广西壮族自治区南宁市2025~2026学年高一下册期末学业评估数学试卷【附解析】

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数的共轭复数为，且，则（）A.1 B. C.2 D.42.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.3.某高中高一、高二、高三年级学生人数分别为550，550，500，为了解各年级学生每天体育活动的时间，通过分层随机抽样的方法抽取容量为64的样本，其中高二学生比高三学生多（）A.2人 B.4人 C.6人 D.8人4.小冉同学近9次考试的数学成绩如下:72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（）A.81.5 B.80 C.84 D.835.如图，三棱锥中，为等腰直角三角形，斜边为的中点，则直线所成角的余弦值为（）A. B. C. D.6.如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则（）A.3 B.4 C. D.57.已知且，则在方向上的投影向量的坐标是（）A. B. C. D.8.由正弦二倍角公式，我们发现一个有趣事实.同理，由此请计算（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知复数，的共轭复数为，复数在复平面中对应的点为M，则下列说法正确的是（）A.M在第一象限 B. C. D.10.下列说法正确的是（）A.在中，已知，，，则B.向量，，则C.向量，可以作为平面向量的一组基底D.已知点，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为11.已知圆锥的底面圆的面积为，母线为，是底面圆的直径，点是底面圆上的动点（不与，重合），则（）A.圆锥的表面积为B.直线与所成角为C.圆锥外接球的表面积为D.当三棱锥体积取到最大值时，若为线段上的动点，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知指数函数且经过点，则________13.若，，，的方差为2，则，，，的方差为_____________.14.如图，在等边三角形中，，点，是边上的两动点，满足，记，则的最小值为______：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设，，，求：（1）的值域，最小正周期；（2）的对称轴、对称中心；16.如图，直三棱柱的体积为6，是的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.17.某市组织数学建模大赛，从参加比赛的800名学生中随机抽取100名学生的成绩进行样本分析（满分为150分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中.（1）求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据成绩，准备给成绩较高的15%的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分；（3）估计本次数学建模大赛成绩的平均分.18.在中，角的对边分别为，已知．（1）求的值；（2）若，解答下列问题：①当的面积为时，求AC边上的中线长；②若点D在边上，且平分，求的取值范围．19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点.（1）求证：平面平面；（2）试作出二面角，并求二面角的正切值；（3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分）

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数的共轭复数为，且，则（）A.1 B. C.2 D.4答案：C解析：解答过程：，，.2.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据集合的并集和补集运算，即可求解.解答过程：由题意，，又集合，，所以，所以.3.某高中高一、高二、高三年级学生人数分别为550，550，500，为了解各年级学生每天体育活动的时间，通过分层随机抽样的方法抽取容量为64的样本，其中高二学生比高三学生多（）A.2人 B.4人 C.6人 D.8人答案：A解析：解答过程：三个年级的总人数.根据分层随机抽样的定义，抽样比，则高二年级抽取人数为；高三年级抽取人数为.因此高二抽取的学生比高三多的人数为人.

4.小冉同学近9次考试的数学成绩如下:72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（）A.81.5 B.80 C.84 D.83答案：D解析：思路：应用百分位数的定义求数据的第40百分位数.解答过程：数学成绩从小到大为，所以，故数据的第40百分位数是第四个数，为.故选：D5.如图，三棱锥中，为等腰直角三角形，斜边为的中点，则直线所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据线线平行可得或其补角为所求角，即可利用三角形的边角关系，结合余弦定理求解即可.解答过程：如图，取的中点N，连接，易得，则所成的角即为直线所成的角．由为等腰直角三角形，斜边，得，所以均为正三角形，则，在中，由余弦定理，得，所以直线所成角的余弦值为，故选:A．6.如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则（）A.3 B.4 C. D.5答案：B解析：思路：用两种方式表示点的位置，然后利用向量基，底不共线，对应系数相等，得到.解答过程：依题意，,所以，所以，又因为，设，所以，即，因为，不共线，所以，所以，所以.7.已知且，则在方向上的投影向量的坐标是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由向量垂直的坐标表示列方程求参数，再应用投影向量的定义求解.解答过程：由，则，可得，故，所以在方向上的投影向量的坐标是.故选：B8.由正弦二倍角公式，我们发现一个有趣事实.同理，由此请计算（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：应用诱导公式化目标式为，结合已知及诱导公式化简求值.解答过程：由，，原式可化为，由，故.故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知复数，的共轭复数为，复数在复平面中对应的点为M，则下列说法正确的是（）A.M在第一象限 B. C. D.答案：AD解析：思路：根据已知复数，写出对应点坐标和共轭复数，再应用复数加法、乘法等运算依次判断各项的正误.解答过程：由，对应点为在第一象限，且，所以，，，所以A、D对，B、C错.故选：AD10.下列说法正确的是（）A.在中，已知，，，则B.向量，，则C.向量，可以作为平面向量的一组基底D.已知点，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为答案：AC解析：思路：对于A，应用正弦定理求解即可；对于B，，再计算模长即可判断；对于C，判断是否共线即可；对于D，设，分和求解即可．解答过程：对于A，，，，由正弦定理得，即，解得，故A正确；对于B，，则，故B错误；对于C，，不共线，即向量，可以作为平面向量的一组基底，故C正确；对于D，点P是线段的三等分点，设，①，即，解得，；②，即，解得，；则点P的坐标不可能为，故D错误．故选：AC．11.已知圆锥的底面圆的面积为，母线为，是底面圆的直径，点是底面圆上的动点（不与，重合），则（）A.圆锥的表面积为B.直线与所成角为C.圆锥外接球的表面积为D.当三棱锥体积取到最大值时，若为线段上的动点，则的最小值为答案：ACD解析：思路：利用表面积公式可判断A，利用异面直线所成角可判断B，利用勾股定理求出球的半径可判断C，利用展开图结合余弦定理可判断D.解答过程：对于A，因为圆锥的底面圆的面积为，所以，且，其表面积为，A正确；对于B，取的中点，取的中点，连接，所以，所以直线与所成角为所以，所以不是等边三角形，所以，B不正确；对于C，设外接球的球心为，半径为，，因为圆锥的外接球球心在高上，所以,因为，所以,解得，所以圆锥SO外接球的表面积为，C正确；对于D，三棱锥的底面积最大为，所以三棱锥体积的最大值为，当且仅当时体积最大，所以，把绕边旋转，使其与共面，如图，连接，交于点，此时取得最小值，在中，,所以，所以,由余弦定理，所以的最小值为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知指数函数且经过点，则________答案：解析：思路：由指数函数过点求参数值，再应用对数运算求值即可.解答过程：由题设且，，可得，所以.故答案为：13.若，，，的方差为2，则，，，的方差为_____________.答案：18解析：思路：法一：利用方差公式求解即可，法二：利用方差的定义直接求解.解答过程：方法一：因为，，，的方差为2所以，，，的方差为；方法二：设，，，的平均数为，则，显然，，，的平均数为：，所以它们的方差为,故答案为：18.14.如图，在等边三角形中，，点，是边上的两动点，满足，记，则的最小值为______：答案：##解析：思路：和中，利用正弦定理表示，即可得到，并利用三角函数表示，利用换元，结合基本不等式，即可求解最值.解答过程：在中，，，在中，，，，令，由已知，则，，当且仅当，即时取等号.的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设，，，求：（1）的值域，最小正周期；（2）的对称轴、对称中心；答案：（1）的值域为，最小正周期为；（2）对称轴为，对称中心为.解析：思路：（1）根据平面向量数量积的坐标表示，利用辅助角公式整理可得正弦型函数，根据正弦函数性质计算求解；（2）根据正弦函数性质计算求解即可.（1）由，则，易知，最小正周期，（2）由（1）可得，令，，解得，；令，，解得，.所以函数的对称轴为直线；对称中心为.16.如图，直三棱柱的体积为6，是的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.答案：（1）连接，交于点，连接，则为的中点，因为是的中点，所以，又因为面，面，所以平面.（2）1解析：思路：（1）应用中位线得出，再运用线面平行的判定定理证明；（2）利用等体积法再结合柱体体积求解.（1）略（2）由题可得面，所以.17.某市组织数学建模大赛，从参加比赛的800名学生中随机抽取100名学生的成绩进行样本分析（满分为150分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中.（1）求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据成绩，准备给成绩较高的15%的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分；（3）估计本次数学建模大赛成绩的平均分.答案：（1），众数为（2）138分.（3）分.解析：思路：（1）由概率之和为以及即可求解，由频率分布直方图的众数计算方法计算即可；（2）先分析一等奖所在区间，根据题意建立方程求解即可；（3）由平均数的计算公式计算即可.（1）依题意可知，，又，解得，

由图可知样本数据的众数落在区间内，所以估计样本数据的众数为125．（2）由（1）可知，即成绩落在中的频率为，成绩落在中的频率为0.25，则获得一等奖学生的最低分应落在中．

设获得一等奖学生的最低分为x，则有，解得，即估计获得一等奖学生的最低分约为138分．（3）设本次数学建模大赛成绩的平均分为，分.18.在中，角的对边分别为，已知．（1）求的值；（2）若，解答下列问题：①当的面积为时，求AC边上的中线长；②若点D在边上，且平分，求的取值范围．答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可求解；（2）①由三角形面积公式及余弦定理得出和，再根据平面向量数量积的运算律即可求解；②由角平分线得出，，由余弦定理得，再由基本不等式即可求解．（1）根据已知，由正弦定理得，因为，所以，由得，故．（2）①由（1）知，则，由面积得，即，又由余弦定理，代入，得，设的中点为，则，，故中线长为．②由角平分线得，又，得，，则，由余弦定理，即，所以，，由（当且仅当时取等号），得：所以，又为三角形边长，则，故综上所述，的取值范围为．19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点.（1）求证：平面平面；（2）试作出二面角，并求二面角的正切值；（3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分）答案：（1），，则，；又，，、平面，平面，平面，平面平面；（2）（3）解析：思路：（1）结合勾股定理，利用线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直；（2）结合直角三角形边长可确定为等边三角形，取中点可得底面，再过点作于点，结合线线垂直可证线面垂直，进而可得二面角的平面角，进而确定二面角正切值；（3）（法一）作平面，可得，，共线，再在平面作交于点，可得平面，设线交线于点，则，进而可证平面，即可得，易知，因为，所以与平面所成的最大角的正弦值为；（法二）过点作交