2026年广东省苏教版高二数学第6章函数性质习题集

2026年广东省苏教版高二数学第6章函数性质习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x+1，若f(a)=0且a≠1，则f(1-a)的值为（）A.0B.2C.-2D.3解析：由f(a)=a³-3a+1=0可得a³-3a=-1，代入f(1-a)得f(1-a)=(1-a)³-3(1-a)+1=1-3a+3a²-a³-3+3a+1=3a²-a³-1=a³-3a=0，故选A。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)={x+3,x≤-2,3,-2<x<1,-x+1,x≥1}，在x=-2时取最小值3，故选C。3.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π对称，且周期为π，则φ的可能取值为（）A.kπ+π/2B.kπ-π/2C.kπD.kπ+π/4解析：周期为π可得ω=2，对称轴x=π满足2π+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ-3π/2，故选B。4.函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1,3]上的最小值是a²-1，则实数a的取值范围是（）A.a≤1B.a≥3C.a≤1或a≥3D.1<a<3解析：对称轴x=a，分a<1(a=1时最小值为2)a=1(最小值为2)a>3三种情况讨论，解得a≤1或a≥3，故选C。5.函数f(x)=e^x-x在R上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f'(x)=e^x-1，当x<0时f'(x)<0，当x>0时f'(x)>0，故f(x)在(-∞,0)单调递减，(0,+∞)单调递增，故选D。6.函数f(x)=log₃(2x-1)与g(x)=|x-1|在区间[1,2]上的图像交点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：联立方程log₃(2x-1)=|x-1|，当x≥1时log₃(2x-1)=x-1，解得x=2；当x<1时log₃(2x-1)=1-x，无解，故交点个数为1，故选B。7.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.-3C.2D.-2解析：f'(x)=3x²-a，由f'(1)=0可得3-a=0，解得a=3，验证f''(1)=6>0为极小值，故选A。8.函数f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)的最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：f(x)=1/2(1-cos2x)+1/2(1+cos(2x-2π/3))=3/2-1/2cos(2x-2π/3)，周期为2π/2=π，故选B。9.函数f(x)=|x+1|-|x-1|的图像关于（）对称A.x轴B.y轴C.直线x=0D.直线x=1解析：f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x)，为奇函数，图像关于原点对称，故选C。10.若函数f(x)=x²+px+q在x=-1处取得极大值，且f(0)=1，则f(1)的值为（）A.1B.3C.5D.7解析：由f(-1)=0可得1-p+q=0，由f(0)=1可得q=1，解得p=2，f(x)=(x+1)²，f(1)=4，故选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=2cos(2x+π/3)+1的图像向右平移φ个单位后与y轴交点的纵坐标不变，则φ=_______（用kπ表示，k∈Z）解析：平移后y轴交点为x=0，f(0)=2cos(π/3)+1=2，需2cos(2φ+π/3)+1=2，解得2φ+π/3=kπ，φ=kπ/2-π/6。2.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为_______解析：f'(x)=3x²-3，驻点x=±1，f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2，最大值2，最小值-2，差为4。3.若函数f(x)=logₐ|x|在x→0时极限存在且为1，则a的值为_______解析：lim(x→0)logₐ|x|=1可得|x|/x=a，极限存在需a>0且a≠1，解得a=1。4.函数f(x)=x²-2x+3与g(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的交点个数为_______解析：令h(x)=f(x)-g(x)=-x³+x²+3，h'(x)=-3x²+2x，驻点x=0,x=2/3，h(-2)=7，h(0)=3，h(2/3)=37/27，h(2)=1，无交点。5.函数f(x)=sin(x+π/4)cos(x-π/4)的最小正周期为_______解析：f(x)=1/2sin(2x)，周期为2π/2=π。6.若函数f(x)=ax²+bx+c在x=1处取得极值，且f(0)=1，则f(2)的值为_______解析：f(0)=c=1，f'(1)=2a+b=0，f(2)=4a+2b+1=1，解得a=1/2，b=-1，f(2)=2。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为_______解析：图像为V形，顶点(1,0)，(2,0)，面积=1/2×3×3=9/2。8.函数f(x)=e^x-x在R上_______（填“有”或“无”）零点解析：f(0)=1>0，f(-1)=1/e+1>0，f(x)单调递增，无零点。9.函数f(x)=sin²x-cos²x的图像关于_______对称解析：f(x)=-cos(2x)，关于x=π/4+kπ/2对称。10.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则f(0)的值为_______解析：f'(1)=3-1-a=0，a=2，f(0)=1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x²-4x+3在区间[1,3]上单调递增。（）解析：对称轴x=2，区间[1,2]单调递减，[2,3]单调递增，故错误。2.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于y轴对称，则φ必为kπ/2（k∈Z）。（）解析：f(-x)=f(x)可得ωx+φ=kπ+ωx-φ，解得φ=kπ/2，正确。3.函数f(x)=|x|在R上处处可导。（）解析：x=0处不可导，故错误。4.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a=2。（）解析：f'(1)=3-1-a=0，a=2，正确。5.函数f(x)=sin²x+cos²x在R上单调递增。（）解析：f(x)=1为常数函数，故错误。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在R上处处可导。（）解析：x=-2,x=1处不可导，故错误。7.若函数f(x)=logₐ|x|在x→0时极限存在且为1，则a=1。（）解析：见填空题13解析，正确。8.函数f(x)=x²-2x+3在区间[-2,2]上的最小值为1。（）解析：对称轴x=1，f(1)=2为最小值，故错误。9.函数f(x)=sin(x+π/4)cos(x-π/4)在R上单调递增。（）解析：f(x)=1/2sin(2x)，非单调函数，故错误。10.函数f(x)=x³-3x在x=0处取得极值。（）解析：f'(0)=0，但f''(0)=0，非极值点，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x+2的单调区间。解：f'(x)=3x²-3，驻点x=±1，当x∈(-∞,-1)时f'(x)>0，(-1,1)时f'(x)<0，(1,+∞)时f'(x)>0，故单调增区间为(-∞,-1)∪(1,+∞)，单调减区间为(-1,1)。2.函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π，且图像关于直线x=π/4对称，求ω和φ的关系式。解：周期为π可得ω=2，对称轴x=π/4满足2π/4+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ-π/4。3.函数f(x)=|x-1|-|x+2|在R上的值域为_______解：分段函数f(x)={x-3,x≤-2,-3,-2<x<1,1-x,x≥1}，值域为[-3,3]。4.函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1,3]上的最小值是a²-1，求a的取值范围。解：对称轴x=a，分a<1(a=1时最小值为2)a=1(最小值为2)a>3三种情况讨论，解得a≤1或a≥3。5.函数f(x)=log₃(2x-1)在x=2时的导数是多少？解：f'(x)=2/(3(2x-1))，f'(2)=2/(3(4-1))=2/9。6.函数f(x)=sin²x-cos²x的最小正周期是多少？解：f(x)=-cos(2x)，周期为2π/2=π。7.函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，求a的值。解：f'(1)=3-1-a=0，解得a=2。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像与x轴所围成的封闭图形的面积是多少？解：图像为V形，顶点(1,0)，(2,0)，面积=1/2×3×3=9/2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,0)，且周期为π，求f(x)的表达式。解：周期为π可得ω=2，f(π/4)=sin(2π/4+φ)=0，解得φ=kπ-π/2，取φ=-π/2，f(x)=sin(2x-π/2)=-cos(2x)。2.函数f(x)=x³-3x+2，求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。解：f'(x)=3x²-3，驻点x=±1，f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2，最大值2，最小值-2。3.函数f(x)=log₃(2x-1)与g(x)=|x-1|在区间[1,2]上的图像交点个数为多少？解：联立方程log₃(2x-1)=|x-1|，当x≥1时log₃(2x-1)=x-1，解得x=2；当x<1时无解，故交点个数为1。4.函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1,3]上的最小值是a²-1，求a的取值范围。解：对称轴x=a，分a<1(a=1时最小值为2)a=1(最小值为2)a>3三种情况讨论，解得a≤1或a≥3。5.函数f(x)=sin²x+cos²(π/3-x)的最小正周期是多少？解：f(x)=1/2(1-cos2x)+1/2(1+cos(2x-2π/3))=3/2-1/2cos(2x-2π/3)，周期为2π/2=π。6.函数f(x)=|x+1|-|x-1|的图像关于哪条直线对称？解：f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x)，为奇函数，图像关于原点对称。7.函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，求a的值及f(x)的单调区间。解：f'(1)=3-1-a=0，a=2，f'(x)=3x²-2，驻点x=±√2/3，单调增区间为(-∞,-√2/3)∪(√2/3,+∞)，单调减区间为(-√2/3,√2/3)。8.函数f(x)=sin²x-cos²x的图像与x轴所围成的封闭图形的面积是多少？解：f(x)=-cos(2x)，周期为π，面积=∫₀¹[-cos(2x)+1]dx=1/2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.B4.C5.D6.B7.A8.B9.D10.D解析：1.由f(a)=0可得a³-3a=-1，代入f(1-a)得f(1-a)=1-a³+3a=0；2.分段函数f(x)=x+3(x≤-2),3(-2<x<1),-x+1(x≥1)，最小值为3；3.周期为π可得ω=2，对称轴x=π满足2π+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ-3π/2；4.对称轴x=a，分a<1(a=1时最小值为2)a=1(最小值为2)a>3三种情况讨论，最小值在x=3时取得，a³-3a+3=a²-1，解得a≤1或a≥3；5.导数f'(x)=e^x-1，当x<0时f'(x)<0，当x>0时f'(x)>0，故f(x)在(-∞,0)单调递减，(0,+∞)单调递增；6.联立方程log₃(2x-1)=|x-1|，当x≥1时log₃(2x-1)=x-1，解得x=2；当x<1时无解；7.由f'(1)=0可得a=2，f''(1)=6>0为极小值；8.周期为2π/2=π；9.奇函数图像关于原点对称；10.由f(-1)=0可得1-p+q=0，由f(0)=1可得q=1，解得p=2，f(x)=(x+1)²，f(1)=4。二、填空题1.kπ-π/612.413.114.015.π16.117.9/218.无19.x=π/4+kπ/220.1解析：11.平移后y轴交点为x=0，f(0)=2cos(π/3)+1=2，需2cos(2φ+π/3)+1=2，解得2φ+π/3=kπ，φ=kπ/2-π/6；12.驻点x=±1，f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2，最大值2，最小值-2，差为4；13.由lim(x→0)logₐ|x|=1可得|x|/x=a，极限存在需a>0且a≠1，解得a=1；14.令h(x)=f(x)-g(x)=-x³+x²+3，h'(x)=-3x²+2x，驻点x=0,x=2/3，h(-2)=7，h(0)=3，h(2/3)=37/27，h(2)=1，无交点；15.周期为2π/2=π；16.f(0)=c=1，f'(1)=2a+b=0，f(2)=4a+2b+1=1，解得a=1/2，b=-1，f(2)=2；17.图像为V形，顶点(1,0)，(2,0)，面积=1/2×3×3=9/2；18.f(0)=1>0，f(-1)=1/e+1>0，f(x)单调递增，无零点；19.f(x)=-cos(2x)，关于x=π/4+kπ/2对称；20.f'(1)=3-1-a=0，a=2，f(0)=1。三、判断题1.×22.√23.×24.√25.×26.×27.√28.×29.×30.×解析：21.对称轴x=2，区间[1,2]单调递减，[2,3]单调递增，故错误；22.由f(-x)=f(x)可得ωx+φ=kπ+ωx-φ，解得φ=kπ/2，正确；23.x=0处不可导，故错误；24.f'(1)=3-1-a=0，a=2，正确；25.f(x)=1为常数函数，故错误；26.x=-2,x=1处不可导，故错误；27.由lim(x→0)logₐ|x|=1可得|x|/x=a，极限存在需a>0且a≠1，解得a=1，正确；28.对称轴x=1，f(1)=2为最小值，故错误；29.f(x)=-cos(2x)，非单调函数，故错误；30.f'(0)=0，但f''(0)=0，非极值点，故错误。四、简答题1.解：f'(x)=3x²-3，驻点x=±1，当x∈(-∞,-1)时f'(x)>0，(-1,1)时f'(x)<0，(1,+∞)时f'(x)>0，故单调增区间为(-∞,-1)∪(1,+∞)，单调减区间为(-1,1)。2.解：周期为π可得ω=2，f(π/4)=sin(2π/4+φ)=0，解得φ=kπ-π/2，取φ=-π/2，f(x)=sin(2x-π/2)=-cos(2x)。3.解：分段函数f(x)={x-3,x≤-2,-3,-2<x<1,1-x,x≥1}