湖北某地区2025~2026学年高一下册期末质量监测数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试用时120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，10，5，6，4，2，则这组数据的平均数和极差分别为（）A.5，8 B.6，8 C.5，7 D.6，72.在中，，，，则（）A.30° B.45° C.60° D.75°3.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，且m，，则B.若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C.若，，则D.若，，则4.如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（）A.13 B.34 C.20 D.255.已知圆台上下底面半径分别为1，2，圆台的母线与底面所成的角为60°，则圆台的侧面积为（）A. B. C. D.6.如图，在棱长为1的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（）A. B. C. D.7.设、、、是同一个半径为5的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为16，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.8.在中，，，所对的边分别为，，，已知且，若面积为2，则（）A.2 B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9.已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（）A.最大值为2 B.的图象关于对称C.函数为偶函数 D.函数在上单调递增10.一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（）A.去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于B.去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于C.去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于D.去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于11.已知三棱锥，为在底面的射影，下列说法正确的是（）A.若三条侧棱，，与底面所成角均相等，则为的外心B.若，，，垂足为，则为的垂心C.若，则为的内心D.若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.我市某所高中，其中一、二、三年级的人数比为，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则应抽取一年级的人数为__________．13.在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为__________．14.设正方体的棱长为2，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为__________．四、本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演绎步骤．15.复数的共轭复数为，为虚数单位．（1）若是关于的实系数一元二次方程的一根，求实数，的值；（2）若，求复数．16.单位向量，满足．（1）求与夹角的余弦值；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．17.为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市高中举办了“青春筑国防”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数分成六组：，…，，并作出如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值；（2）求样本数据的第50百分位数；（3）已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差．参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，和，，，记总体的样本平均数为，样本方差为，则18.在中，内角，，的对边分别为，，，且，．（1）求角和；（2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且．①若，求的周长；②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？19.如图，在底面为菱形的直四棱柱中，M、N是直四棱柱上底面内相异的两点且．（1）若M为上底面的中心且，求异面直线与所成角的余弦值；（2）恰好是二面角的平面角，证明：点M在定直线上；（3）在（2）的条件下若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．

数学满分150分，考试用时120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，10，5，6，4，2，则这组数据的平均数和极差分别为（）A.5，8 B.6，8 C.5，7 D.6，7答案：A解析：解答过程：这6个数据的平均数为；这6个数据的最大值为10，最小值为2，所以这组数据的极差为.2.在中，，，，则（）A.30° B.45° C.60° D.75°答案：D解析：思路：根据正弦定理求解即可.解答过程：因为，所以，又因为，所以，所以，所以.3.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，且m，，则B.若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C.若，，则D.若，，则答案：D解析：思路：由线面，面面关系判断各选项即可.解答过程：对于A，注意到当m，n平行时，直线l不垂直于平面，故A错误；对于B，当这三点有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧时，平面与平面不平行，故B错误；对于C，若，则直线不平行于平面，故C错误；对于D，因，则在平面内的任意直线均与直线n垂直，又，则在平面内的任意直线均与直线m垂直，由直线与平面垂直定义可知，故D正确.故选：D4.如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（）A.13 B.34 C.20 D.25答案：B解析：思路：根据为边的中点，得，从而，分别求和的值，代入即可.解答过程：因为为边的中点，根据向量的平行四边形法则可知，，所以.取边中点，连接，则，所以.所以.同理可得，50.所以.5.已知圆台上下底面半径分别为1，2，圆台的母线与底面所成的角为60°，则圆台的侧面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设上下底面圆半径分别为和，母线为.因为，所以，所以.所以.6.如图，在棱长为1的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：连接MD，取其中点Q，连接，由得到是直线AM和CN的夹角或补角，接着在中由余弦定理求出即可求解.解答过程：连接MD，取其中点Q，连接，由题意可得，，且，所以是直线AM和CN的夹角或补角，，所以.所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为.故选：C7.设、、、是同一个半径为5的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为16，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求得外接圆半径，进而可得球心到平面的距离，结合球的性质可知三棱锥的高的最大值，即可得结果．解答过程：不妨设，设，则，所以，设的外接圆的圆心为，半径为，则，则球心到平面的距离，当、、共线且在线段上时，三棱锥的高最大为，此时三棱锥的体积也最大，最大值为.8.在中，，，所对的边分别为，，，已知且，若面积为2，则（）A.2 B. C. D.答案：C解析：思路：由，结合三角变换和正弦定理，可求边，再结合三角形的面积公式和余弦定理，可求，再利用二倍角公式，可求.解答过程：因为.所以所以所以.由正弦定理可得：，又，所以.因为面积为2，所以，.①由余弦定理可得：,所以：②①②可得：，即.所以.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9.已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（）A.最大值为2 B.的图象关于对称C.函数为偶函数 D.函数在上单调递增答案：ACD解析：思路：先求出的解析式，结合三角函数的性质逐一判断即可.解答过程：因为，利用伸缩变换得到，再逐项判断：则的最大值为2，故A正确；因为，所以的图象不关于对称，故B错误；因为所以函数为偶函数，故C正确；因为，所以，又因为在上单调递增，所以在上单调递增，故D正确.10.一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（）A.去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于B.去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于C.去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于D.去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于答案：ACD解析：思路：AC选项，可举出实例；B选项，由方差的意义可得；D选项，当平均数和中位数相等时，掉样本数据中的中位数后，其方差为，D错误.解答过程：对于

A，设这5个互不相等的数据为，则它们的平均数为，去掉最大值和最小值后，新数据为，其平均数为，一般情况下，例如数据，其平均数为，去掉1和10后，新数据的平均数为，不相等，故A选项错误；对于B，方差反映数据的离散程度，原数据中最大值和最小值会使数据的离散程度较大，去掉最大值和最小值后，数据相对更加集中，根据方差的意义，新数据的方差会小于原方差，故B选项正确；对于C，去掉最小值后，新数据的方差不一定小于原方差，故C选项错误，下面举出例子，设这5个互不相等的数据为0,0.1,0.2,0.3,4，则它们的平均数为，方差为，去掉最小值0后，新数据为0.1,0.2,0.3,4，其平均数为，其方差为，，C错误；对于

D，设这5个互不相等的数据为，则它们的平均数为，方差为，中位数是将数据排序后位于中间位置的数，当去掉中位数后，剩下的4个数其平均数为，所以当时，其方差为，其方差会大于原方差，故D错误.故选：ACD11.已知三棱锥，为在底面的射影，下列说法正确的是（）A.若三条侧棱，，与底面所成角均相等，则为的外心B.若，，，垂足为，则为的垂心C.若，则为的内心D.若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直答案：ABD解析：思路：对A，利用线面角相等结合直角三角形全等推导出，依据外心定义判定是外心；对B，先由三条侧棱两两垂直证侧棱垂直底面一边，再结合射影垂直推出底面三条高线交于，依据垂心定义判定是垂心；对C，由侧棱相等结合直角三角形全等得，应为外心而非内心，直接判定错误；对D，取各棱中点构造平行四边形，由对角线相等推出邻边垂直，进而反证三组对棱互相垂直.解答过程：因为为在底面的射影，所以平面，所以与底面所成的角为，与底面所成的角为，与底面所成的角为，因为平面，平面，所以，，，所以都是直角三角形，对于A，由已知可得，，，所以，所以，同理可证，所以，所以为的外心，A正确；对于B，因为，，，平面，所以平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，同理可证，，所以为的垂心，B正确；对于C，因为都是直角三角形，又，，所以，所以，同理可证，所以，所以为的外心，C错误；对于D，设棱的中点分别为，则，，，，所以，，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，所以，因为点为的中点，点为的中点，所以，又，所以，同理可证，，所以三棱锥三组相对的棱互相垂直，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.我市某所高中，其中一、二、三年级的人数比为，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则应抽取一年级的人数为__________．答案：150解析：思路：利用分层抽样的抽样比计算求解.解答过程：由题意可得应抽取一年级的人数为.13.在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为__________．答案：解析：思路：由三角恒等变换求出，再由余弦定理及三角形面积公式求解.解答过程：由，即，，故.根据余弦定理：，即.当时等号成立，故.14.设正方体的棱长为2，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为__________．答案：解析：解答过程：因为与平面成的角，故在以为对称轴且轴截面顶角的一半为的圆锥面上（除去），而在正方体表面上且由正方体的性质有，故的轨迹为线段和个圆（），故点轨迹的长度为.四、本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演绎步骤．15.复数的共轭复数为，为虚数单位．（1）若是关于的实系数一元二次方程的一根，求实数，的值；（2）若，求复数．答案：（1）（2）解析：思路：（1）法一：利用韦达定理求解即可；法二：将代入求解即可；（2）设，求得，代入求解即可.（1）法一：由已知有方程的两根为由根与系数的关系得解得.法二：由已知有，，由复数的相等得，解得.（2）设，则，所以，由复数的相等有，所以，故，所以或（舍去）所以.16.单位向量，满足．（1）求与夹角的余弦值；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量数量积的运算法则求得，再由模长与数量积求得与夹角的余弦值；（2）由题意得且与不共线，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.（1）（1）因为，，所以，即，则，所以，即与夹角的余弦值为.（2）（2）因为与的夹角为锐角，所以且与不共线，当与共线时，有，即，由（1）知与不共线，所以，解得，所以当与不共线时，，由，得，即，解得，所以且，即实数的取值范围为.17.为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市高中举办了“青春筑国防”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数分成六组：，…，，并作出如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值；（2）求样本数据的第50百分位数；（3）已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差．参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，和，，，记总体的样本平均数为，样本方差为，则答案：（1）（2）75（3）3解析：思路：（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得的值；（2）先计算各组的频率，判断第50百分位数所在的组，然后根据第50百分位数前的频率为0.5计算.（3）先计算样本数据在区间和区间上的个数，再计算总体样本平均数为，代入样本方差计算公式求解.（1）根据频率分布直方图的性质，可得，解得.（2）由频率分布直方图得，前3组数的频率为，前4组数的频率为，因此第50百分位数在第4组即区间上，设第50百分位数为m，则满足，解得.（3）样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为，所以两组数据的总平均数，又由，解得．18.在中，内角，，的对边分别为，，，且，．（1）求角和；（2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且．①若，求的周长；②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？答案：（1），（2）①；②当，的面积取最小值解析：思路：（1）先用正弦定理把边化为角，求出，得到角，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简后利用特殊角即可求出角；（2）①先利用第一问结论确定三边长度，在中用余弦定理判定出直角关系，再借助，求出三边长度，从而得到周长；②设，分别在两个三角形里用正弦定理表示出，代入面积公式化简为关于的三角函数，利用正弦函数的最值条件即可求出面积的最小值.（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，则，又，所以；因为，由余弦定理可得,即，由正弦定理可得，所以，则，所以，即，即，即，又，所以，所以，则.（2）①由（1）可知，因为，由正弦定理，即，所以，，在中，由余弦定理可得，则，因为，所以，因为，所以，，所以的周长为.②设，在中，，由正弦定理，得，又在中，由正弦定理可得，得，所以，因为，所以，所以当且仅当，即时，的面积取到最小值为.19.