2025-2026学年湖北新八校联考高二10月月考数学试卷及答案

数学试卷（共4页）第1页湖北省2025-2026学年度上学期高二10月月考高二数学试卷全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数z=m+(m-1)i（i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为 4.一个不透明的袋子里装有4个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是5.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=a，AB=b，则向量可表示为6.已知直线l1与直线l2:x—2y+3=0关于原点对称，将直线l1绕原点逆时针旋转后得到直线l3，则直线l3的斜率为7.已知一个圆台的母线长为10cm，高为6cm，侧面积为100兀cm2，则该圆台的体积为3C．2003D．21638.已知等边ΔABC的边长为2，点P是平面ABC内任意一点，则PA.PB+PB.PC+最小值为二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.A．当a=4时，直线l1的一个方向向量为(3,1)B．若l1丄lC．若a=0或2，则l1与l2相互平行D．若a>1，则直线l2不经过第三象限10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列正确的是A．若sinA+cosA=，则△ABC为钝角三角形B．若a=c.cosB+a.cosC，则△ABC．若△ABC不是直角三角形，则△ABC满足tanA+tanB=tanAtanBtanC+tan(A+B)222=2bcsinA，则△ABC为等边三角形222])，点G是正方体表面上的动点，E为B1C1的中点，则下列正确的是A．直线DP与平面ADD1A1所成最小角的余弦值为B．若点N，Q分别为AB，BC的中点，平面A1NQ与B1C交于点P，则λ=C．若λ=则从点A出发沿正方体的表面到达点P的最短距离为3数学试卷（共4页）第2页三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.直线l过点P(1,)，且在两坐标轴上的截距之和等于0，则直线l的方程为.13.湖北恩施被誉为“世界硒都”，又被称为祖国的后花园．恩施有大峡谷、腾龙洞、神农溪这3个5A级景区，已知腾龙洞景区有金牌讲解员2人，大峡谷景区有金牌讲解员3人，若从这5人中随机抽取2人，则抽取的这两人来自不同景区的概率为.14.数学家笛卡尔通过研究一簇花瓣和叶形曲线特征，得到了一簇花瓣曲线的一般方程为：x3+y3=3λxy，该方程表示的曲线C就是优美的“笛卡尔叶形线”，若某种花瓣曲线特征满足（如图），该花瓣曲线上任意一点P(m,n)，则m+n的范围为.四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求：（1）“星队”在两轮活动中共猜对2个成语的概率；（2）“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率.在ΔABC中，已知点A(1,2)，过顶点C作AB的垂线，该垂线方程为x-2y-2=0.（1）求直线AB的方程；（2）若点C的坐标为(-14,-8)，且BC边的中线AD所在直线的方程为y=x+1，求直线BC的方程.2025年9月13日，以“峡谷英雄·骑遇恩施”为主题的2025中国公路自行车公开赛盛大开幕，其中志愿者的服务工作是赛事顺利举办的重要保障．恩施市文旅局承办了志愿者选拔的面试工作．现从中随机抽取了200名志愿者的面试成绩，并分成五组:第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，并绘制成如图所示的频率分布直方图.数学试卷（共4页）第3页（1）求[55,65)的频率f，并根据频率分布直方图估计样本成绩的下四分位数;（2）根据频率分布直方图估计这200名志愿者面试成绩的平均值;（3）现按比例分配采用分层随机抽样的方法从这200名面试者抽取40人作为终点拉拉队队员，其中抽到的第三组和第五组的拉拉队员组成A队，若抽到的第三组拉拉队面试者的成绩平均数和方差分别为70和22，抽到的第五组拉拉队面试者的成绩平均数和方差分别为90和12，请据此估计A队志愿者面试成绩的方差.18.（17分）如图，在三棱柱ABCMPQ中，满足PB丄平①证明：平面AOD丄平面AOQ；②求平面APQ与平面AOD的夹角的余弦值.（2）若上APB=α,求三棱锥ABPC的外接球的半径的最小值.19.（17分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bcosC=2ac.（1）求B；（2）已知b=2，且ΔABC为锐角三角形，O为其外心.②设H为垂心，I为内心，且ΔABC不是等边三角形，求比值的取值范围.数学试卷（共4页）第4页湖北省2025-2026学年度上学期高二10月月考数学参考解析1-8：CDCADCBB9.ABD10.ACD11.ABD1.【答案】C【解析】根据纯虚数定义m=0.2.【答案】D【解析】可知倾斜角α满足tanα=—故倾斜角.3.【答案】C4.【答案】A【解析】由题可得摸到白球的概率为.5.【答案】D可知6.【答案】C【解析】可知直线l1与直线l2平行，设倾斜角为则tanα=，直线l3的斜率为7.【答案】B【解析】设圆台底面圆半径分别为R，r，则圆台侧面积公式得R+r=10，又可知R—r=8，所以圆台体8.【答案】B【解析】设等边ΔABC的重心为G，记2又可得=2，所以，当=0时，S取得最小值2.【解析】对A，当a=4时，斜率为，直线l1的一个方向向量为(3,1).A对；直线l2不经过第三象限，D正确.故选：ABD数学答案（共6页）第1页数学答案（共6页）第2页即sinB=sinA或cosC=0.VABC为等腰三角形或直角三角形，故B错；故选项C正确；b22a2=2bcsinA,所以bccosA=bcsinA，所以tanA=s3.11.【答案】ABDb2b2c23故b=c，则D正确.故选:ACD.【解析】对A，直线DP与平面ADD1A1所成最小角，当且仅当P与B1 弦值为，A对；对B，若点N，Q分别为AB，BC的中点，如图，平面A1NQ与正方体的截面为A1NQC1,所以ΔPQC与ΔPC1B1相似，点Q为BC的中点，B1P=2B1C,则λ=3.B对C，若λ=，将平面B1BCC1沿B1B展开，使得平面B1BCC1与平面 B1BAA1共面，连接AP两点，则AP最短距离为.C错点重合时，线面角最小，最小角余【解析】⑴若l过点P(1,·i3)，且在两坐标轴上的截距之和等于0，则直线l过原点满足，此时直线l的方 13.【答案】【解析】大峡谷景区3人，腾龙洞景区2人，设大峡谷景区的3人分别为a1,a2,a3，腾龙洞景区2人分别则抽取的这两人来自不同景区的情况分别为：a1b1,a1b2;a2b1,a2b2;a3b1,a3b2;故抽取的这两人来自不同景区的概率为.【解析】设m+n=t，则n=-m+t，代入曲线方程得m3+(t-m)3-2m(t可得-≤t≤2，又t≠-，故线x+y=-和切线x+y=2之间.15.【解析】（1）设Ai，Bi分别表示“甲，乙两轮猜对i个成语”的事件，其中i=0,1,2.,,=×=，………………4分A0与B2，A1与B1，A2与B0相互独立，所以P(M)=P(A0B2)220)因此，“星队”在两轮活动中共猜对2个成语的概率为.………8分因此，“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率为.………………13分数学答案（共6页）第3页2x+y-4=0.………………7分（2）设点B(xB,yB)，则2xB+yB-4=0，联立解得，点B的坐标为所以，直线BC的斜率为，故直线BC的方程为2x-5y-12=0.……15分故[55,65)的频率f=0.25；………3分成绩落在[45,55)的频率为0.05，成绩[55,65)的频率为0.25设样本成绩的下四分位数为x，则0.05+×0.25=0.25，解得x=63.………5分估计200名志愿者候选者面试成绩的平均数为69.5.…9分且抽到的两组的频数之比为18:2，则抽到的A队的面试成绩的平均数为，则抽到的A队的面试成绩的的方差为57.………15分18.【解析】（1）①证明：如图，在三棱柱ABC-MPQ中，QOD∈平面OAD，:平面AOD丄平面AOQ；………5分数学答案（共6页）第4页（1）②建立OA为x轴，OC为y轴，过点O垂直于底面的直线为z轴.,P)在等腰△BCA中，设△BCA的外心是H，外接圆半径是r，据正弦定理：设外接球球心是K，则KH丄平面ABC，设外接球半径为R，即KP=KB=R，2cos2α2cos2α2+cosα=1-cos2α+12cos2α2cos2α2数学答案（共6页）第5页当且仅当，t=时等号成立.则该三棱锥A—BPC的外接球的半径的最小值5.………17分法2：本问也可