计算机控制系统 课件 第5、6章 数字控制器的模拟化设计方法、数字控制器的离散化设计方法

第5章

数字控制器的模拟化设计方法5引言在计算机控制系统设计中，目标是在既定的系统性能指标约束下,构造出数字控制器,以确保系统能够满足既定的性能标准。计算机控制系统设计的方法论通常分为模拟化设计(间接设计)方法、离散化设计(直接设计)方法以及状态空间设计方法等。本章将重点介绍数字控制器的模拟化设计方法,而其他设计策略将在后续章节中详细阐述。模拟化设计方法涉及在设计的初始阶段忽略控制回路中的采样器和零阶保持器。在满足特定系统性能指标的基础上,设计者首先在s域中对连续系统进行初步设计，以获得连续控制律D(s)；其次,通过采用不同的离散化技术，包括脉冲响应不变法、阶跃响应不变法、后向差分变换法、双线性变换法、零极点匹配法,将连续控制器转换为等效的数字控制器D(z)；最后，通过计算机程序实现这一转换。由于工程技术人员对s

平面更为熟悉，数字控制器的模拟化设计方法在实践中的应用更为广泛，也更易于被设计者接受和掌握。此外，本章将重点讨论工业领域广泛应用的数字PID控制算法，包括基本的PID控制算法、各种改进的PID控制算法以及PID控制器的参数整定方法。进而，分析采用常规控制方法处理纯滞后对象时遇到的问题，并介绍基于Smith预估补偿的数字PID控制器的设计思路与实现方法。对于这种混合的计算机控制系统,其主要设计方法或思路有两种:利用人们比较熟悉并且积累了丰富经验的各种模拟系统设计方法(也称连续域设计方法)设计出令人满意的模拟控制器,然后将其离散化成数字控制器,这就是数字控制器的模拟化设计方法;首先把模拟被控对象的连续部分离散化,然后直接在离散域设计数字控制器,这就是所谓的离散化设计（直接设计）方法。5.1模拟化设计的基本原理图5-1典型计算机控制系统结构

5.1模拟化设计的基本原理图5-2D/A转换器的等效结构

5.1模拟化设计的基本原理

5.1模拟化设计的基本原理离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递函数D(z)。“等效”是指D(s)与D(z)在以下特性方面的相近性：脉冲响应特性、阶跃响应特性、频率特性、稳态增益等。对多数熟悉连续域设计的控制工程技术人员来说,采用连续域—离散化设计并不困难,关键是掌握各种离散化方法。通常有多种离散化方法,但要求离散前后,两者必须有近似相同的动态特性,即相同的时域响应特性和频率响应特性。对于给定的连续控制器,选择合适的离散化方法是较难处理的问题。为此,设计人员必须明确,与连续控制器性能相比，期望离散化的控制器应具有什么性能。最常用的表征控制器特性的主要指标有：1)零极点个数；2)系统的频带；3)稳态增益；4)相位及增益裕度；5)阶跃响应或脉冲响应形状；6)频率响应特性等。5.2连续控制器离散化方法应注意，不同的离散化方法所具有的特性不同，离散后的脉冲传递函数与原传递函数相比，并不能保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。因此，设计者必须要了解不同方法的特点，并且要确定哪种特性是最重要的，据此来选择合适的离散化方法。离散化方法很多，主要有下述几种：1)脉冲响应不变法（z变换法）；2)阶跃响应不变法；3)后向差分变换法；4)双线性变换法；5)零极点匹配法。下面分别介绍常用的几种离散化方法。5.2连续控制器离散化方法1.脉冲响应不变法在已知模拟控制器传递函数的情况下，可按照控制理论中的各种z变换方法，直接求取数字控制器，即D(z)=Z[D(s)]。例如，用部分分式法将模拟控制器D(s)分解成如下部分分式：则可直接求得数字控制器为脉冲响应不变法形式简单,在D(s)不是很复杂的情况下易于实现。其主要特点是：1）D(z)与D(s)脉冲响应序列相同。因为这种变换方法符合z变换的定义(故这种变换方法也称为z变换法),即D(z)=Z[D(s)],所以通过对D(s)和D(z)分别进行拉普拉斯反变换和z反变换可以得到相同的脉冲响应序列。5.2连续控制器离散化方法

5.2连续控制器离散化方法图5-3z变换的频率映射关系

5.2连续控制器离散化方法阶跃响应不变法的主要特点是：1)D(z)与D(s)的阶跃响应序列相同。需要注意的是，这里的零阶保持器是为构造D(z)而加上的虚拟环节，并不是系统中的硬件环节。2)若D(s)稳定，则D(z)也稳定。由于零阶保持器的低通滤波特性，可以减少频率混叠现象，所以能保持稳态增益不变。由于D(z)内含有零阶保持器，该方法只能用于低通网络，且要求保持阶跃响应不变的系统。这种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应相同，但由于要进行z变换，同样具有z变换法的一系列缺点，所以应用亦较少。5.2连续控制器离散化方法

5.2连续控制器离散化方法图5-4脉冲响应不变法Bode图

5.2连续控制器离散化方法图5-5阶跃响应不变法Bode图

5.2连续控制器离散化方法设控制器传递函数为其微分方程为如图5-6所示，(k−1)T和kT区间内曲线e(t)下的面积用e(kT)×T的矩形面积来近似代替（后向矩形积分），得对上式两边取z变换，得比较连续传递函数也可得到s与z之间的变换关系。下面分析后向差分变换对系统性能的影响。当s=jω时，有5.2连续控制器离散化方法图5-6后向差分变换与矩形积分

5.2连续控制器离散化方法

5.2连续控制器离散化方法如图5-8所示，每个梯形面积的宽度为T，上底与下底分别为e(k−1)和e(k)，故面积：式中，u(k−1)是前(k−1)个梯形面积之和。进行z变换有

则与连续传递函数比较，也可得到s与z之间的变换关系：为纪念英国工程师Tustin对双线性变换研究的贡献，双线性变换又称为突斯汀变换。之所以称之为双线性变换是因为s与z的关系是双线性函数。下面讨论双线性变换从s平面到z平面的两次映射关系，如图5-9所示。5.2连续控制器离散化方法图5-8双线性变换与梯形积分

图5-9双线性变换的频率映射关系

5.2连续控制器离散化方法将双线性变换的特点总结如下：1)若D(s)稳定，则D(z)也稳定。2)变换前后的频率响应发生畸变。3)不存在频率混叠现象。4)双线性变换可保持环节稳态增益不变，连续控制器离散化后无需修正稳态增益；该方法精度高于差分变换法，使用便捷，工程应用广泛，但存在频率畸变问题，高频特性失真严重，适合低通环节离散化，不适合高通环节。5.2连续控制器离散化方法

5.2连续控制器离散化方法

5.2连续控制器离散化方法图5-10后向差分变换法Bode图

5.2连续控制器离散化方法图5-11双线性变换法Bode图

5.2连续控制器离散化方法

5.2连续控制器离散化方法

5.2连续控制器离散化方法图5-12零极点匹配法Bode图

5.3数字PID控制器设计

5.3数字PID控制器设计2.增量式数字PID控制算法上述表达式中,对于积分项的求取,需使用整个控制过程的输入值e(i),计算复杂,占内存多,一般常采用增量算式。将上述位置算式以k−1代换k后,再求u(k)−u(k−1),整理后得到以下增量式PID算法：计算机仅输出控制量的增量∆u(k)，它仅对应执行机构（如阀门）位置的改变量，故称增量式算法。增量式算法比位置式算法应用得更普遍些，主要原因是增量式算法有下述优点：1)该方法较为安全。因为一旦计算机出现故障,输出控制指令为零时,执行机构的位置(如阀门的开度)仍可保持前一步的位置,不会给被控对象带来较大的扰动。2)该方法在计算时不需要进行累加,仅需最近几次误差的采样值。由式(5-45)可见，控制量的增量计算非常简单,通常采用平移法将历史数据e(k−1)和e(k−2)保存起来，即可完成计算。实际应用中究竟使用位置式PID算法还是增量式PID算法,关键看执行机构的特性,这点应引起足够的重视。如果执行机构具有积分特性部件(如步进电动机、具有齿轮传递特性的位置执行机构等),则应该采用增量式PID算法；如果执行机构没有积分特性部件,则应该采用位置式PID算法。5.3数字PID控制器设计

5.3数字PID控制器设计2.不完全微分PID控制算法引入微分改善了系统的动态特性，但由于微分放大噪声的作用，也极易引进高频干扰。因此，在实现PID控制时，除了要限制微分增益外，还要对信号进行平滑处理，消除高频噪声的影响。理想微分控制作用对于幅值变化快的强扰动反应过快，而工业执行机构动作速度相对比较缓慢，不能及时响应微分控制作用，因而不能充分发挥微分控制改善系统动态性能的作用。理想微分控制、对偏差信号中夹杂的噪声干扰十分敏感，即使噪声干扰的幅值很小,只要它的频率较高,经理想微分后，就会产生较大的噪声输出,影响控制精度,为了抑制高频干扰，克服微分失控现象,研究出了不完全微分PID控制算法。不完全微分PID控制算法源于模拟PID控制器,如图5-13所示,在微分项支路上增加低通滤波器。5.3数字PID控制器设计图5-13不完全微分PID控制算法

5.3数字PID控制器设计图5-14不完全微分作用示意图3.微分先行PID控制算法在给定值频繁升降变换的场合，为了避免系统超调量过大甚至发生振荡，导致执行机构剧烈动作，需对模拟PID控制器进行改进，从而出现了微分先行PID控制器。微分先行是指把微分运算放在最前面，后面再紧跟比例和积分运算。它有两种结构：图5-15a是对偏差值微分，也就是对给定值和输出量都有微分作用，这种改进的PID控制算法适合于给定值频繁升降的场合，可以避免升降给定值引起的超调量过大；图5-15b是只对输出量y(t)微分，而不对给定值r(t)微分，这种改进方案适用于串级控制的副控制回路。5.3数字PID控制器设计图5-15微分先行结构图4.带死区的数字PID控制算法有些工业控制过程（如水塔的水位控制），不必要将被控量控制在很精确的控制点上，而只是让其控制在一定范围内即可，因为频繁的动作可能使执行机构负担过重，甚至损坏机械设备。这时就要采用带死区的PID控制，其结构如图5-16所示。死区算法为带死区的增量式PID控制算法为带死区的位置式PID控制算法为5.3数字PID控制器设计图5-16带死区的PID控制器结构

5.3数字PID控制器设计

5.3数字PID控制器设计

5.3数字PID控制器设计图5-17系统的临界振荡曲线

5.3数字PID控制器设计表5-1按扩充临界比例度法整定参数

5.3数字PID控制器设计图5-18扩充响应曲线法的曲线作图

5.3数字PID控制器设计表5-2按扩充响应曲线法整定参数

5.3数字PID控制器设计

5.3数字PID控制器设计

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计图5-19带钢冷连轧厚度控制系统原理图

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计图5-20带滞后环节的常规反馈控制系统

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计图5-21串联滞后环节的反馈控制系统图5-22Smith预估补偿控制初步方案

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计图5-23Smith预估补偿PID控制系统

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计5.4.2Smith预估补偿数字PID控制策略Smith预估补偿数字PID控制策略用计算机实现非常方便。为了便于计算,将图5-23等效变换成图5-24。用计算机实现的Smith预估补偿控制系统如图5-25所示。可以看出,Smith预估补偿的数字PID控制器由两部分组成：一部分是由D(s)离散化得到的数字PID控制器D(z)；另一部分是Smith预估补偿器。如果数字PID的控制算法是已知的,控制器设计的核心问题就是Smith预估补偿器的数字算法。5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计图5-24等效的Smith预估补偿控制系统图5-25数字Smith预估补偿PID控制系统

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计利用式（5-66）就可以在计算机上实现差分方程。由图5-26可得为了便于计算机编程实现，令由式（5-68）和式（5-67）可得Smith预估补偿器的差分方程为5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计图5-27Smith预估补偿器（二）由图5-27可得

令由式(5-75)和式(5-74)可得Smith预估补偿器的差分方程为3）设对象特性为Smith预估补偿器的传递函数为5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计图5-28Smith预估补偿器（三）

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计图5-29Smith预估补偿器（四）由图5-29可得

令由式（5-89）和式（5-88）可得Smith预估补偿器的差分方程为5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计图5-30产生纯滞后的存储单元结构图

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计图5-31Smith预估器的完全抗干扰改进方案由此得新增的反馈环节为Smith预估器的完全抗干扰改进方案可以实现完全跟踪或完全无偏差控制。对于图5-31所示的系统输入R(s)，系统的闭环传递函数为将式（5-97）代入式（5-98）得可见，只要按照式（5-97）来设计新增反馈环节，则图5-31所示系统不仅可以实现完全抗干扰控制，还可以实现完全跟踪或完全无偏差控制。这是非常理想的结果，也是Smith预估器的完全抗干扰改进方案所表现出来的一个突出优点。5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计图5-32增益自适应Smith预估补偿控制方案

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计

5.4Smith预估补偿数字PID控制器设计

5.5实例仿真

5.5实例仿真图5-33单位阶跃输入时系统控制量波形

图5-34单位阶跃输入时系统输出量波形

5.5实例仿真

5.5实例仿真图5-35单位阶跃输入时系统控制量波形

图5-36单位阶跃输入时系统输出量波形1）数字控制器模拟化设计的关键环节在于连续控制器的离散化过程，而在理解离散化方法时，应特别关注变换对系统性能的影响，尤其是对系统稳定性和频率响应特性的潜在影响。在实际应用中，后向差分变换法、双线性变换法、零极点匹配法等均为有效的变换方法，其中双线性变换法因其卓越的性能和广泛的工程应用而备受推崇。2）数字PID控制器作为工业控制领域中最广泛应用的实用控制器，本章对其进行了详细阐述，包括位置式和增量式两种基本的PID控制算法。同时，本章还介绍了几种经过改进的PID控制算法，如积分分离的数字PID控制算法、带死区的数字PID控制算法、不完全微分PID控制算法和微分先行PID控制算法。在理解带死区的数字PID控制算法时，特别需要关注积分保持特性的影响。PID控制器的参数整定方法主要源于工程实践，掌握这些方法的前提是深入理解PID控制算法各参数变化对系统性能的具体影响。3）Smith预估控制是一种针对纯滞后对象的基于模型的控制策略。深刻理解Smith预估控制的设计理念，并掌握其数字PID控制器的设计方法，对于控制系统设计至关重要。本章介绍的两种Smith预估控制的改进方案各具特色：Smith预估器的完全抗干扰改进方案不仅能实现完全的抗干扰能力，且与干扰信号的位置和形式无关，同时确保了完全无偏差的跟踪控制；而增益自适应Smith预估补偿控制方案则能够使预估模型增益自适应地跟随过程模型增益的变化，从而提高控制的灵活性和适应性。本章小结第6章数字控制器的离散化设计方法第5章所探讨的模拟化设计方法虽为无法准确获取被控对象数学模型时提供了实用且有效的数字化控制器设计途径，允许设计者充分利用成熟的连续系统设计技术，但其本质上是一种近似设计，主要适用于简单控制策略且要求采样周期足够小，当采样周期不显著小于被控对象时间常数或对系统性能要求较高时，将离散系统近似为连续系统可能导致设计与实际存在较大偏差，甚至使控制系统无法达到预期性能。随着离散控制方法研究的深入和工程应用的普及，直接在离散域内设计控制器的方法日益受到重视，该方法基于采样理论，利用z变换作为工具，根据离散系统性能指标要求直接在z域进行控制器设计，完全基于采样系统特性进行分析与综合，相较于模拟化设计具有更普遍的意义。本章将从离散系统性能指标要求（涵盖时域与频域指标）出发，系统阐述z平面根轨迹设计的基本原理与方法步骤，详细探讨最小拍控制器的基本原理及针对简单和复杂对象的离散化设计方法，深入介绍大林算法的设计原理及振铃现象的解决措施，并通过云台电动机伺服控制的z平面根轨迹设计、电阻炉温度控制的最小拍控制和大林算法设计等应用实例，全面验证所介绍的经典数字控制器离散化设计方法的有效性，从而构建从理论分析到工程实践的完整设计体系。引言在计算机控制系统设计中，目标是在既定的系统性能指标约束下,构造出数字控制器,以确保系统能够满足既定的性能标准。计算机控制系统设计的方法论通常分为模拟化设计(间接设计)方法、离散化设计(直接设计)方法以及状态空间设计方法等。本章将重点介绍数字控制器的模拟化设计方法,而其他设计策略将在后续章节中详细阐述。模拟化设计方法涉及在设计的初始阶段忽略控制回路中的采样器和零阶保持器。在满足特定系统性能指标的基础上,设计者首先在s域中对连续系统进行初步设计，以获得连续控制律D(s)；其次,通过采用不同的离散化技术，包括脉冲响应不变法、阶跃响应不变法、后向差分变换法、双线性变换法、零极点匹配法,将连续控制器转换为等效的数字控制器D(z)；最后，通过计算机程序实现这一转换。由于工程技术人员对s

平面更为熟悉，数字控制器的模拟化设计方法在实践中的应用更为广泛，也更易于被设计者接受和掌握。此外，本章将重点讨论工业领域广泛应用的数字PID控制算法，包括基本的PID控制算法、各种改进的PID控制算法以及PID控制器的参数整定方法。进而，分析采用常规控制方法处理纯滞后对象时遇到的问题，并介绍基于Smith预估补偿的数字PID控制器的设计思路与实现方法。5数字控制器的模拟化设计方法在进行控制系统设计之前，除了应知道系统的组成结构和参数外，还应知道系统的全部性能指标要求。性能指标通常是由使用单位或被控对象的设计制作单位提出的。不同的控制系统对性能指标的要求也有不同的侧重。性能指标的提出，应符合实际系统的需要和可能。首先，应确保系统稳定。随后，控制系统性能指标可分为稳态性能指标和动态性能指标，而动态性能指标又可分为时域性能指标和频域性能指标。6.1.1时域性能指标要求在离散域进行设计时，多数计算机控制系统的被控对象是连续的，因此，设计时所给定的性能指标要求基本上与连续系统设计时相同。然而，在从连续域设计转移到离散域设计时，连续系统的性能指标需要转换为离散系统的性能指标，这需要考虑如何将连续系统的性能指标转换为z平面上的描述。关于稳定性要求和稳态性能指标已在第4章详细论述，本节重点讨论系统动态特性指标。动态特性主要以系统单位阶跃响应的上升时间、峰值时间、超调量和调节时间来表示。其动态指标通常由系统的零极点分布决定，但对于高阶系统来说，计算这些指标往往较为复杂和困难。但在很多情况下，高阶系统中都有一对主导极点，这时可把高阶系统近似看作二阶系统来研究，忽略非主导极点的作用，就可以近似估计出高阶系统的动态性能。6.1离散系统性能指标要求以二阶系统为例，其传递函数为

其特征根为其中实部和虚部的绝对值为式（6-1）的单位阶跃响应表达式为根据上式可求得动态指标如下：超调量：峰值时间：6.1离散系统性能指标要求

6.1离散系统性能指标要求时域指标与s平面及z平面对应轨迹的具体关系归纳为表6-1。其中，有关s平面到z平面的映射过程详见4.1.2节。在z平面上，若闭环系统极点位于上述3条轨迹：等ξ轨迹—对数螺旋线；等Im(s)轨迹—射线；等Re(s)轨迹—同心圆的包围区域内，则可以满足给定动态性能指标要求。6.1离散系统性能指标要求表6-1时域指标与s平面及z平面对应轨迹的具体关系

6.1离散系统性能指标要求图6-1特征根位置

6.1离散系统性能指标要求图6-2典型开环对数幅频特性

6.1离散系统性能指标要求

6.1离散系统性能指标要求

6.2z域根轨迹设计方法图6-5离散控制系统

6.2z域根轨迹设计方法

6.2z域根轨迹设计方法

6.2z域根轨迹设计方法

6.2z域根轨迹设计方法图6-6相位超前控制器零、极点的分布图6-7相位滞后控制器零、极点的分布

6.2z域根轨迹设计方法图6-8不精确对消的根轨迹

6.2z域根轨迹设计方法

6.2z域根轨迹设计方法图6-9D(z)=k

时根轨迹

6.2z域根轨迹设计方法图6-10D(z)=k(z-0.3679)/z时根轨迹最终，满足所有时域指标要求，如图6-11和图6-12所示。6.2z域根轨迹设计方法图6-11例6-2单位阶跃响应曲线图6-12例6-2单位速度响应曲线离散控制系统直接设计法立足于被控对象特性，建立对象离散模型，依托采样系统理论直接完成离散系统分析与综合，推导合适的控制规律，保证数字控制器满足稳定性、稳态精度与动态快速性要求。该方法无需近似假设，不忽略零阶保持器，相比模拟化设计方法拥有更高设计精度。一个控制系统，应按物理可实现性、稳定性、准确性、快速性等指标进行设计。1）物理可实现性是指设计的控制器必须在物理上是可实现的。2）稳定性是指系统受扰动偏离平衡位置，扰动消失后能够自主恢复至原有平衡状态的特性。若有界输入u作用下系统输出响应y保持有界或收敛，则系统输出稳定。倘若控制器输出无界，系统输出必然无界，对应系统不稳定。因此设计控制器时，必须保证控制器输出收敛。

3）准确性是指系统对稳态误差的要求，要求稳态误差为零或在某个精度范围内。若稳态误差为零，则称为无差系统。4）快速性体现为系统输出跟踪输入所需调节时间，要求调节时间尽可能短。当误差达到设定稳态精度时，认为调节过程结束。离散系统按采样周期分步调节，单个采样周期称作一拍。若系统能够在有限拍内完成调节且所需拍数最少，则为最小拍系统，最小拍控制属于时间最优控制。

6.3最小拍控制器设计方法最小拍控制又称为有限拍控制。数字控制系统中将单个采样周期定义为一拍。最小拍控制针对单位阶跃、单位速度、单位加速度等典型输入信号，追求最快响应速度，能够以最少采样周期使系统稳态误差降为零。6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法图6-13计算机控制系统的结构图

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法（1）单位阶跃输入（q=1）闭环脉冲传递函数为误差为输出为可见，只需1拍（一个采样周期），输出就能跟踪输入，在采样点处的稳态误差为0。系统输出响应曲线与误差输出曲线分别如图6-14和图6-15所示。6.3最小拍控制器设计方法图6-14单位阶跃输入的输出响应图6-15单位阶跃输入的误差曲线（2）单位速度输入（q=2）闭环脉冲传递函数为误差为输出为可见，只需2拍，输出就能跟踪输入，在采样点处

的稳态误差为0。系统输出响应曲线与误差输出曲线分别如图6-16和图6-17所示。6.3最小拍控制器设计方法图6-16单位速度输入的输出响应

图6-17单位速度输入的误差曲线（3）单位加速度输入（q=3）闭环脉冲传递函数为误差为输出为可见，只需3拍，输出就能跟踪输入，在采样点处的稳态误差为0。系统输出响应曲线与误差输出曲线分别如图6-18和图6-19所示。6.3最小拍控制器设计方法图6-18单位加速度输入的输出响应图6-19单位加速度输入的误差曲线总结上述三种典型输入的最小拍控制系统的结果如表6-2所示。6.3最小拍控制器设计方法表6-2典型输入的最小拍控制系统

6.3最小拍控制器设计方法上式中各项系数即为输出y(t)在各个采样时刻的数值,即此时，控制器输出的控制序列z变换为系统的响应信号y(t)和控制信号u(t)曲线分别如图6-20和图6-21所示。可以看出，当系统输入为单位加速度时，经过2拍以后，输出量完全等于输入采样值，但是在采样点之间存在着一定的偏差，即存在纹波。因此,该最小拍数字控制器也称有纹波最小拍数字控制器,且控制器输出的控制序列u(k)是振荡收敛的，控制器的输出也是稳定的。但是,其振荡收敛的特性引起了输出的纹波存在。6.3最小拍控制器设计方法图6-20例6-3系统单位速度响应曲线

图6-21例6-3系统控制曲线

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法图6-22系统输出响应

图6-23输入信号改变时仿真波形图

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

有等式成立，即

解得

所以求得最小拍有纹波控制器D(z)如下：

进一步求得误差为6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法图6-24例6-4系统单位速度响应曲线

图6-25例6-4系统控制曲线

6.3最小拍控制器设计方法对单位阶跃输入信号，确定

有等式成立，即

解得

故

则6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法图6-26例6-5系统单位阶跃响应曲线

图6-27例6-5系统控制曲线

6.3最小拍控制器设计方法2.最小拍无纹波系统在最小拍误差系统中，系统输出在采样点之间存在纹波，不仅会造成输出偏差，而且会增加执行机构的机械磨损，应设法消除。因此，针对所设计的系统，要求经过尽可能少的采样周期之后，系统达到稳定，输出误差为零，并且在采样点之间没有振荡，即在采样点时刻输出完全跟踪输入。产生纹波的原因是控制量u(k)并没有变为恒定值（常数或零），若使控制器的输出u(k)在系统跟踪上输入信号后不再波动，即变成常数，就可使系统输出在稳态过程中无纹波。数字控制器输出信号u(k)的z变换展开为如果经过n个采样周期达到稳态，无纹波系统要求u(n),u(n+1),相等，于是有6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

解得

故求得最小拍无纹波控制器D(z)如下：

进一步求得误差为

输出响应为6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法图6-28例6-6系统单位速度响应曲线

图6-29例6-6系统控制曲线

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.4大林算法

6.4大林算法

6.4大林算法

6.4大林算法

6.4大林算法图6-30例6-7系统阶跃响应曲线

图6-31例6-7系统控制信号曲线

6.4大林算法单位阶跃信号作用下，系统的控制信号曲线和输出响应曲线如图6-32和图6-33所示。由图可见，控制信号序列u(k)振荡收敛，振荡周期为4s；系统响应信号y(k)无超调地趋于稳态值，过渡过程时间约为65s，控制信号的振荡对系统输出没有明显影响。6.4大林算法图6-32例6-8系统控制信号曲线

图6-3