2027高考物理复习题型精讲及课时精练专题51 动态圆、磁聚焦和磁发散问题（学生版）

专题51动态圆、磁聚焦和磁发散

模型一放缩圆法........................................................................................................................................1

模型二旋转圆法........................................................................................................................................4

模型三平移圆法........................................................................................................................................8

模型四磁聚焦和磁发散问题..................................................................................................................11

模型一放缩圆法

1.适用条件：粒子速度方向一定，大小不同

粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子，粒子垂直进入匀强磁场时，这些带电粒子

在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化，轨迹圆的圆心在同一条线上。

2.轨迹特点：轨迹圆圆心在同一条直线上

如图所示，假设粒子带正电，速度越大，轨迹圆的半径也越大，又出发位置相同，这些

带电粒子射入磁场后，运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上，相当于将轨迹

圆的半径以入射点P为定点，PP′为直径所在直线，进行放大或缩小得到轨迹圆，这些轨迹

圆就叫放缩圆。

3.寻找临界条件

以入射点P为定点，将半径放大或缩小从而作出不同速率的粒子做圆周运动对应的轨迹，从

而找到临界圆。

【例题精讲】

1．如图所示，ab边界以上，圆形边界以外的Ⅰ区域中存在匀强磁场，磁感应强度为B0，圆形边界以内Ⅱ

区域中匀强磁场的磁感应强度为2B0，圆形边界半径为R，ab边界上c点距圆形边界圆心O的距离为

2R；一束质量为m、电荷量为q的负电粒子，在纸面内从c点沿垂直边界ab方向以不同速率射入磁场。

不计粒子之间的相互作用。已知一定速率范围内的粒子可以经过圆形磁场边界，这其中速率为v的粒子

到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动的时间最短。只考虑一次进出Ⅰ、Ⅱ区域，则（）

3푞퐵0푅

A．可以经过圆形边界的粒子的速率最大值为

푚

푞퐵0푅

B．可以经过圆形边界的粒子的速率最小值为

푚

2휋푅

C．速率为v的粒子在Ⅰ区域的运动时间为

3푣

휋푚

D．速率为v的粒子在Ⅱ区域的运动时间为

4푞퐵0

2．如图所示，竖直平面内一半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。

一束质量为m、电荷量为﹣q的带电粒子沿平行于直径MN的方向以不同速率v0从P点进入匀强磁场，

1

入射点P到直径MN的距离ℎ=푅，不计粒子重力。下列说法正确的是（）

2

푞퐵푅

A．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，则其入射速度v为

0푚

휋푚

B．若粒子恰好能从N点射出，则粒子在磁场中运动的时间为6푞퐵

3

C．若粒子恰好能从K点（OK⊥MN）射出，则其在磁场中运动半径大小为푅

2

푞퐵푅

D．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向垂直，则其入射速度v为

03푚

3．如图所示，在理想的虚线边界内有范围足够大的匀强磁场，ab，cd段水平，bc，de段竖直，且ab＝cd=

3

bc。在纸面内大量质子从a点垂直于ab以不同速率射入磁场，不计质子间的相互作用力和重力，则从

2

边界de垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长的质子的速率之比为（）

A．3：2B．36：13C．9：4D．36：17

4．如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场

方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则它们在磁

场中运动的（）

A．轨迹半径之比为1：2B．速度之比为2：1

C．时间之比为2：3D．周期之比为2：1

5．一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其下边界如图中虚线所示，P、M、N、Q

四点共线，∠MON为直角，OM＝ON＝MP＝d。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内

从P点以不同的速率垂直于PM射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。则粒子在磁场中运动时

间最长时的速率是（）

푑푞퐵2푑푞퐵

A．B．

2푚2푚

푑푞퐵(2+2)푑푞퐵

C．D．

푚2푚

6．如图所示，在矩形GHIJ区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P点是GH边的中点，四个完全相同

的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P点射入匀强磁场，它们的轨迹在同一平面（纸

面）内，下列说法正确的是（）

A．④粒子的速率最大

B．③粒子的向心加速度最大

C．②粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长

D．①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ磁场区域的运动周期不相同

7．如图所示，等腰梯形ABCD区域内，存在垂直该平面向里的匀强磁场，已知磁感应强度B＝4T，AB＝

0.4m，AD＝BC＝0.8m，θ＝30°。O为DC边上一点，AO⊥DC，O点处有一粒子源，能沿垂直AD边

的方向发射速度大小不等的同种带电粒子，带电粒子的质量为m＝5×10﹣8kg，电荷量为q＝﹣1.0×10﹣9C，

粒子重力不计。下列说法正确的是（）

A．从A点飞出的粒子速度大小为32cm/s

B．AB边与CD边可飞出粒子的区域长度之比为1：2

5

C．粒子在磁场中运动的最长时间为휋×10−2푠

3

D．BC边会有部分区域有粒子飞出

模型二旋转圆法

1.适用条件：粒子出发地点相同，速度大小一定，但方向不同。

粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子，粒子垂直进入匀强磁场时，这些带电粒子

在磁场中做匀速圆周运动且半径相等。

2.轨迹特点：轨迹圆的圆心在同一个圆上

如图所示，假设粒子带正电，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心均在以入射点O

mv

为圆心、半径R0的圆上，这个圆称为“轨迹圆心圆”，相当于将最外侧的轨迹圆以入

=qB

射点O为定点进行顺时针旋转，可得到粒子沿不同方向发射时的轨迹圆，所以这种模型就

是旋转圆模型。

3.寻找临界圆

以入射点O为定点，把各粒子运动的轨迹圆绕该点进行旋转，从而得到沿不同方向发射的粒

子的轨迹，结合边界条件，从而找到临界圆。

【例题精讲】

1．如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为

B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下

表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已

푞퐵푑

知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，

푚

则（）

1

A．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为푑

2

B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为(3−1)푑

휋푚

C．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最长时间为푞퐵

휋푚

D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为2푞퐵

2．如图所示，x轴上方存在垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。坐标原点O处存在一

离子源，能在xOy平面内沿各方向发射速率为2푣0的质量为m、电荷量为q的正离子，速度方向与y轴

2푚푣0

夹角最大值为°。一部分离子经磁场偏转后可以击中位于轴上的点，距离为。若击中

60xPOP푞퐵P

点的离子在磁场中的运动的最长时间与最短时间之差为Δt，忽略离子间的相互作用，不计离子重力。则Δ

t为（）

휋푚2휋푚휋푚4휋푚

．．．．

A2푞퐵B3푞퐵C푞퐵D3푞퐵

3．如图所示，空间中存在范围足够大，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为足够

长的离子接收板，到MN垂直距离为h的O点有一离子源，连续不断地向平面内各方向均匀放出质量为

ℎ푞퐵

m、带电量为+q的粒子，粒子速率均为푣=，则（）

푚

A．接收板接收到离子的区域长度为2h

1

B．能被接收的离子占总离子的

2

휋푚

C．被接收的粒子运动最短时间为2푞퐵

휋푚

D．被接收的粒子运动最长时间为푞퐵

4．如图所示，半径为R的圆形区域内存在一垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，S为磁场

边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率v经过S点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，粒子

的出射点分布在四分之一圆周SP上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（）

A．粒子带负电

2푣

B．粒子的比荷为

퐵푅

2휋푅

C．从P点射出的粒子在磁场中运动的时间为

2푣

D．若粒子的入射速率为2v，粒子的出射点分布在二分之一圆周上

5．如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，在圆周上的P点有一个粒子源，可

以在0≤θ≤60°的范围内垂直磁场方向发射速度大小相等的同种粒子。已知粒子质量为m、带电量为

+q，速度大小为v0，以θ＝30°角射入磁场的粒子恰好垂直于直径PQ方向射出磁场区域。不计粒子的

重力及粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（）

A．粒子轨迹不可能通过O点

5휋푅

B．粒子在磁场中运动的最长时间为

6푣0

C．粒子射出磁场边界时的速度方向不可能相同

D．粒子在磁场边界的出射点分布在四分之一圆周上

6．如图所示，边长为a的正六边形abcdef区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

正六边形中心O处有一粒子源，可在纸面内向各个方向发射不同速率带负电的粒子，已知粒子质量均为

m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（）

푞퐵푎

A．沿Oa方向发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为

2푚

(23−3)푞퐵푎

B．垂直ab向上发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为

푚

23푞퐵푎

C．要想从d点离开正六边形区域的粒子，速率至少为

푚

3푞퐵푎

D．所有要想离开正六边形区域的粒子，其速率至少为

2푚

（多选）7．如图所示，在xOy坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在P

点有一粒子源，P点坐标为（d，d）。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀发

푞퐵푑

射带正电的粒子，粒子质量为m，电荷量为q，速率푣=。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，M

푚

点坐标为（0，d），则下列说法正确的是（）

1

A．从x轴射出磁场的粒子数占总粒子数的

2

1

B．从OM之间射出磁场的粒子数占总粒子数的

12

휋푚

C．到达x轴的粒子在磁场中运动的最短时间为3푞퐵

D．打在x轴的长度为2d

（多选）8．如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内（包含x，y坐标轴）存在垂直纸面向外的匀强磁

场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q（q＞0）的相同粒子从y轴上的푃(0，3퐿)点，以相

同的速率在纸面内均匀射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（0≤α≤180°），当α＝150°

时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子间相互作用及粒子的重力。则（）

A．粒子做圆周运动的半径为2L

B．粒子做圆周运动的半径为23퐿

4휋푚

．粒子在磁场中运动的最长时间为

C3푞퐵

7휋푚

．粒子在磁场中运动的最长时间为

D6푞퐵

（多选）9．如图所示，在半径为R的半圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，CD为圆的直径，O为

圆心。某时刻从最低点S向磁场内各个方向均匀发射速度大小为v，质量为m，电荷量为+q的粒子。已

8푚푣

知磁感应强度大小为，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，°＝，下列说法正确的是（）

5푞푅sin530.8

A．粒子在该匀强磁场中运动轨迹的半径为R

B．在直径CD上有粒子射出的区域长度为R

53

C．从S射入磁场的粒子中可以从直径CD上射出的粒子占比为

180

143

D．从直径CD上射出的粒子，在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为

106

模型三平移圆法

1.适用条件：速度大小一定，方向一定，入射点不同，且为直线边界。

粒子入射点在同一直线边界上，粒子垂直该直线出发，初速度大小相等，方向相同。但入射

点不同，粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等，就像把

一个圆沿该直线边界平移一样，所以该模型叫平移圆模型。

2.轨迹特点：轨迹圆圆心在同一条直线上。

如图所示，假设粒子带负电，不同带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，

该直线与入射点的连线重合。

3.寻找临界条件

将轨迹圆沿圆心所在的直线进行平移，从而找到粒子运动的临界圆。

【例题精讲】

1．如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量

为m、电荷量为+q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域

内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。

下列说法正确的是（）

퐵푞퐿

A．粒子的入射速度为

4푚

3퐵푞퐿

B．粒子的入射速度为

6푚

휋퐿

C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为

2

휋푚

D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为2퐵푞

2．如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d；∠퐶=

휋

，现垂直于边射入一群质量均为，电荷量均为，速度相同的带正电粒子（不计重力），已知垂

6ABmq

5

直于AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为푡，下列

030

判断正确的是（）

A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为2.4t0

2휋푚

B．该匀强磁场的磁感应强度大小为

푞푡0

23

C．粒子在磁场中运动的轨道半径为푑

7

23휋푑

D．粒子进入磁场时的速度大小为

7푡0

3．如图所示，在等腰三角形ABC内充满垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为l，∠A＝∠C

＝30°。一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子垂直BC边射入磁场，已知从AB

5

边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而在AB边射出的粒子，在磁场中运动最长的时间为푡

040

（不计粒子重力和粒子间相互作用）。下列判断正确的是（）

A．粒子可以从CB边射出

12

B．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为푡

50

C．粒子从AB和AC边出射的范围其长度之比为2：3

2휋푙

D．粒子进入磁场速度大小为

(6+3)푡0

휋

．如图所示，在直角三角形内存在垂直纸面向外的匀强磁场，边长度为，∠퐶=，现垂直

4ABCABd6AB

边以相同的速度射入一群质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子（粒子不计重力、不考虑电荷间的相

互作用），已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，则下列判断中正确的是（）

A．粒子在磁场中运动的最长时间为4t0

휋푚

B．该匀强磁场的磁感应强度大小是

4푞푡0

C．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC边射出磁场

휋(23−3)푑

D．若有粒子能再次回到AB边，则该粒子在磁场中运动的速度最大为

2푡0

5．如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量均匀

分布在ab边的同种带电粒子（质量为m，电荷量为+q）以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结

果有一半的粒子从bc边射出。已知bc边长为L，bc与ac的夹角为60°，不计粒子的重力及粒子之间的

相互作用。下列说法正确的是（）

퐵푞퐿

A．粒子的入射速度为

4푚

3퐵푞퐿

B．粒子的入射速度为

12푚

휋푚

C．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为3푞퐵

3퐵푞퐿

D．若射入的粒子为负电荷，要使一半的粒子射出bc，则粒子的入射速度至少为

6푚

模型四磁聚焦和磁发散问题

1.磁感应强度为B的有界圆形磁场区域的圆心为O，从圆形磁场区域的边界P点有若干电

荷量为+q、质量为m的带电粒子（不计重力），它们均以相等大小的速度v朝各个方向进入磁

场区域，若圆形磁场区域的半径等于带电粒子在磁场中运动的轨道半径，那么这些粒子射出磁

场时速度的方向平行，如图1所示。

图1

2.磁聚焦模型

若干速度大小相同的同种带正电的粒子，如果平行进入圆形磁场区域，并且圆形磁场区域

的半径等于带电粒子在磁场中运动的轨道半径，那么这些带电粒子将从磁场圆的最低点B点射

出，如图2所示。

图2

【例题精讲】

1．如图所示，一半径为R圆心为O的圆形区域内部存在磁感应强度大小为B垂直于纸面向外的匀强磁场。

一群单个质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从图中磁场边界O′点以初速度v从不同方向沿纸面射

入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（）

푞퐵푅

A．若푣=，则所有粒子出射方向平行

푚

푞퐵푅

B．若푣=，则所有粒子偏转角度相同

푚

3푞퐵푅3휋푅

C．若푣=，则所有粒子均从某段圆弧边界射出，其圆弧长度为

2푚2