专题1.3不等式的性质及一元二次不等式（9类必考点分类集训）（教师版）

专题1.3不等式的性质及一元二次不等式TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：利用不等式的性质比较大小】 4【考点2：利用不等式的性质求值或取值范围】 4【考点3：解一元二次不等式（不含参）】 4【考点4：解一元二次不等式（含参）】 4【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 4【考点6：一元二次不等式的应用】 4【考点7：其他不等式】 4【考点8：利用基本不等式求最值或范围】 4【考点9：基本不等式的应用】 4【考点1：利用不等式的性质比较大小】1．（25-26高一上·江苏·期中）已知，，，则与的大小关系为_________.【答案】【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可.【详解】由，，则，则，又，则.故答案为：2．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______【答案】【分析】利用作差法比较大小即可.【详解】因为，所以.故答案为：3．（2026高三·全国·专题练习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接）【答案】【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断；【详解】方法一（作商法）：因为，所以，所以．方法二（作差法）：，即．故答案为：4．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）若x为任意实数，____；____（用“＞”或“＜”填空）【答案】>>【分析】利用作差法得到结论.【详解】，∴，，∴，故答案为：>，>.5．（25-26高三上·全国·一轮复习）若，，则与的大小关系为______.（用“”连接）【答案】【分析】利用作商法以及基本不等式可得出两个对数式的大小关系.【详解】，因为，，则，，所以.故答案为：.【考点2：利用不等式的性质求值或取值范围】1．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则的取值范围是________．【答案】【详解】因为函数在上单调递减，由得，，解得.所以的取值范围是.2．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________【答案】【分析】先根据的范围求出的范围，再与的范围相加，从而得到的取值范围.【详解】因为，所以，又因为，所以，即的取值范围为．故答案为：3．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______【答案】【分析】利用不等式待定系数配凑求解【详解】设展开得对比系数列方程得，解得所以因为，所以，即，两不等式相加得，即9．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）记表示中最大的数，已知，则的最小值为______.【答案】【分析】由题得中一个为正，两个为负，不妨设，利用基本不等式即可求解.【详解】由，所以中一个为正，两个为负，不妨设，所以，又，当且仅当即时等号成立，所以，所以，所以，所以的最小值为.10．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知，，且，则的值为____________．【答案】【分析】利用的范围，以及条件，可得到的值，利用取等情况可得答案.【详解】由已知条件，，，可得：当时，取到最大值，；当时，取到最小值为，.因此，而题设给出，故必有，当且仅当或时成立.当时，，，，；当时，，，，.因此，的值为.【考点3：解一元二次不等式（不含参）】1．（25-26高一上·广西河池·期中）求函数的解集__________.【答案】【详解】对原不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得到.因式分解得，因此原不等式等价于.令，解得两根为和.由于二次函数的二次项系数为正，图象开口向上，

因此解集为.2．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________【答案】【详解】要使函数有意义，需使，即，所以，即或.故函数的定义域是.3．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）若，，则_____________.【答案】【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再根据交集的定义计算与的交集.【详解】首先求解集合：对不等式因式分解得，解得，即.已知，所以.4．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）若集合，则__________.【答案】【详解】由可得，解得，所以，所以.5．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________.【答案】【分析】根据函数的单调性解不等式即可.【详解】因为，在上均为减函数，所以在上为减函数.所以不等式等价于，整理得，解得或.故该不等式的解集为.【考点4：解一元二次不等式（含参）】1．（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______.【答案】【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出．【详解】关于的不等式可化为，当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得；当时，不等式化为，此时无解；当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则，此时解集中无正整数解；综上，实数的取值范围为．故答案为：2．（2026高一·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________．【答案】【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果．【详解】由，得，得或，所以的解集为，由，得，当，即时，得，所以的解集为，此解集中不含，不符合题意；当，即时，化为，所以的解集为空集，不符合题意；当，即时，得，所以的解集为，因为不等式组的解集中所含整数解只有，结合数轴分析可知，得．3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围是_____．【答案】【分析】由题意可得集合以及两集合之间的包含关系，分情况讨论的解集，建立不等式得解．【详解】由可得，又，，当时，，由可得或，所以；当时，，满足；当时，，由可得或，所以；综上，实数的取值范围是．4．（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________【答案】【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】因为关于的不等式的解集是，所以有，所以，或，所以原不等式的解集为.故答案为：5．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知关于的不等式．(1)若不等式的解集为，求a，b的值；(2)若，求已知关于的不等式的解集．【答案】(1)，(2)当时解集为；当时解集为；当时解集为；当时解集为；当时解集为【分析】(1)等价转化为和是方程的两个实根，从而求解a，b的值；(2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数a的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论.【详解】（1）因为不等式的解集为，所以，且和是方程的两个实根，可得，，解得，；（2）当，不等式为，即①当时，不等式化为，解得，解集为；②当时，若，则，不等式解集为；若，则，不等式为，解集为；若，则，不等式解集为；③当时，不等式化为解得或，解集为.综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.【考点5：一元二次不等式恒成立问题】1．（25-26高二下·吉林长春·期中）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】原命题的否命题：“，”为真命题，结合不等式恒成立求解即可.【详解】命题：“，”为假命题，即命题：“，”为真命题．①当时，恒成立，符合题意；②当时，则，结合.综上，．2．（25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围.【详解】由，使得为假命题，则，都有为真命题，当，则，满足，当，则，满足，综上，.3．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可.【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，结合得，；当时，，恒成立，满足条件；当时，在上单调递减，所以，解得，所以只需考虑的情况，的对称轴为，若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件；若，即时，在上单调递减，，解得，所以满足条件；综上所述，a的取值范围是.4．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________．【答案】【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意；当时，对任意恒成立，需满足：，解得，综上可得．5．（2026高一·全国·专题练习）已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【详解】∵对任意的，恒成立，∴当时，.∵二次函数，∴函数的图象开口向上，对称轴为直线，分以下三种情况讨论：（i）当，即时，函数在区间上单调递增，∴，∴，即，解得或，∵，∴.（ii）当，即时，函数在区间上单调递减，在上单调递增，∴，∴，即，∵二次项系数大于0且，∴不等式无解.（iii）当，即时，函数在区间上单调递减，∴，∴，即，解得：或，∵，∴.综上可知，实数的取值范围为.【考点6：一元二次不等式的应用】1．（2026高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元.【答案】【详解】设每件定价为元，依题意得，整理得，解得：．所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元．2．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．【答案】(1)，定义域为(2)【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域.（2）列出关于的不等式，计算得解.【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元，销售量增加成后售出商品的数量为件，则．因为售价不能低于成本价，所以．所以，定义域为．（2）由题意得，化简得，解得，所以的取值范围是．3．（25-26高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求：(1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？(2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？【答案】(1)(2)【详解】（1）由题可知平均成本；要使平均成本不超过售价50元则有；∵，所以两边同乘以得；化简得，解得；∵，∴至少生产2件产品.（2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润，即，要使利润不低于100元，则有；解得不等式的解集为，∴至少需要生产件产品.4．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）有和两道谜语，甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金10元；甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．(1)若，且甲先猜谜语，求甲得10元奖金的概率；(2)如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金．【答案】(1)(2)当时，，采用“先猜B谜语，后猜A谜语”方式得到的奖金更多；当时，，两种方式得到的奖金一样多；当时，，采用“先猜A谜语，后猜B谜语”方式得到的奖金更多．【分析】（1）分析得10元奖金的猜谜情况，可得其相应的概率；（2）分别求出先猜谜A和先猜谜B，所得到的奖金的期望值，再根据期望作决策；【详解】（1）当，甲得10元奖金，即甲猜对A谜语，没有猜对B谜语，所以甲得10元奖金的概率为.（2）记甲“先猜A谜语，后猜B谜语”所得奖金为，则可取0，10，30，P(X=0)=1−p;P(X=10)=p．所以的期望E(X)=0×(1−p)+10×2记甲“先猜B谜语，后猜A谜语”所得奖金为，则可取0，20，30，P(Y=0)=1−P(Y=20)=P(Y=30)=2所以的期望E(Y)=0×1+2p故E(X)−E(Y)==−=−当时，，采用“先猜B谜语，后猜A谜语”方式得到的奖金更多；当时，，两种方式得到的奖金一样多；当时，，采用“先猜A谜语，后猜B谜语”方式得到的奖金更多．5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为(1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？(2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？【答案】(1)第年(2)第年【分析】（1）解不等式，结合，得出的值，可得结论；（2）利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件可得出的值，即可得出结论.【详解】（1）令，整理可得，解得，因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元.（2）该新能源汽车的年平均利润为，当且仅当时，即当时，等号成立，故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大.【考点7：其他不等式】1．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，由可得，解得，即，故.故选：C.2．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得.【详解】，故，解得或，故该不等式的解集为.3．（25-26高二下·河北保定·期中）设p：，q：，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由可得，解得；由可得，解得；因为是集合的真子集，所以命题是命题的必要不充分条件.4．（多选）（2026·江西宜春·模拟预测）（多选）若，则的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】通过解分式不等式，根据指数函数，对数函数以及三角函数性质逐项分析即可.【详解】由，解得：或，对于A，因为，所以，由，故A正确；对于B，由，故B错误；对于C，由，故C正确；对于D，由，故D正确．5．（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合，集合，则__________．【答案】【分析】利用分段讨论的方法将集合中方程的绝对值符号去掉，通过解方程得到集合，通过解分式不等式及高次不等式得到集合，再根据交集的定义计算即可得解.【详解】当时，，令，解得，与矛盾，故方程无解；当时，，等式恒成立，所以都是方程的解；当时，，令，解得，与矛盾，故方程无解，所以.因为等价于，即，用穿根法可得不等式组的解为或，所以.因为，，所以.【考点8：利用基本不等式求最值或范围】1．（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围.【详解】∵，，当且仅当，即，时等号成立.的取值范围是.2．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值.【详解】因为，，且，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，即，得，因为，所以.由代入，解得，因此当，的最小值为.3．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________【答案】2【详解】因为，所以.，当且仅当时等号成立.4．（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________．【答案】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为，则，所以，当且仅当时，即当时，等号成立.故当时，的最小值为.5．（25-26高一下·上海·期中）已知，则的最小值为________.【答案】【详解】，.由于，，则，当且仅当时取等号.【考点9：基本不等式的应用】1．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元．【答案】【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】，等号成立时，故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元.故答案为：；2．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.

【答案】【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长.【详解】设，，则，所以，所以，，即，解得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元.故答案为：.3．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长.(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围.【答案】(1)10米(2)【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度；（2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围.【详解】（1）设甲工程队的总报价为元，依题意，左、右两面墙的长度均为（）米，则长方体前面新建墙体的长度为米，所以，即，当且仅当，即时，等号成立.故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元.（2）由题意可知，，即对任意的恒成立，所以，可得，即.，当且仅当，即时，取最小值36.所以，即的取值范围是.4．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为xm（）．(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低(2)【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解；（2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案.【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（），则屋子前面新建墙体长为，所以即，当且仅当，即时，等号成立，故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；（2）由题意可知，当对任意的恒成立，即，所以，即，因为，当且仅当，，即时，的最小值为12，即，所以的取值范围是.5．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(InternetofThings，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元．(1)求出与的解析式．(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少?【答案】(1)，.(2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元.【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案；（2）利用基本不等式即可求出答案.【详解】（1）由题意设，，其中，当时，，解得，，解得，所以，.（2）由（1）知，当且仅当，即时，等号成立，所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元.一、单选题1．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，得，又，所以；因为得，所以，则.故选项C正确.2．（2026·湖南长沙·三模）已知，且，则下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】选项A，因为，所以，所以成立.选项B，若，则不成立.选项C，因为，并且(，等号取不到)，所以，因此，成立.选项D，，等号在时成立，但是，所以等号无法取到，因此.3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C．或 D．【答案】C【详解】因关于的不等式的解集为，则，即，则，即，所以，解得或．4．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值.【详解】因为，，且，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，即，得，因为，所以.由代入，解得，因此当，的最小值为.5．（25-26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（

）A．3 B． C．9 D．18【答案】B【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到与的关系式，再用基本不等式求最小值.【详解】由换底公式可得，原式化为，所以，因为，由基本不等式得，当且仅当，即时，取等号成立.所以的最小值是.6．（2026·湖南长沙·三模）设数列{}的前n项和为且则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，所以，所以，所以，根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增，又当时，，当时，，又，所以的最小值为.二、多选题7．（2026·安徽芜湖·模拟预测）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】应用特殊值法判断A，由基本不等式判断B、C，应用柯西不等式判断D.【详解】由时，满足，此时，A错，由，有，当且仅当时取等号，B对，由，当且仅当时取等号，C对，由，则，当且仅当，即时取等号，D对.8．（2026高三·全国·专题练习）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（

）A．有最大值 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值【答案】ABC【分析】结合已知条件，利用基本不等式及其变形逐一判断各选项即可.【详解】对于A，由基