2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题09 复数（教师版）

专题09复数

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017-2026）命题规律

基础题核心考查复数乘除运算、共轭复

数定义、复数相等条件、虚数分类，难

2017-2025年连续考查，题型以填空题

度极低，为必拿分考点；核心变化为

考点01复数代数为主，2024年同时考查2道填空，

2023年起结合复数几何意义、点的轨

形式的四则运算2023年考查填空压轴题，2017-2022

迹、圆与直线位置关系综合考查，2023

年年均有基础填空题

年首次以本考点为核心命制填空压轴

题，对数形结合能力要求提升

基础题考查复数模的计算公式、乘除运

算中的模长性质，难度较低；近年变化

2018-2026年高频考查，题型覆盖填空

极为显著：大量结合复数几何意义、圆

题、单选题；2026年首次考查单选压

考点02求复数的与圆锥曲线轨迹、距离最值问题综合考

轴题，2025、2023、2020、2019、2018

模查，2026年新增新定义“伴随复数”，

年均有填空题，2026年同时考查填空

融合充要条件、模长性质命制单选压轴

与单选压轴题

题，从基础计算转向多知识点融合的逻

辑推理，综合性与难度大幅提升

考点01复数代数形式的四则运算

2i

1．（2025·上海·高考真题）已知复数z，其中i为虚数单位，则|z|__________．

i

【答案】5

【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可.

2ii2i

【详解】z12i，

ii2

故|z|12(2)25．

故答案为：5.

1/16

z

2．（2024·上海·高考真题）已知i，则z_______.

1i

【答案】1i/i1

【分析】借助复数的乘法运算与共轭复数定义计算即可得.

【详解】由题意可得zi1i1i，故z1i.

故答案为：1i.

2

3．（2024·上海·高考真题）已知虚数z，其实部为1，且zmmR，则实数m为______．

z

【答案】2

【分析】设z1bi,bR且b0，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.

【详解】设z1bi，bR且b0.

22b23b3b

则z1bi22im，

z1bi1b1b

b23

m

1b2

mR，，解得m2，

b3b

0

1b2

故答案为：2.

4．（2023·上海·高考真题）设z1,z2C且z1iz2，满足z111，则z1z2的取值范围为________________．

【答案】0,22

【分析】判断出z1,z2对应点的轨迹，从而求得z1z2的取值范围.

【详解】设z1abi,z2cdi,a,b,c,dR，

，则，

z2cdiabiicdidci

ad

所以，

bc

22，所以22，

z11a1bia1b1a1b1

22

即z1对应点a,b在以1,0为圆心，半径为1的圆x1y1上.

z2cdibai，z2对应点为b,a，

a,b与b,a关于yx对称，

2

所以点b,a在以0,1为圆心，半径为1的圆x2y11上，

z1z2表示a,b与b,a两点间的距离，

22

圆x1y21与圆x2y11相交，圆心距为2，如图所示，

所以z1z2的最小值为0，最大值为21122，

所以的取值范围为

z1z20,22.

故答案为：0,22

5．（2022·上海·高考真题）已知z1i（其中i为虚数单位），则2z___________；

【答案】22i

【分析】先由z1i求出z，从而可求出2z

【详解】因为z1i，所以z1i，

所以2z21i22i，

故答案为：22i

6．（2022·上海·高考真题）已知z2i，则z________

【答案】2i/i2

【分析】直接根据共轭复数的概念得答案.

【详解】z2i

z2i

故答案为：2i.

7．（2021·上海·高考真题）已知复数z满足z13i(i是虚数单位)，则zi______.

【答案】5

【分析】由已知求得zi，再由复数模的计算公式求解．

【详解】解：z13i，

zi13ii12i，

则|zi||12i|12225．

3/16

故答案为：5．

3

8．（2017·上海·高考真题）已知复数z满足z0，则|z|_____________．

z

【答案】3

【详解】分析：设zabi(a,bR)，代入z23，由复数相等的条件列式求得a,b的值得答案．

3

详解：由z0，得z23，

z

设zabi(a,bR)，

a2b23

由z23得(abi)2a2b22abi3，即，解得a0,b3，

2ab0

所以z3i，则z3．

点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考

查了考生的推理与运算能力．

考点02求复数的模

1．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数z，，如果满足“zR”或“zR”，那么就称z

和伴随.则当z和伴随，则i和zi伴随的充要条件是（）.

A．ReRez0B．ReRez0

C．ImImz0D．ImImz0

【答案】C

【分析】设zxyi，abi，x,yR，a,bR，由条件结合伴随的定义可判断结论.

【详解】设zxyi，abi，x,yR，a,bR，

则zxaybi，zxaybi，

当z和伴随，有yb0或yb0，

又iziaxby2i，iziaxbyi，

若i和zi伴随，则by20或by0，

所以i和zi伴随的充要条件是by0，即ImImz0.

2．（2026·上海·高考真题）已知m1，对于所有满足z2的复数z，都有zi的最小值与zm的最小

值相同，则m____________.

【答案】3

【分析】根据复数的几何意义分析求解即可.

【详解】由z2得复数z对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆，

因为zi表示点0,1到圆上一点的距离，且点0,1到圆心0,0的距离为1，

则zi的最小值为211，

而zm表示点m,0到圆上一点的距离，且点m,0到圆心0,0的距离为m,m1，

则zm的最小值为2m，

又因为zi的最小值与zm的最小值相同，

所以2m1，m1，解得m3.

故答案为：3.

3．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足z2(z)2,|z|1，则|z23i|的最小值是_________．

【答案】22

【分析】先设zabi，利用复数的乘方运算及概念确定ab0，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.

【详解】设zabia,bR,zabi，

2

由题意可知z2a22abib2za22abib2，则ab0，

又za2b21，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Za,b在单位圆内部（含边界）的坐标轴

上运动，如图所示即线段AB,CD上运动，

设E2,3，则z23iZE，由图象可知BE10CE22，

所以

ZEmin22.

故答案为：22

4．（2023·上海·高考真题）已知当z1i，则1iz______；

5/16

【答案】5

【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案.

【详解】1iz1i(1i)2i，|1iz||2i|5.

故答案为：5.

5．（2020·上海·高考真题）已知复数z12i(i为虚数单位)，则z__________．

【答案】5

【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．

【详解】因为z12i，

2

所以z1225．

故答案为：5．

6．（2019·上海·高考真题）设i为虚数单位，3zi65i，则z的值为__________

【答案】22

【分析】把已知等式变形得z，再由zz，结合复数模的计算公式求解即可．

【详解】由3zi65i，得3z66i，即z22i

zz222222

本题正确结果：22

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．

7．（2018·上海·高考真题）已知复数z满足(1i)z17i（i是虚数单位），则|z|________

【答案】5

【分析】由复数的除法运算可得z34i，从而可求解.

17i17i1i22

【详解】由题意可得z34i，所以z345.

1i1i1i

故答案为：5.

一、单选题

1．（2026·上海黄浦·三模）已知i是虚数单位，z123i、z2是实系数一元二次方程的两个根，则z2的虚

部为（）．

A．3B．3iC．3D．3i

【答案】C

【详解】由实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数，故z223i，其虚部为3.

二、填空题

2．（2026·上海虹口·三模）已知Z1和Z2是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为z1和z2，若z14，

z1z21，则随着Z1的运动，动点Z2所形成的平面图形的面积为_____________．

【答案】

16π

【详解】由z14知，点Z1的轨迹为以坐标原点O为圆心，以4为半径的圆，

又z1z21，z14，所以点Z2到点Z1的距离小于或等于1.

所以随着Z1的运动，动点Z2所形成的平面图形为以坐标原点O为圆心，以3为半径的圆的外部与以坐标原

点O为圆心，以5为半径的圆的内部形成的圆环，

所以其面积为25π9π16π.

3．（2026·上海·三模）已知a、bR，方程x2axb0的一个根为2i（i为虚数单位），则b________．

【答案】5

【详解】由方程x2axb0的一个根为2i，可得方程的另一个根为2i，

根据根与系数的关系，可得b(2i)(2i)22i2415.

4．（2026·上海·三模）若实系数一元二次方程x2axb0有一个虚数根的模为4，则b______．

【答案】16

【详解】设实系数一元二次方程x2axb0的两个虚数根为mni和mni，其中m,nR，

则m2n216.

7/16

所以bmnimnim2n216.

5．（2026·上海·三模）已知z12,z22i，若wz11z2R，则w的最小值为___________

【答案】2

【详解】由wz11z2212i222i，

2

2221

则w22288482，

2

1

所以时，w取得最小值2.

2

z

6．（2026·上海·三模）已知复数12i（i为虚数单位），则z______．

i

【答案】2i

【详解】由题意可得zi12ii2i22i.

7．（2026·上海·三模）已知复数z满足iz32i，其中i为虚数单位，则z_____．

【答案】

23i

【分析】利用复数的除法法则化简复数z，结合共轭复数定义求z.

【详解】因为iz32i，

32i32ii

所以z23i，

iii

故z23i.

8．（2026·上海长宁·二模）已知复数z满足：z=1，且zi1，则zi1的最小值为________.

【答案】3

1

【分析】设zabi,aR,bR,，由题意易得a2b21，b1，表示出zi1即可求出答案.

2

【详解】设zabi,aR,bR,

则za2b21a2b21，

22

ziab1ia2b11a2b11

1

化简得：a2b22b11b1，

2

2

zi1aib1b1a2a2b22b12b2，

1

又b1

2

所以32b+24

所以32b22

所以zi1的最小值为3.

4

．（上海徐汇二模）已知复数满足ww，记满足的复数组成

92026··w1,w212zwi1,3i1,2z

w1w2

的集合为A.若z1A且z2A，则z1z2的取值范围是__________.

【答案】0,42

4

【分析】先对已知条件w1w2进行化简，得出w1w2的值，再根据zwi[1,3]确定集合A中元

w1w2

素的轨迹，最后分析z1A且z2A时z1z2的取值范围.

44

【详解】w1w2，w1w2.

w1w2w1w2

42

设w1w2m，则m，即mm4，m4，mw1w22.

m

已知zwi[1,3]，根据复数模的几何意义，zwi表示复数z所对应的点Z到复数wi所对应的点Wi的距离，

集合A中的元素z对应的点Z的轨迹是以W1,W2为圆心，半径分别在[1,3]范围内的圆环上的点.

∣∣

题干要求对i1,2都满足1zwi3，因此A是两个圆环的交集：

两个圆环分别以W1,W2为圆心，内半径1，外半径3，

建立如图所示的坐标系：

A是非空闭区域，当z1,z2都在C处时，z1z2最小距离可取到0，

A中最远的两点距离是两个外圆的交点距离，

因为两个外圆半径都是3，圆心距2，

由勾股定理可得两交点距离为：2321242

∣∣

因此z1z2∣的取值范围是[0,42]

9/16

10．（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足i1z3i3i，其中i为虚数单位，则z______.

【答案】1i

【分析】先根据复数的除法运算化简，再应用共轭复数定义求解.

【详解】复数z满足i1z3i3i，

3i3ii13i31i

则z3i=3i=+3i，

i1i1i111

则z12i3i=1+i，

则z1i.

3

1i

11．（2026·上海静安·二模）设i是虚数单位，计算：______．

1i

【答案】i

【分析】根据复数的除法及复数的乘方求解即可.

1i1i1i12ii22i

【详解】i，

1i1i1i1i22

3

1i3

所以ii.

1i

12．（2026·上海杨浦·二模）设集合Azz1za,zC，Bzz1,zC，若AB，则实数

a的取值范围是______.

【答案】1,3

【分析】由z1za知z到(1,0)与(a,0)距离相等，其轨迹是这两点的垂直平分线,Bzz1,zC

表示的轨迹是一个单位圆，两者有交点，等价于原点到直线的距离不大于1，通过计算可得实数a的取值范

围.

【详解】集合Azz1za,zC，由z1za，即z到(1,0)与(a,0)距离相等，

即z的轨迹为1,0与(a,0)两点连线的垂直平分线，

设zxyi，所以x1yixayi，所以(x1)2y2(xa)2y2，化简得2(a1)xa21，

若a1，等式化为00，任何z都满足，此时A为整个复平面，满足AB；

a1a1

若a1，则x，即z的轨迹为直线x，Bzz1,zC表示的为圆：x2y21，

22

a1a1

AB即直线x与圆x2y21有交点，所以1，解得1a3，所以实数a的取值范围是

22

1,3.

|z|2

13．（2026·上海闵行·二模）已知zC，若1i（其中i为虚数单位），则z______.

z

【答案】1i

2

【详解】设zabia,bR，则za2b2，

22222

za2b2ababiababi

由1i可得abi1i，

zabiabiabia2b2

则a1,b1，故z1i.

14．（2026·上海奉贤·二模）已知复数zcosisin，0,2π，i是虚数单位，则|z6|2|z8i|2的取

值范围是________．

【答案】82,122

【详解】i21，

z6|2z8i|2cos6isin|2cosisin8|2

cos212cos36sin2cos2sin216sin64

3712cos6516sin10212cos16sin，

3434

10220cossin，设cos,sin，

5555

则z6|2z8i|210220cos，

34

当2kπ，kZ，即cos，sin时，cos1，

55

此时|z6|2|z8i|2取最大值122，

34

当2kππ，kZ，即cos，sin时，cos1，

55

此时|z6|2|z8i|2取最小值82，

z6|2z8i|210212cos16sin82,122．

15．（2026·上海金山·二模）已知复数zm2m1i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m__________．

【答案】2

【详解】由复数zm2m1i为纯虚数，

11/16

m20

则，解得m2.

m10

z

16．（2026·上海崇明·二模）若复数z满足i（i为虚数单位），则z_____.

1i

【答案】1i

【分析】利用复数的乘法运算化简求值．

z

【详解】因为i，所以z1iiii2i1，

1i

所以z1i；

故答案为：1i

17．（2026·上海静安·二模）若满足z5，且z5z56的复数z有两个，分别设为z1、z2，则

z1z2______．

32

【答案】

5

x2y2

【分析】设Zx,y，根据复数的几何意义分析可得x2y225，1x0，联立方程运算求解即

916

可.

【详解】设Zx,y，O0,0，F15,0，F25,0，

因为z5，则OZ5，可知点Z的轨迹是以O0,0为圆心，半径为5的圆，

可得x2y225；

且z5z56，则ZF1ZF2610，可知点Z的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的右支，

x2y2

则a3，c5，bc2a24，可得1x0，

916

369

x2y225x2

25

联立方程x2y2，解得，

12256

y

91625

341

x

53411634116

且x0，则，可得Z1,，Z2,，

165555

y2

5

32

所以zzZZ.

12125

1i

18．（2026·上海·二模）已知复数z满足z是实数，则z2的最小值为________．

z2

1

【答案】/0.5

2

11

【分析】设zabi，代入z中化简，由z是实数，得b0或a2b21，利用复数模的几何意义求

zz

i

z2的最小值

2

11abi

【详解】设zabi，则zabi+abi+

zabiabiabi

ab

abi，

a2b2a2b2

22

1bbab1

因为z是实数，所以b0，

za2b2a2b2

所以b0或a2b21，

当b0时，z的轨迹是x轴（除原点外），

i1i1

此时z2的几何意义表示x轴上的点（除原点）和2,的距离，此时z2，

2222

当a2b21时，复数z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，如图，

i1

根据复数模的几何意义可知，z2的几何意义是圆上的点到2,的距离，

22

2

i2117

由图可知，z2的最小值为OA1211.

222

171i1

因为1，所以z2的最小值为.

2222

19．（2026·上海·三模）已知复数z1,z2是实系数一元二次方程的两个根，若z1iz2，则z1i的最小值为_____.

【答案】2

2

13/16

【分析】分一元二次方程的判别式大于等于0与小于0，两种情况讨论，利用实系数一元二次方程的虚根成

对的性质，计算可求得z1i的最小值.

【详解】若一元二次方程的判别式大于等于0，则方程有两个实数根，即z1,z2为实数，

由z1iz2，则z10,z20，此时z1i0i1，

若一元二次方程的判别式小于0，则z1,z2为两虚数根，

设z1abi、z2abi

又因为z1iz2，所以abiiabibai，所以ab，

2

所以22211

z1iaa1iaa12a2a12a

22

12

当时，1112

az1i2.

2min2222

2

综上所述：z1i的最小值为.

2

2

故答案为：.

2

20．（2026·上海黄浦·三模）已知复数z满足3iz3i（其中i为虚数单位），则复数z___________．

43

【答案】i

55

3i

【分析】由已知得出z，结合复数的除法化简可得复数z.

3i

2

3i3i86i