专题2.1函数的概念及其表示（举一反三复习讲义）（试题版）

专题2.1函数的概念及其表示（举一反三复习讲义）【全国通用】考点要求(1)了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域

(2)会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数

(3)了解简单的分段函数，并会应用高考真题统计考点2024年2025年2026年函数的概念及其表示新课标I卷：第8题，5分上海卷（春考）：第9题，5分上海卷（秋考）：第2题，4分北京卷：第7题，4分命题规律分析1、函数的概念及其表示函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的重要内容，从近三年的高考情况来看，高考对函数的概念考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，在高考中较少单独考查。预计明年高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域为主，主要在选择题中考查，以基础题为主。考点1考点1函数的概念及其表示知识点1函数的定义域与值域1．求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2．求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.3．求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法.知识点2函数的解析式1．函数解析式的四种求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).知识点3分段函数1．分段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．【题型1\o"求函数值"\t"/gzsx/zj145205/_blank"求函数值】【例1】（2026·山西·模拟预测）已知ffx=x2A．0 B．1 C．0或1 D．2【变式1-1】（2026·重庆·三模）已知定义在R上的函数fx满足对任意的a,b∈R,fa+fb−b=ffA．−2 B．0 C．2 D．1【变式1-2】（2026·辽宁锦州·二模）fx是定义在R上的函数，满足2fx+fx2−1=1A．0 B．13 C．12 【变式1-3】（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知函数fx的定义域为R,fx+1>fx+fx−1，且当x<4A．f8>100 B．f8<100 C．【题型2具体函数的定义域】【例2】（2026·山东·一模）函数fx=7xA．0,5∪5,+∞C．0,+∞ D．【变式2-1】（2026·陕西商洛·模拟预测）函数fx=1A．{x|x>−5且x≠1} B．{x|C．{x|x≥−5}【变式2-2】（2026·上海虹口·一模）函数y=x+1x−2的定义域为【变式2-3】（2026·北京·二模）函数fx=x+1+3【题型3抽象函数、复合函数的定义域】【例3】（25-26高一下·江西九江·开学考试）已知函数y=fx的定义域为−7,5，则函数y=f3x+2的定义域是（A．−7,5 B．−3,1 C．0,5 D．−1,3【变式3-1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数f(3x−1)的定义域为[−1,3]，则函数g(x)=f(x+2)x−3的定义域为（A．[−6,3)∪(3,6] B．[−3,1] C．[−1,3) D．[−2,3)∪(3,6]【变式3-2】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数y=fx的定义域为0,4，则函数gx=A．{x∣x∈R且x≠1} B．{x∣0≤x≤2且x≠1}C．{x∣0≤x≤4且x≠1} D．{x∣0≤x≤8且x≠1}【变式3-3】（25-26高一上·安徽·期中）已知函数f(x)的定义域为(0,5)，则函数g(x)=f(x−1)+1x−2的定义域为（）A．[2,4) B．[2,6) C．(2,4) D．(2,6)【题型4函数值域的求解】【例4】（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数fx=12x的定义域为A．3,6 B．5,8C．2,3 D．4,5【变式4-1】（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数fx=1−2xA．−∞,−1 B．−∞,−12【变式4-2】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为0,+∞的是（

A．y=x+1x C．y=1x2【变式4-3】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数fx=x−2−x,x∈2,6A．−∞,−74 B．−4,−74【题型5同一函数的判断】【例5】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（

）A．fx=x−1，gx=xC．fx=x4，gx【变式5-1】（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（

）A．fB．fC．fD．f【变式5-2】（25-26高一上·广东汕头·期中）与函数y=xA．y=x4 B．y=x3x 【变式5-3】（25-26高一上·重庆·期中）下列各组函数中，fx与gm是同一个函数的是（

）A．fB．fC．fD．f【题型6求函数的解析式】【例6】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若函数f(x)是一次函数，并且满足f(g(x))=9x+1,g(x)=3x+1，则f(x)的解析式为（

）A．f(x)=3x B．f(x)=3 C．f(x)=3x−2 D．f(x)=3x+【变式6-1】（25-26高三·全国·二轮复习）已知函数f1−x=1−x2x2A．1x−12−1C．4x−12−1【变式6-2】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数fx是二次函数，满足f0=2，fA．x2+x+2 B．x2−2x+2 C．【变式6-3】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知fx+1=x+2x−1A．x2−2x≥1 B．x2−2 【题型7分段函数及其应用】【例7】（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数fx=x3−2x,A．1 B．−3 C．0 D．−1【变式7-1】（2026·云南曲靖·一模）设函数fx=xx−1,x≥02−f−xA．−∞,−1 C．−1,0∪2,+∞【变式7-2】（2026·贵州·模拟预测）已知函数f(x)=log2x，x≥2A．1 B．2 C．3 D．4【变式7-3】（25-26高一上·河南·期中）已知函数fx=fx+1,x<0A．−6 B．5 C．2 D．-3一、单选题1．（2026·江西上饶·一模）已知函数f3x+1=x+52，则A．4 B．9 C．16 D．252．（2026·广东·一模）函数fx=x−4A．4,+∞ B．C．4,5∪5,+∞3．（2026·江西上饶·二模）若函数y=1x2−1的定义域为A．−1,13 B．−∞,−1∪0,4．（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线x=a,a∈R与函数y=fx的图象的交点个数为（A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定5．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在R上函数fx满足fx1+x2=fA．1 B．16 C．128 D．2566．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数f(x)满足：当0≤x≤2时，f(x)=f(2−x)；当x<0时，f(x)=f(x+2)；且当x≥1时，fx=x+1，则f−A．−32 B．−52 C．7．（25-26高三上·浙江·阶段检测）下列函数fx和gx为同一函数的是（A．fx=x+1和gx=x+1C．fx=x2+x和g8．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，当x≠0时，有fx+x⋅f1x=0，对∀x,y∈R，都有A．0 B．1 C．2025 D．2026二、多选题9．（2026·江西·模拟预测）对于任意的x,y∈R，函数f(x)满足f(x+1)−f(x−1)=f(2)+4x−6,f(−2)=6，则下列结论正确的是（

）A．f(0)=1 B．f(2)=6C．f(2026)−f(2024)=8100 D．f(6)=3610．（2026·新疆喀什·模拟预测）已知函数f(x)=2x2A．f(x)+f(−x)=0 B．f(x)≤2C．f(x)+f(1x)=211．（2026·广东江门·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，fx+98≤fx+100，fA．101 B．102C．103 D．104三、填空题12．（2026·上海·三模）函数fx=2x−313．（2026·河北唐山·一模）已知f(x)=x|x−2|，若f(x)=3，则x=__________.14．（2026·重庆·一模）若函数fx满足:对任意的x>0，都有fx+2=fx+1四、解答题15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知fx+f1−1x16．（25-26高三·全国·一轮复习）求函数y=x17