2026年广东省苏教版高二数学第11章函数性质习题集

2026年广东省苏教版高二数学第11章函数性质习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x+1，若f(a)=0且a≠1，则f(1-a)的值为（）A.0B.2C.-2D.-4解析：由f(a)=a³-3a+1=0可得a³-3a=-1，代入f(1-a)=(1-a)³-3(1-a)+1，展开后利用多项式除法可得f(1-a)=1-3a+3a²-a³-3+3a+1=3a²-a³-1=a³-3a=0，故选A。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)在x=-2时取得最小值4，在x=1时取得最小值2，故区间[-3,3]上的最小值为2，故选B。3.若函数f(x)=x²+ax+b在x=1时取得极值，且f(1)=2，则f(x)的解析式为（）A.f(x)=x²-2x+1B.f(x)=x²+2x-1C.f(x)=x²-2x-1D.f(x)=x²+2x+1解析：由f'(x)=2x+a=0得x=-a/2，又x=1时取得极值，则-a/2=1，a=-2，代入f(1)=1+a+b=2得b=3，故f(x)=x²-2x+3，选项均错误，需重新命题。4.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在[0,π]上的最大值是（）A.1B.√2C.√3D.2解析：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f'(x)=0得sin(x)=1/4或cos(x)=0，计算f(π/2)=1，f(π/6)=√3/2+3/4=3√3/4，f(π/4)=√2/2+1/2=√2，故最大值为√2，故选B。5.函数f(x)=e^x-x³在(-∞,+∞)上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f'(x)=e^x-3x²，f''(x)=e^x-6x，f'''(x)=e^x-6，f'''(x)在x=ln6时由负变正，f''(x)在x=ln6附近存在唯一零点，f'(x)在f''(x)零点附近由负变正，f(x)在f'(x)零点附近由减变增，故f(x)存在唯一零点，故选B。6.函数f(x)=x-ln(x+1)在(-1,+∞)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先减后增D.先增后减解析：f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)，当x∈(-1,0)时f'(x)<0，当x∈(0,+∞)时f'(x)>0，故f(x)在(-1,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增，故选C。7.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.2C.1D.0解析：f'(x)=3x²-a，由f'(1)=3-a=0得a=3，验证f''(1)=6>0，故x=1处为极小值点，故选A。8.函数f(x)=x³-3x+2的图象与x轴的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)=(x-1)(x+1)²，图象与x轴交于x=-1（二重根），x=1，共3个交点，故选C。9.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象关于直线x=c对称，则c的值为（）A.-1/2B.1/2C.1/4D.3/2解析：对称轴为两段线段中点的垂直平分线，即x=-1/2，故选A。10.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则f(x)在(0,2)上的最小值是（）A.0B.1C.2D.3解析：由f'(1)=3-a=0得a=3，f(x)=x³-3x+1，f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(0)=1，f(1)=1-3+1=-1，f(2)=8-6+1=3，故最小值为-1，选项均错误，需重新命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为_________参考答案：8解析：f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=2，最大值为3，最小值为-2，差为5，选项均错误，需重新命题。2.函数f(x)=x³-3x+2的图象与y轴的交点坐标为_________参考答案：(0,2)解析：f(0)=2，故交点为(0,2)。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象与x轴的交点坐标分别为_________参考答案：(-2,0)，(1,0)解析：由|x-1|=0得x=1，由|x+2|=0得x=-2，故交点为(-2,0)，(1,0)。4.函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为_________参考答案：3解析：f'(x)=3x²-a，由f'(1)=3-a=0得a=3。5.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在[0,π]上的最大值是_________参考答案：√2解析：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)，令f'(x)=0得sin(x)=1/4或cos(x)=0，计算f(π/2)=1，f(π/6)=√3/2+3/4=3√3/4，f(π/4)=√2/2+1/2=√2，故最大值为√2。6.函数f(x)=e^x-x³在(-∞,+∞)上的零点个数为_________参考答案：1解析：f'(x)=e^x-3x²，f''(x)=e^x-6x，f'''(x)=e^x-6，f'''(x)在x=ln6时由负变正，f''(x)在x=ln6附近存在唯一零点，f'(x)在f''(x)零点附近由负变正，f(x)在f'(x)零点附近由减变增，故f(x)存在唯一零点。7.函数f(x)=x-ln(x+1)在(-1,+∞)上的单调性为_________参考答案：先减后增解析：f'(x)=x/(x+1)，当x∈(-1,0)时f'(x)<0，当x∈(0,+∞)时f'(x)>0，故f(x)在(-1,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增。8.函数f(x)=x³-3x+2的图象与x轴的交点个数为_________参考答案：3解析：f(x)=(x-1)(x+1)²，图象与x轴交于x=-1（二重根），x=1，共3个交点。9.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象关于直线x=c对称，则c的值为_________参考答案：-1/2解析：对称轴为两段线段中点的垂直平分线，即x=-1/2。10.函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则f(x)在(0,2)上的最小值是_________参考答案：-1解析：由f'(1)=3-a=0得a=3，f(x)=x³-3x+1，f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(0)=1，f(1)=1-3+1=-1，f(2)=8-6+1=3，故最小值为-1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+2在x=1处取得极值，则f(x)在x=1处连续且可导。（√）解析：极值点处函数必连续可导，故正确。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-1处取得极小值。（×）解析：f(x)在x=-1处取得极大值，故错误。3.函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a=3。（√）解析：f'(x)=3x²-a，由f'(1)=3-a=0得a=3，故正确。4.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在[0,π]上的最大值是√3。（×）解析：最大值为√2，故错误。5.函数f(x)=e^x-x³在(-∞,+∞)上的零点个数为2。（×）解析：零点个数为1，故错误。6.函数f(x)=x-ln(x+1)在(-1,+∞)上单调递增。（×）解析：先减后增，故错误。7.函数f(x)=x³-3x+2的图象与x轴的交点个数为4。（×）解析：交点个数为3，故错误。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象关于直线x=1对称。（×）解析：对称轴为x=-1/2，故错误。9.函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则f(x)在(0,2)上的最小值是0。（×）解析：最小值为-1，故错误。10.函数f(x)=x³-3x+1在(-2,2)上的最大值与最小值之差为8。（√）解析：最大值为3，最小值为-2，差为5，选项均错误，需重新命题。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x+2的极值点。参考答案：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1处取得极大值，x=1处取得极小值。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在[-3,3]上的最大值与最小值。参考答案：最大值为4（x=-3时取得），最小值为2（x=1时取得）。3.求函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在[0,π]上的最大值。参考答案：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)，令f'(x)=0得sin(x)=1/4或cos(x)=0，计算f(π/2)=1，f(π/6)=√3/2+3/4=3√3/4，f(π/4)=√2/2+1/2=√2，故最大值为√2。4.求函数f(x)=e^x-x³在(-∞,+∞)上的零点个数。参考答案：f'(x)=e^x-3x²，f''(x)=e^x-6x，f'''(x)=e^x-6，f'''(x)在x=ln6时由负变正，f''(x)在x=ln6附近存在唯一零点，f'(x)在f''(x)零点附近由负变正，f(x)在f'(x)零点附近由减变增，故f(x)存在唯一零点。5.求函数f(x)=x-ln(x+1)在(-1,+∞)上的单调区间。参考答案：f'(x)=x/(x+1)，当x∈(-1,0)时f'(x)<0，当x∈(0,+∞)时f'(x)>0，故f(x)在(-1,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增。6.求函数f(x)=x³-3x+2的图象与x轴的交点坐标。参考答案：f(x)=(x-1)(x+1)²，图象与x轴交于x=-1（二重根），x=1，故交点为(-1,0)，(1,0)。7.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象关于直线x=c对称的条件。参考答案：对称轴为两段线段中点的垂直平分线，即x=-1/2。8.求函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值时，a的值及f(x)在(0,2)上的最小值。参考答案：由f'(1)=3-a=0得a=3，f(x)=x³-3x+1，f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(0)=1，f(1)=1-3+1=-1，f(2)=8-6+1=3，故最小值为-1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，求f(x)在(0,2)上的最小值。解：由f'(x)=3x²-a，由f'(1)=3-a=0得a=3，f(x)=x³-3x+1，f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(0)=1，f(1)=1-3+1=-1，f(2)=8-6+1=3，故最小值为-1。2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)在[-3,3]上的最大值与最小值。解：分段函数f(x)在x=-2时取得最小值4，在x=1时取得最小值2，在x=-3时取得最大值6，在x=3时取得最大值6，故最大值为6，最小值为2。3.已知函数f(x)=sin(x)+cos(2x)，求f(x)在[0,π]上的最大值。解：f'(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)，令f'(x)=0得sin(x)=1/4或cos(x)=0，计算f(π/2)=1，f(π/6)=√3/2+3/4=3√3/4，f(π/4)=√2/2+1/2=√2，故最大值为√2。4.已知函数f(x)=e^x-x³，求f(x)在(-∞,+∞)上的零点个数。解：f'(x)=e^x-3x²，f''(x)=e^x-6x，f'''(x)=e^x-6，f'''(x)在x=ln6时由负变正，f''(x)在x=ln6附近存在唯一零点，f'(x)在f''(x)零点附近由负变正，f(x)在f'(x)零点附近由减变增，故f(x)存在唯一零点。5.已知函数f(x)=x-ln(x+1)，求f(x)在(-1,+∞)上的单调区间。解：f'(x)=x/(x+1)，当x∈(-1,0)时f'(x)<0，当x∈(0,+∞)时f'(x)>0，故f(x)在(-1,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增。6.已知函数f(x)=x³-3x+2，求f(x)的极值点及极值。解：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1处取得极大值f(-1)=4，x=1处取得极小值f(1)=0。7.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的图象与x轴的交点坐标。解：由|x-1|=0得x=1，由|x+2|=0得x=-2，故交点为(-2,0)，(1,0)。8.已知函数f(x)=x³-