+c)结合生活实际情境，激发学生兴趣环节二：知识精讲15分钟一、回顾旧知：1.快速复习“整数的分解”法则，计算33=，42=。教师过渡语：类比整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式乘积的形式。二、探究新知1.计算请把下列多项式写成整式的乘积的形式；x²+x=，x²-1=，x²+2x+1=.2.生成新知教师引导学生观察、分析、发现、归纳规律并板书：我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解(factorization)，也叫做把这个多项式分解因式.教师引导学生解读概念：①因式分解研究的对象是多项式，结果是整式的积。②因式分解是恒等变形，形式改变但值不变。③因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止。④因式分解与整式乘法是方向相反的变形。章前言中提到pa+pb+pc=p(a+b+c)追问：多项式pa+pb+pc的各项有什么共同特征？我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式.提公因式法一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．针对练习：找出多项式的公因式ac+bc；3m2+12m；a2b-2ab+ab2；4xy2-6xy+8x2y.例1分解因式：(1)mx2+my2；(2)3x2−4xy2+x.教师精讲例题示范分析：给出3x2−4xy2+x，引导学生观察各项的系数和字母：系数：3、-4、1的最大公约数是1；字母：各项都含字母“x”，指数：x的最低次幂是1；总结：这个多项式的公因式是“x”。教师板书：3x2−4xy2+x=x(3x−4y2+1).逆向推导：x(3x−4y2+1)=3x2−4xy2+x.（含易错点强调）：强调：括号内各项是“原项÷公因式”，不能漏项；若首项为负时，提取负公因式，括号内各项要变号。学生思考，口答33=3×11，42=2×3×7。学生独立计算根据整式的乘法，得到x²+x=x(x+1),x²-1=(x+1)(x-1)，x²+2x+1=(x+1)².学生独立完成同步练习1：下列式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？问什么？（教科书P125练习1）4a(a+2b)=4a²+8ab,a²-4=(a+2)(a-2)，x²-3x+2=x(x-3)+2.都含有相同的因式p对照实例，老师解读提公因式的概念和步骤。结合pa+pb+pc=p(a+b+c)得出过程，学生完成例1分解因式：(1)mx2+my2；结合例1(2)的得出过程，学生小结：正确找出多项式的公因式的步骤：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.类比整数的分解，过渡到整式的因式分解。通过旧知识整式乘法运算，等式的结构特点，过渡到新知识整式的因式分解。体会整式乘法运算与因式分解的互逆关系。巩固“找公因式”和“基本提取步骤”。环节三：巩固练习，分层提升15分钟1.基础题（全体必做）教师巡视，纠正符号、漏项错误。纠错反馈：展示学生典型错题,剖析错因，师生改错，强化注意事项。xy−y2+yz=y(x−y+z)或xy−y2+yz=-y(-x+y-z)提升题（小组合作，8分钟）：深度挖掘：实质：乘法的分配律2名学生板演同步练习2：因式分解（教科书P125练习2）ax−aya²-2aa²+abxy−y2+yz同步练习3：利用因式分解计算（教科书P125练习3）(1)1.99²+1.99×0.01；(2)49×20.22+52×20.22-20.22(3)5×3⁴+4×3⁴+9×3²结合（3）强化“分解彻底”意识，小组讨论后展示答案巩固“找公因式”和“基本提取步骤”。巩固提公因式分解因式，体会因式分解的便利性，深度挖掘运算的实质-小学阶段学习的乘法分配律。环节四：课堂小结及课堂检测 3分钟1.知识回顾：什么是公因式？找公因式的关键是什么？提公因式法分解因式的步骤？常见易错点有哪些？2.新知生成过程回顾：因式分解是如何得出的？强调“逆向思维”公因式概念三定：系数；字母；指数（漏项、符号错误、公因式找不全）因式分解与整式乘法的互逆关系。10分钟限时检测1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)-a(a+2b)=-a2-2ab；(2)a2−9=(a+3)(a−3)；(3)x2−3x+2=x(x−3)+2.2.分解因式：(1)3x+6y;(2)ab－2ac;(3)a2－a3;(4)4(m+n)2+2(m+n);(5)9m2n－6mn;(6)－6x2y－8xy2.3.利用因式分解计算：(1)39×37–13×91；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14．4.利用因式分解求整式的值.已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．学习评价过程性评价：观察学生在课堂师生活动中的参与度（占比60%）结果性评价：答题规范性、准确率（占比40%）布置作业纸笔作业：基础类作业：习题17.1第1，2，3题.提升类作业：习题17.1第7题.拓展类作业：3.(1)已知:2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x=.（3）思考“如何分解因式2(x-y)²-(x-y)”，为下一节课“公因式为多项式”的深入学习做准备。背诵作业因式分解概念、提公因式法因式分解的步骤拓展阅读拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．例：分解因式：x2＋4x＋3解：原式＝x2＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，＝（x2＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式请类比上面的示例，分解因式：x2＋5x＋6板书设计17.1用提公因式法分解因式一、因式分解例1分解因式：1.定义：一个多项式化成了几个整式的积的形式(1)mx2+my2；整式乘法运算与因式分解互为逆运算。(2)3x2−4xy2+x.2.公因式确定方法注意事项步骤：1.定系数2.定字母3.定指数3.提公因式法步骤：1.找公因式2.提3.乘积形式课后反思1.教学目标达成度2.教学过程合理性3.学生表现和反馈4.习题的设计科学性5.教师的基本功6.二次备课及改进方向上述内容为17.1提公因式分解因式（1）教学设计全部内容课题17.1用提公因式法分解因式（第二课时）课型新授课☑章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课标要求能用提公因式法进行分解因式教材分析前承：整式乘法是提公因式的逆向运算基础；后启：后续学习公式法因式分解、分式化简、一元二次方程求解等，提公因式法是这些内容的“前置工具”。学情分析一、已有基础1.知识层面：已初步掌握提公因式因式分解的基本步骤，能初步对较简单的多项式提公因式。2.能力层面：初步具备简单代数运算能力，但逆向思维和代数变形意识较弱。二、潜在困难1.概念混淆：易将“公因式”与“最大公约数”“同类项”概念混淆。2.操作失误：提取公因式后漏项，符号处理错误。学习目标一、知识与技能熟练掌握复杂单项式公因式（含多字母、高次幂）的确定方法，能识别并提取多项式型公因式，准确运用提公因式法分解较复杂的多项式。二、过程与方法通过实例探究、小组合作，经历“观察—识别—转化—分解”的过程，体会整体思想和转化思想，提升数学抽象与逻辑推理能力。三、情感态度与价值观感受因式分解的实用性，培养学生严谨的运算习惯。学习重点复杂公因式（复杂单项式、多项式）的确定与提公因式法的灵活应用。学习难点多项式型公因式的识别，尤其是符号不同的多项式（如(a-b)与(b-a)）的转化。学习策略启发式教学+小组合作学习+讲练结合课前准备多媒体课件（含复习题、探究题、练习题）课堂练习单（分层设计）教学思路复习引入-新知探究,巩固应用-拓展提升-课堂小结教学过程（45分钟）环节一：复习引入时间教师活动学生活动设计意图5分钟复习提问：什么是因式分解？它与整式乘法是什么关系？2.基础练习分解因式：①6x²y-9xy²②-4a³+8a²学生口答，强调“互逆变形”学生独立练习课件展示步骤及结果师生评价复习旧知，巩固基础环节二：探究新知+巩固应用25分钟师过渡语：上节课我们解决了公因式是简单单项式的情况，今天我们来挑战更复杂的情况——当公因式是复杂单项式或多项式时，该如何分解因式？探究一：复杂单项式公因式的确定例2：分解因式8a³b²+12ab³c教师引导：追问1：系数8和12的最大公约数是多少？追问2：各项含有的相同字母有哪些？（a、b）追问3：相同字母的最低次幂分别是什么？（a^1、b^2）学生方法提炼，教师板书：定系数（最大公约数）→定字母（相同字母）→定指数（最低次幂）针对练习：教科书126页练习1(1)(2)(1)8m²n+2mn(2)4a²b+10ab-ab²探究二：多项式型公因式的识别与提取例3：分解因式(1)2a(b+c)-3(b+c）(2)4(a-b)³-8(b-a)²教师引导观察：式子中重复出现的部分是什么？类比迁移：整体法把(b+c)看成一个整体。学生独立完成分解后，教师板书：(1)2a(b+c)-3(b+c）=(b+c)(2a-3）例题精讲(2)4(a-b)³-8(b-a)²难点突破：提问：(a-b)与(b-a)有什么关系？提问：如何转化问题？教师巡视指导规范解答：4(a-b)³-8(b-a)²=4(a-b)²(a-b-2)师强调：遇到多项式公因式时，运用“整体思想”将其视为单个因式，符号不同时先通过变形转化为相同形式。针对练习：教科书126页练习1(3)(4)p(a²+b²)-q(a²+b²)(4)2a(y-z)³-4b(z-y)³先因式分解，再求值：4a²(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.学生思考，计算，表达系数8和12的最大公约数是多少4；8a³b²，12ab³c含有的相同字母有a、b。相同字母的最低次幂分别是a、b²。总结：公因式为4ab²，进而完成分解：8a³b²+12ab³c=4ab²(2a²+3bc)选2名学生板演全班都做师生评价计算步骤及结果学生观察，作答式子中重复出现的部分是b+c。类比迁移：(b+c)看成一个整体，它就是公因式-学生独立完成分解，解：原式=(b+c)(2a-3）难点突破：b)与(b-a)关系：互为相反数。故平方相等。学生小组讨论转化方法规范解答：原式==4(a-b)²(a-b-2)总结：遇到多项式公因式时，运用“整体思想”转化问题。目的：巩固复杂单项式公因式和符号转化基础。提高题（小组合作）目的：强化“提尽公因式”和多项式公因式转化。学生计算，错题再现纠错。采用“学生互评+教师点评”模式，重点纠正“公因式找不全”“符号错误”“分解不彻底”等问题。环节三：拓展提升5分钟出示拓展题分解因式：2a(x+y-z)-3b(x+y-z)+5c(x+y-z)提示：先统一公因式的符号(x+y-z)总结升华：提公因式法的核心是“找准公因式”，无论公因式是单项式还是多项式，都遵循“找—提—验”的基本流程，关键在于灵活运用转化思想和整体思想。学生独立思考后，教师引导完成分解：原式=(x+y-z)(2a-3b-5c)或原式=(-x-y+z)(-2a+3b+5c)环节四：课堂小结及课堂检测 3分钟复杂公因式的确定方法、多项式公因式的转化技巧、整体与转化思想的应用。核心步骤：找公因式→提公因式→验结果思想方法：整体思想、转化思想7分钟限时检测1.下列用提公因式法分解因式正确的是()A.12abc-9a2b2c2=3abc(4-3ab)B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)2.因式分解:12ab3c-8a3ba(a-b)2+a2(a-b)6(x-2y)2-2x(2y-x)

3.先因式分解,再求值:2x(a-2)-y(2-a),其中a=0.5,x=1.5,y=-2.学习评价过程性评价：观察学生在课堂师生活动中的参与度（占比60%）结果性评价：答题规范性、准确率（占比40%）布置作业纸笔作业：基础作业：教科书P127习题17.1第4、5题（巩固基础）拓展作业：分解因式(a+b)(a-b)-a-b拓广探索教科书P127习题17.1第7、8题（巩固整体法及因式分解在三角形问题中的应用）板书设计17.1提公因式法分解因式（第二课时）一、公因式的确定（复杂型）1.单项式公因式：定系数→定字母→定指数例：8a³b²+12ab³c=4ab²(2a²+3bc)2.多项式公因式：整体思想+符号转化例1：2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)例2：4(a-b)³-8(b-a)²=4(a-b)²(a-b-2)二、核心步骤：找公因式→提公因式→验结果三、思想方法：整体思想、转化思想课后反思1.教学目标达成度2.教学过程合理性3.学生表现和反馈4.习题的设计科学性5.教师的基本功6.二次备课及改进方向上述内容为17.1提公因式分解因式（2）教学设计全部内容课题17.2用公式法分解因式（第一课时）课型新授课☑章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课标要求能用公式法进行分解因式教材分析前承：整式乘法和提取公因式法因式分解基础。后启：后续学习完全平方公式、分式化简等内容的基础。学情分析一、已有基础1.知识层面：已掌握整式乘法公式-平方差公式。2.能力层面：初步具备简单代数运算能力，但逆向思维和代数变形意识较弱。二、潜在困难操作失误：整式乘法公式记忆不准确，导致操作失误，结果有偏差。学生已掌握整式乘法中的平方差公式，理解因式分解与整式乘法的互逆关系，具备公式法的基本能力，但对“逆向运用公式”的思维转换存在困难，需要通过实例引导突破。学习目标一、知识与技能理解平方差公式因式分解的推导过程，掌握平方差公式的结构特征，能运用平方差公式对符合条件的多项式进行因式分解。二、过程与方法通过观察、对比、推导，体会“逆向思维”在数学中的应用，提升分析和归纳能力。三、情感态度与价值观感受数学的严谨性，感受数学知识的连贯性和实用性，体会“逆向思考”运算.学习重点平方差公式的结构特征及运用公式进行因式分解。学习难点准确识别符合平方差公式的多项式，灵活处理因式分解的完整过程（先提公因式，再用公式）学习策略启发式教学+小组合作学习+讲练结合课前准备多媒体课件（包含整式乘法练习题、公式推导动画、例题解析）预习单、练习本教学思路复习引入-新知探究-巩固应用-拓展提升-课堂小结教学过程（45分钟）环节一：复习引入时间教师活动学生活动设计意图5分钟1.什么是因式分解？2.已学的因式分解方法是什么？3.整式乘法中的平方差公式是什么？逆向思考：将平方差公式反过来，得到a²-b²=(a+b)(a-b)，这就是因式分解的平方差公式。引出课题：用平方差公式因式分解。学生复习，口述把一个多项式化成几个整式的积的形式。提取公因式法(a+b)(a-b)=a²-b²复习导入，引出新知，体会知识的完整性和连贯性。环节二：新知探究10分钟1.公式推导：教师引导学生对比：乘法公式：“和×差→平方差”，因式分解：“平方差→和×差”，强调二者是互逆运算。板书公式：a²-b²=(a+b)(a-b)，其中a、b可以是单独的数、字母，也可以是单项式或多项式。教师引导学生观察结构有什么特征？针对练习：教科书P129练习1下列多项式能否用平方差公式因式分解？x²+y²x²-y²-x²+y²-x²-y²学生观察结构特征分析、对比：1.多项式必须是二项式，且两项符号相反；2.两项都能写成一个整式的平方形式（即“平方差”形式）。学生对照平方差公式，做出判断。x²+y²不能x²-y²能-x²+y²能-x²-y²不能环节三：巩固应用15分钟例1分解因式（直接用公式）：(1)4x²-9(2)a²-25b²解析：先确定a、b，再代入公式，结果要化为最简整式积。4x²=(2x)²,9=(3)²,25b²=(5b)².例2分解因式（高阶，整体法）：(1)(2)(x+p)²-(x+q)²解析：先确定a、b，再代入公式，结果要化为最简整式积。,(x+p)和(x+q)整体。针对练习：教科书P129练习1(1)36-m²(2)49n²-1(3)a²-0.04b²4b²-(b+c)²(m+n)²-(m-2n)²总结步骤：因式分解时，先看是否有公因式，再看是否符合平方差公式，分解要彻底。课堂练习，强化技反馈纠正：通过抽查、小组互查方式核对答案，针对共性错误集中讲解。学生对照公式直接计算(1)4x²-9=(2x)²-3²=(2x+3)(2x-3)a²-25b²=a²-(5b)²=(a+5b)(a-5b)(1)(2)(x+p)²-(x+q)²=(x+p+x+q)(x+p-x-q)=(2x+p+q)(p-q)针对练习：教科书P129练习1(1)36-m²(2)49n²-1a²-0.04b²巩固公式应用(4)(5)4b²-(b+c)²(6)(m+n)²-(m-2n)²结合多项式结构特点巩固公式应用环节四：拓展提升5分钟教科书P127习题17.1第7题设n是奇数，求证：n²除以8的余数是1.教师提问：奇数用代数式如何表示？数量关系如何用算式表示？师生总结：整除问题的解决方法。学生小组合作，交流被除数=除数×商+余数(2k+1)²-1=(2k+1+1)(2k+1-1)=4(k+1)k4(k+1)k一定能被8整数巩固因式分解在三角形问题中的应用环节五：课堂小结与课堂检测3分钟1.本节课学习了什么公式？（平方差公式因式分解）公式的结构特征是什么？（二项式、异号、平方项）因式分解的一般步骤是什么？（先提公因式，再用公式，分解彻底）2.板书知识框架，帮助学生构建体系。7分钟限时检测1．因式分解：a2−4(a+b)A．(3a+2b)(a−2b)B．(5a+4b)(−3a−4b)C．−(5a+4b)(3a+4b)D．−(3a+2b)(a+2b)2．已知m+n=4，m2−n2=−8A．−4 B．−2 C．2 D．43.分解因式：(1)9−m2；(2)4n2−1；(3)4b2−(b+c)2；(4)(m−2n)2−(m−2n)2.4.计算下列各题：(1)1012−992；(2)53.52×4−46.52×4.学习评价过程性评价：观察学生在课堂师生活动中的参与度（占比60%）结果性评价：答题规范性、准确率（占比40%）布置作业基础作业：教科书P132习题17.2第1题；拓展作业：思考“4x²-4x+1能否用平方差公式因式分解？为什么？”，为下节课完全平方公式做铺垫。板书设计17.2用公式法因式分解（第一课时）一、复习回顾1.因式分解：多项式→整式积2.平方差乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²二、因式分解平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)特征：①二项式②异号③平方项三、因式分解步骤：先提公因式→再用公式→分解彻底四、例题解析例1：x²-16=(x+4)(x-4)例2：3x²-27=3(x²-9)=3(x+3)(x-3)教学反思1.教学目标达成度2.教学过程合理性3.学生表现和反馈4.习题的设计科学性5.教师的基本功6.二次备课及改进方向上述内容为17.2提公因式分解因式（1）教学设计全部内容课题17.2用公式法分解因式（第二课时）课型新授课☑章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课标要求能用公式法-完全平方公式进行分解因式教材分析前承：整式乘法和提取公因式法因式分解基础。后启：后续学习分式化简等内容的基础。学情分析一、已有基础1.知识层面：已掌握平方差公式因式分解。2.能力层面：初步具备简单代数运算能力，但逆向思维和代数变形意识较弱。二、潜在困难操作失误：整式乘法公式记忆不准确，导致操作失误，结果有偏差。学生已掌握整式乘法中的完全平方公式，理解因式分解与整式乘法的互逆关系，具备公式法的基本能力，但对“逆向运用公式”的思维转换存在困难，需要通过实例引导突破。学习目标一、知识与技能理解完全平方公式因式分解的推导过程，掌握完全平方公式的结构特征，能运用完全平方公式对符合条件的多项式进行因式分解。二、过程与方法通过观察、对比、推导，体会“逆向思维”在数学中的应用，提升分析和归纳能力。三、情感态度与价值观感受数学的严谨性，感受数学知识的连贯性和实用性，体会“逆向思考”运算.学习重点完全平方公式的结构特征及运用公式进行因式分解。学习难点准确识别符合完全平方公式公式的多项式，灵活处理因式分解的完整过程（先提公因式，再用公式）学习策略启发式教学+小组合作学习+讲练结合课前准备多媒体课件（包含整式乘法练习题、公式推导动画、例题解析）预习单、练习本教学思路复习引入-新知探究-巩固应用-拓展提升-课堂小结教学过程（45分钟）环节一：复习引入时间教师活动学生活动设计意图5分钟1.什么是因式分解？2.已学的因式分解方法有哪些？3.整式乘法中的完全平方公式是什么？4.快速因式分解(1)4(m+n)2+2(m+n)(2)49n²-1教师核对过程及结果，进行评价。逆向思考：将完全平方反过来，得到a²-b²=(a+b)(a-b)，这就是因式分解的平方差公式。引出课题：用平方差公式因式分解。学生复习，口述把一个多项式化成几个整式的积的形式提取公因式法平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²学生计算，复习旧知(1)4(m+n)2+2(m+n)=2(m+n)(2m+2n+1)(2)49n²-1=(7n+1)(7n-1)错误反馈整改。1.

复习回顾平方差公式分解因式，提问“整式乘法中的完全平方公式反过来是什么形式？”，引出课题。环节二：新知探究10分钟1.公式推导：教师引导学生对比：乘法公式：完全平方公式“和×和→两项平方和加两倍积”“差×差→两项平方和减两倍积”(a±b)²=a²±2ab+b²由等式性质：因式分解：“两项平方和加两倍积→和×和”“两项平方和减两倍积→差×差”强调二者是互逆运算。板书公式：a²±2ab+b=(a±b)²，其中a、b可以是单独的数、字母，也可以是单项式或多项式。教师引导学生观察结构有什么特征？结构特征：两项平方和加/减两倍积→和×和、差×差。针对练习：教科书P131练习1下列多项式能否用完全平方公式因式分解？(1)a²-4a+4(2)1+4a(3)4b²+4b-1(4)a²+ab+b²学生观察结构特征分析、对比：1.多项式必须是二次三项式。2.两项平方和，加/减两倍积形式。学生对照完全平方公式，做出判断。(1)a²-4a+4能(2)1+4a不能(3)4b²+4b-1不能(4)a²+ab+b²不能明确算理夯实基础。选取基础习题、提升学生运用公式的准确性及熟练程度。环节三：巩固应用15分钟例1分解因式（直接用公式）：(1)x²+4x+4(2)16x²-24x+9解析：先确定a、b，再代入公式，结果要化为最简整式积。x²=(x)²,4x=2×x×2,4=(2)²;16x²=(4x)²,-24x=-2×4x×3,9=(3)².例2分解因式（高阶，整体法）：(1)(a+b)²-12(a+b)+36(2)-x²+4xy-4y²解析：先确定a、b，再代入公式，结果要化为最简整式积。(a+b)视为整体，先提出公因数-1，添括号，后完全平方公式。教师巡视点拨，规范书写过程。针对练习：教科书P131练习2(1)a²+2a+1(2)x²-12x+36(3)4x²-4x+1(4)4p²+12pq+9q²(5)(x+y)²-10(x+y)+25(6)-2xy-x²-y²总结步骤：因式分解时，先看是否有公因式，再看是否符合完全平方公式，分解要彻底。课堂练习，强化技反馈纠正：通过抽查、小组互查方式核对答案，针对共性错误集中讲解。学生对照公式直接计算x²+4x+4=x²+2×x×2+2²=(x+2)²(2)16x²-24x+9=(4x)²-2×4x×3+3²=(4x-3)².(a+b)²-12(a+b)+36=(a+b-6)²-x²+4xy-4y²=-（x²-4xy-4y²）=-（x-2y）²教科书P131练习2(1)a²+2a+1(2)x²-12x+36(3)4x²-4x+1(4)4p²+12pq+9q²巩固公式运用(5)(x+y)²-10(x+y)+25(6)-2xy-x²-y²结合多项式结构特点巩固公式应用选取基础题、稍难题分层讲解，强调先判断结构、再确定a和b的步骤，规范解题格式。渗透整体思想渗透转化思想布置梯度练习题，学生独立完成后小组互评，教师针对性纠错。。环节四：拓展提升5分钟若多项式4x2−mxy+92.x学生从结构特征入手解题。深度挖掘学生解决问题能力环节五：课堂小结与课堂检测3分钟师生共同总结：简述完全平方公式分解因式的得出过程。1.完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²a²-2ab+b²=(a-b)²2.结构特征：两项平方和±两倍积3.解题步骤：判断结构→确定a、b→套用公式7分钟限时检测1.分解因式：(1)a2+2a+1；(2)x2−12x+36；(3)4x2−4x+1；(4)4p2+12pq+9q2；(5)(x+y)2−10(x+y)+25；(6)−2xy−x2−y2.2.利用完全平方公式计算：(1)1002−2×100×99+992；(2)342+34×32+162.学习评价过程性评价：观察学生在课堂师生活动中的参与度（占比60%）结果性评价：答题规范性、准确率（占比40%）布置作业基础作业：教科书P132习题17.2第2、4题；拓展作业：思考“4x²+mx+1、4x²+4x+n能否是完全平方式？试求m、n的值”，为深入理解完全平方公式做铺垫。板书设计17.2用公式法分解因式（第二课时）1.完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²a²-2ab+b²=(a-b)²2.结构特征：两项平方和±两倍积3.解题步骤：判断结构→确定a、b→套用公式教学反思1.教学目标达成度2.教学过程合理性3.学生表现和反馈4.习题的设计科学性5.教师的基本功6.二次备课及改进方向上述内容为17.2提公因式分解因式（2）教学设计全部内容课题17.2用公式法分解因式（第三课时）课型新授课☑章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课标要求能用公式法进行分解因式教材分析前承：整式乘法和提取公因式法、公式法因式分解基础。后启：后续学习分式运算等内容的基础。学情分析一、已有基础1.知识层面：已掌握提公因式、公式法因式分解。2.能力层面：初步具备简单代数运算能力，但逆向思维和代数变形意识较弱。二、潜在困难操作失误：整式乘法公式记忆不准确，导致操作失误，结果有偏差。学生已掌握整式乘法中的平方差公式、完全平方公式，理解因式分解与整式乘法的互逆关系，具备提取公因式的基本能力，但对“逆向运用公式”的思维转换存在困难，对待复杂形式的多项式因式分解无从下手，需要通过实例引导突破。学习目标一、知识与技能掌握“先提公因式，再用公式法”的分解步骤，能熟练运用平方差公式分解复杂多项式；理解因式分解的彻底性要求。补充：十字相乘法二、过程与方法通过例题分析、小组讨论，经历“观察—提取—套用—验证”的分解过程，培养逆向思维和逻辑推理能力。三、情感态度与价值观感受数学的严谨性，熟练运用因式分解的方法解决复杂多项式的分解问题，体会因式分解工具性的特点.学习重点“先提公因式，再用平方差公式”的综合运用。综合运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式的结构特征及运用多种方法进行因式分解。学习难点结合复杂多项式的结构特点，准确识别多项式符合的类型，灵活处理高次幂多项式因式分解的完整过程（先提公因式，再用公式）补充：十字相乘法学习策略启发式教学+小组合作学习+讲练结合课前准备多媒体课件（包含复习题、例题、练习题）教学思路复习引入-新知探究-巩固应用-拓展提升-课堂小结教学过程（45分钟）环节一：复习引入5分钟1.什么是因式分解？它与整式乘法是什么关系？2.因式分解的方法有哪些？3.基础练习分解因式：①6x²y-9xy²②36-m²③16x²-24x+9学生回忆，口答学生独立计算所有学生完毕后与教师出示的步骤核对出处并改正。环节二：新知探究15分钟当多项式既存在公因式，又是平方差形式，或为高次幂多项式时，该如何分解？引出本节课例题例5分解因式(2)a³b-ab教师引导步骤1：观察多项式，有无公因式？直接判断形式，你有什么发现？转化后，符合平方差公式步骤2：强调分解彻底性。步骤3：总结：高次幂多项式分解后，需检查每个因式是否能再分解，直到不能分解为止。(2)a³b-ab教师引导步骤1：观察多项式，引导学生发现各项是否含有公因式？先提取公因式步骤2：分析剩余部分结构特征，是否符合公式法形式，套用公式步骤3：验证分解彻底性，不能再分解，确认结果正确。归纳核心步骤师生共同总结：综合运用公式法分解因式的步骤“一提（公因式）、二套（公式）、三查（彻底性）”。小组合作观察，思考，作答，书写，表述，评价无公因式转化形式：观察结构特点，套用公式，检验结果类比学习a³b-ab观察多项式，学生发现各项含有公因式ab，需要先提取公因式。步骤2：分析剩余部分结构特征，符合平方差公式法形式，套用公式：验证分解彻底性，不能再分解，确认结果正确。师生小结：有公因式先提公因式，再看剩余部分是否能套用公式。a³b-ab=ab(a²-1)=ab(a+1)(a-1)生小结：有公因式先提公因式，再看剩余部分是否能套用公式。通过观察分析高次幂多项式结构特征，因式分解，后需检查每个因式是否能再分解，直到不能分解为止。环节三：巩固练习7分钟例6分解因式(1)3ax²+6axy+3ay²-ax²+2a²x-a³

教师梳理：因式分解需遵循“先提公因式，再用公式”，牢记“分解要彻底”，平方差公式适用于两项异号、均为完全平方的多项式。结合学生步骤及错题教师强调注意事项：运算顺序，结果要彻底，符号问题。学生独立完成，教师巡视指导，指名板演，纠错点评。(1)3ax²+6abxy+3ay²=3a(x²+2xy+y²)=3a(x+y)²

-ax²+2a²x-a³=-a(x²-2ax+a²)

=-a(x-a)²巩固练习，深化理解环节四：拓展提升8分钟教科书P133阅读与思考我们明确了整式乘法与因式分解的关系。思考：我们知道整式乘法(x+p)(x+q)=x²+(p+q)x+pq

，反过来，就是因式分解x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例题教师示范，精讲x²+3x+211121×2+1×1=3x²+3x+2=x²+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2)这种分解因式的方法就叫做十字相乘法。练习x²-2x-8小组合作小结多项式结构特征：二次项系数是1；一次项系数是两书和的形式；常数项是两数积的形式。师生归纳十字相乘法的步骤：①分解二次项系数和常数项，写在十字交叉线的左侧；②分解常数项，写在十字交叉线的右侧；③交叉想乘，求代数和，使其得一次项系数；④写出因式分解形式。学生先独立完成，在组内交流，评价。深度挖掘学生解决问题能力环节五：课堂小结及限时检测3分钟谈谈你对因式分解的认识？复杂多项式因式分解需遵循“先提公因式，再用公式”，牢记“分解要彻底”，平方差公式适用于两项异号、均为完全平方的多项式。7分钟限时检测1.分解因式：a3−9a=（

A.aa−3a+3B．aa22．如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2aA．0B．1C．4D．93.因式分解(1)x2y−4y；(2)a3−2a2+a；(3)ax2+2a2x+a3；(4)−a4+16；(5)3a−6ax+3ax2；(6)−4bx2+8bxy−4by2.学习评价过程性评价：观察学生在课堂师生活动中的参与度（占比60%）结果性评价：答题规范性、准确率（占比40%）布置作业基础作业：教科书P132习题17.2第2、4题；拓展作业：思考“4x²+mx+1、4x²+4x+n能否是完全平方式？试求m、n的值”，为深入理解完全平方公式做铺垫。板书设计17.2用公式法分解因式（第三课时）一、因式分解核心：提公因式法、公式法、十字相乘法（补充）二、例5、6：分解分式分解步骤：一提→二套→三查十字相乘法例题教学反思1.教学目标达成度2.教学过程合理性3.学生表现和反馈4.习题的设计科学性5.教师的基本功6.二次备课及改进方向上述内容为17.2提公因式分解因式（3）教学设计全部内容第十七章因式分解分课时教学设计学科数学（2024人教版）年级八年级学期秋季教科书书名：义务教育教科书数学八年级上册出版社：人民教育出版社出版日期：2024年6月霍林郭勒市蒙古族学校教师聂凤题第6课时综合与实践课型新授课□章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课☑其他□课标要求理解乘法公式平方差公式、完全平方公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。教材分析2024版教材第17章因式分解独立成章，内容以“概念—方法—应用”为逻辑主线，先通过整式乘法的逆运算引入因式分解概念，再系统讲解提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），配套梯度化练习与数学活动，实现从知识到能力的进阶。教材新增“阅读思考”“数学活动”板块，强化知识的现实关联与实践应用。学情分析八年级学生已掌握整式的加、减、乘、除运算，对代数式变形有初步认知，具备基础运算能力与逻辑思维能力。但因式分解作为逆向思维过程，与整式乘法的思维逻辑相反，学生易出现概念混淆、方法选择不当等问题；对含多项式公因式、符号问题的分解易出错，需强化方法指导与易错点辨析。学习目标一、知识与技能目标1.

能通过实例观察、对比，自主归纳“个位是5的两位数平方”的规律（十位数字a乘a+1，结果后接25）；利用因式分解生成密码。2.

能将“个位是5的两位数”表示为“10a+5”（a为1-9的整数），并用完全平方公式严谨证明规律的正确性；能利用因式分解生成密码，并用平方差公式严谨证明规律的正确性；。二、过程与方法目标1.

经历“实例计算→观察猜想→代数证明→应用验证”的探究过程，掌握“特殊到一般”的数学探究方法。2.

通过小组讨论、独立推导，提升合作交流能力和逻辑表达能力。三、情感态度与价值观目标1.

感受数学规律的简洁性和实用性，激发对代数推理的兴趣。2.

培养“大胆猜想、严谨求证”的数学思维习惯，增强学习数学的自信心。学习重点归纳“个位是5的两位数平方”的规律，并用规律进行快速计算。归纳“利用因式分解生成密码”的规律，并用规律进行快速计算。学习难点将具体数字抽象为“10a+5”的代数形式，用完全平方公式证明规律的普适性。将密码利用平方差公式因式分解的规律，并用规律进行快速计算。学习策略小组合作学生课前准备教师用——白板、马克笔、PPT课件（含例题/答案）；学生用——每人1份《探究任务单》、草稿本、计算器（备用，用于验证结果）教学思路实例计算→观察猜想→代数证明→应用验证活动流程活动一：引课个位数字是5的两位数平方的规律（20分钟）时间教师活动学生活动设计意图2分钟情境导入，速算挑战1.问题导入：师问：计算15²、45²，谁能最快得出结果？教师评价：步骤规范，结果准确。2.速算对比：但老师可以1秒说出75²的结果是5625，95²是9025，大家信吗？”引出主题：“为什么老师算得这么快？其实这里藏着一个关于‘个位是5的两位数平方’的规律。今天我们就通过‘计算、猜想、证明、应用’四个步骤，亲自揭开这个规律的秘密！”2名学生板演计算预设学生步骤：1.口算15²=225。2.用完全平方公式计算(10+5)²=10²+2×10×5+5²=225。同理，45²=2025学生可用计算器验证复习回顾引出主题，体会数学知识生成的连续性。环节二：实例计算，初步猜想7分钟教师发放任务单，明确任务要求教师巡视，重点关注计算有困难的学生，提醒用草稿本分步计算，确保结果准确。2.教师引导学生观察，提出问题3.教师指导学生解决问题问题：平方结果与十位数学a有什么关系？完成表格下方的猜想题。教师引导学生聚焦“拆分结果”（如将225拆成“2”和“25”，1225拆成“12”和“25”），避免偏离主题。4.学生分享，师生归纳：教师邀请2-3个小组代表发言，教师在白板上整理学生发现：师生共同总结猜想：个位是5的两位数平方，结果=“a×(a+1)”的积后面接“25”（a为十位数字）。学生计算完成《任务单》第一部分：算一算·找规律。独立用完全平方公式或竖式计算15²、25²、35²、65²、95²的结果，填入表格。学生观察后提出问题所有结果末尾的后两个数都是25，前面的数和十位数字有关系？”学生小组合作学生4人一组，小组讨论，交流发现：分享自己的计算结果和观察到的现象，讨论问题：-共同点：所有平方结果的末尾两位都是25。-关系：末尾前面的数=十位数字a×(a+1)（如15²中a=1，1×2=2；25²中a=2，2×3=6；35²中a=3，3×4=12）。程序化任务单，引导学生按步骤有序进行活动。环节三：代数证明，严谨验证8分钟教师过渡语：“刚才我们通过5个例子归纳出了规律，但‘例子’只能说明这几个数成立，怎么证明这个规律对所有个位是5的两位数都成立呢？”教师引导：1.代数抽象，突破难点：“任意一个个位是5的两位数，它的十位数字是a（1≤a≤9整数），那么这个数能表示成什么代数形式？”2.独立推导，证明规律：教师巡视指导：提醒学生注意公式结构(m+n)²=m²+2mn+n²，其中m=10a，n=5，避免漏写“2mn”项。全班校对教师板书：推导过程：(10a+5)²=(10a)²+2×10a×5+5²=100a²+100a+25=100a(a+1)+253.解读结果，验证规律：教师追问：“100a(a+1)表示什么意思？师生总结：“100a(a+1)就是‘a(a+1)的结果后面加两个0’，再加25，就相当于‘a(a+1)的结果后面接25’，这说明我们的猜想对所有个位是5的两位数都成立！”学生尝试书写，作答：十位数字是a，个位是5，这个数可以表示为（10a+5）学生推理按要求在《任务单》“第二部分：证一证·验规律”中，用完全平方公式展开(10a+5)²，写出完整推导过程。学生解释疑惑代入特殊值，解读规律比如a=3时，100×3×4=1200，再加25就是1225，和35²的结果一致。新知符合从特殊到一般的认知规律。环节四：应用规律，巩固提升（10分钟）3分钟教师设计习题基础关：个人速算（5分钟）挑战关：小组PK（5分钟）-规则：教师报数（如15、45、65、95），小组抢答。师生评价计算达人及最佳小组，赏识学生计算《任务单》第三部分：用规律，准确计算35²、55²、75²、85²，写出关键步骤（如35²：a=3，3×4=12，结果=1225）。完成后同桌互查教师随机抽查3-4名学生的结果，确保规律运用正确。学以致用课堂小结 教师强调：梳理过程，提炼方法：实例计算→观察猜想→代数证明→应用验证，这是数学中“从特殊到一般”的重要探究思路。学生回顾并分享本节课的收获，发现的规律是什么？我们是怎么探究这个规律的？-规律核心：个位是5的两位数平方，结果=十位数字a×(a+1)，后面接25学习评价

过程性评价（占比60%）

结果性评价（占比40%）-观察学生在小组讨论中的参与度（是否主动分享发现）。-检查任务单中“代数证明”部分的推导完整性（是否正确展开(10a+5)²，是否理解推导意义）。-任务单“应用环节”的答题准确率（4道题对3道及以上为达标）。-小组PK中的反应速度和答案正确性（作为小组整体评价依据）。探究性作业拓展思考（课后完成）你认为这个规律能推广到“个位是5的三位数”吗？比如计算105²，尝试用今天的方法验证，并写下你的结论。七、《探究任务单》设计个位是5的两位数平方规律探究任务单班级：________姓名：________完成时间：________一、算一算·找规律（初步猜想）

请用完全平方公式或竖式计算下列算式，填写表格：个位是5的两位数十位数字平方计算过程结果拆分|规律152535a52.

观察表格，思考并填空：-所有平方结果的末尾2位都相同，这个固定的数是________。-结果中“前面的数”与十位数字a的关系是：前面的数=________（用含a的式子表示）。-结合以上两点，你猜想的“个位是5的两位数平方规律”是：_______________________________________,填入表格。二、证一证·验规律（代数证明）1.

任意一个个位是5的两位数，都可以表示为“10a+5”（a是1-9的整数）。请用完全平方公式展开(10a+5)²，写出完整推导过程：解：(10a+5)²=2.

结合展开结果“100a(a+1)+25”，解释为什么规律成立（提示：100a(a+1)的末尾有两个0）：三、用一用·练规律（巩固应用）根据规律快速计算下列算式，写出关键步骤（先写a的值，再算a(a+1)，最后写结果）：1.

35²：a=，a(a+1)=，结果=________2.

55²：a=，a(a+1)=，结果=________3.

75²：a=，a(a+1)=，结果=________4.

85²：a=，a(a+1)=，结果=________四、拓展思考（课后完成）你认为这个规律能推广到“个位是5的三位数”吗？比如计算105²，尝试用今天的方法验证，并写下你的结论：活动流程活动二：利用因式分解生成密码（20分钟）环节教师活动学生活动设计意图2分钟情境导入，引出主题人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码:先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.学生倾听教师讲解，了解与密码有关的信息。激发兴趣环节二：实例计算，初步猜想8分钟教师发放任务单，明确任务要求教师要求完成任务单第一部分，巡视，重点关注计算有困难的学生，提醒用草稿本分步计算，确保结果准确。2.教师引导学生观察，提出问题我们可以将多项式x²y-4y因式分解。3.教师指导学生解决问题问题：多项式x²y-4y，将其分解因式为y(x+2)(x-2).若取x=15，y=12，则有y=12，x十2=17,x-2=13，其中12，17，13分别为因式码.将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317.当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码.师生归纳步骤：先提公因式，无公因数就公式法，结果要彻底。最后代数生成密码。学生计算完成《任务单》第一部分：算一算·。独立因式分解，代入数值，填入表格。学生观察后提出问题所有多项式先因式分解，再运算。学生小组合作学生4人一组，小组讨论，交流发现：分享自己的计算结果和观察到的现象，讨论问题.因式分解依据：高阶多项式因式分解。程序化任务单，引导学生按步骤有序进行活动。环节三：规则讲解8分钟公布正式密码规则编码步骤：确定明文→②字母转序号→③序号对应构建多项式（如字母序号a、b，构建ax²+bx或a²-b²等可因式分解的多项式）→④彻底因式分解（结果为整式乘积形式）→⑤因式拆分为数字序列（系数、常数按顺序排列，不含字母）→⑥数字序列即为密码。解码步骤：接收密码（数字序列）→②还原因式（按顺序组合为整式乘积）→③因式相乘还原多项式→④多项式系数/常数对应字母序号→⑤拼接得到明文。例题示范：已知多项式，当取p=10，q=5时，用上述方法生成的密码是么?已知多项式，当p，q分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗?(3)自己写一个多项式，并用上述方法生成密码.完成表格下方对应题。教师引导学生聚焦“因式分解”避免偏离主题。教师巡视点拨，强调关键：多项式必须能彻底因式分解，因式分解结果唯一（避免歧义），数字序列按因式顺序排列。3.成果展示与总结（）2.

教师总结：肯定小组合作成果，重申因式分解的“唯一性”“彻底性”是密码有效的关键，回顾提公因式法、公式法的核心要点，强调数学知识在实际生活中的应用价值。全班校对教师板书：推导过程分组任务：每组领取任务单，按角色分工完成“编码—传递—解码—验证”流程。-编码员：根据任务单指定明文（或自主设计2-4个字母明文），按规则生成密码，写在任务单对应区域。-传递员：将密码传递给本组解码员，确保数字序列准确无误（可口头传递或书面传递）。-解码员：根据密码还原明文，写在任务单对应区域。-验证员：核对编码与解码结果是否一致，若不一致，小组共同排查错误（如因式分解不彻底、数字对应错误等）。小组合作，提醒注意平方差公式（a²-b²=(a+b)(a-b)）、完全平方公式（a²±2ab+b²=(a±b)²）的正确应用，避免漏提公因式。3.

轮换角色：完成1轮后，小组内轮换角色，再进行1次编码解码（自主设计明文）。小组分享：邀请2-3组展示任务单，讲解编码解码过程，分享遇到的问题及解决方法（如“一开始因式分解不彻底，导致解码失败，后来检查发现漏提公因式”）。算理的生成过程符合从特殊到一般的认知规律。课堂小结 2分钟教师强调：梳理过程，提炼方法：编码实例因式分解→代入数值→解码生成密码→验证，这是数学中“从特殊到一般”的重要探究思路。学习评价

过程性评价（占比60%）

结果性评价（占比40%）-观察学生在小组讨论中的参与度（是否主动分享发现）。-检查任务单中“代数证明”部分的推导完整性（是否正确展开(10a+5)²，是否理解推导意义）。-任务单“应用环节”的答题准确率（4道题对3道及以上为达标）。-小组PK中的反应速度和答案正确性（作为小组整体评价依据）。探究性作业拓展思考（课后完成）你认为这个规律能推广到“个位是5的三位数”吗？比如计算105²，尝试用今天的方法验证，并写下你的结论。

拓展提问：“如果明文更长，我们可以怎样调整多项式形式？”引导学生思考更高次多项式的因式分解应用，激发后续探究兴趣。《探究任务单》设计因式分解生成密码任务单小组名称：________成员分工：编码员________传递员________解码员________验证员________任务一：指定明文编码解码1.

明文（教师指定）：________2.

多项式因式赋值转序因式码：______________________3.

构建多项式（可含x，确保能因式分解）：________________________________4.

因式分解（彻底分解为整式乘积）：________________________________5.

生成密码（因式拆分为数字序列）：________________________________6.

接收密码（传递员填写）：________________________________7.

解码过程（还原因式→多项式→字母）：

8.

解码结果（明文）：________9.

验证结果：□一致□不一致（不一致请说明错误原因：________________________________）任务二：自主设计1.

自主设计明文：________2.

字母转序号：________________________________3.

构建多项式：________________________________4.

因式分解：________________________________5.

生成密码：________________________________6.

接收密码（传递员填写）：________________________________7.

解码过程：

8.

解码结果（明文）：________9.

验证结果：□一致□不一致（不一致请说明错误原因：________________________________）小组反思1.

本次活动中，你认为因式分解的关键是什么？遇到了哪些困难，如何解决的？

2.

你还能想到其他利用因式分解设计密码的规则吗？

教师评价：________日期：________

教学反思1.教学目标达成度2.教学过程合理性3.学生表现和反馈4.数学实践课教学任务单的科学性的设计科学性5.教师的基本功6.二次备课及改进方向上述内容为数学实践课教学设计全部内容。课题第17章分解因式章末小结课型新授课□章/单元复习课☑专题复习课□习题/试卷讲评课□