2025-2026年考研数学一线性代数矩阵相似与合同习题

2025-2026年考研数学一线性代数矩阵相似与合同习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，则下列矩阵中一定为对称矩阵的是（）A.B^TABB.BAB^TC.B^TAB^TD.BA^TB解析：本题考查矩阵的对称性性质。实对称矩阵的定义是矩阵等于其转置矩阵，即A=A^T。对于选项A，B^TAB，其转置为(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB，因此B^TAB仍为对称矩阵。对于选项B，BAB^T的转置为(BAB^T)^T=(B^T)^TA^TB^T=BAB^T，因此BAB^T也是对称矩阵。对于选项C，B^TAB^T的转置为(B^TAB^T)^T=(B^T)^TA^T(B^T)^T=B^TAB^T，因此B^TAB^T也是对称矩阵。对于选项D，BA^TB的转置为(BA^TB)^T=(B^T)^T(A^T)^TB^T=BAB^T，因此BA^TB不是对称矩阵。正确答案为A。2.设A为n阶矩阵，B为n阶可逆矩阵，若A与B相似，则下列说法正确的是（）A.A与B合同B.A与B有相同的特征值C.A与B有相同的特征向量D.A与B有相同的行列式解析：本题考查矩阵相似的性质。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵具有相同的特征值，但特征向量不一定相同，因为特征向量需要通过相似变换才能相互转换。相似矩阵的行列式相等，但合同矩阵的行列式不一定相等。因此，正确答案为B。3.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数，则下列说法正确的是（）A.A一定可逆B.A一定正定C.A一定半正定D.A一定负定解析：本题考查实对称矩阵的性质。实对称矩阵的特征值均为实数，且A的特征值均为正数，根据实对称矩阵的正定性定义，A是正定矩阵。正定矩阵一定可逆，但可逆矩阵不一定是正定矩阵。半正定矩阵的特征值均为非负数，负定矩阵的特征值均为负数。因此，正确答案为B。4.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且A与B相似，则下列说法正确的是（）A.A与B合同B.A与B有相同的特征值C.A与B有相同的特征向量D.A与B有相同的行列式解析：本题考查矩阵相似的性质。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵具有相同的特征值，但特征向量不一定相同，因为特征向量需要通过相似变换才能相互转换。相似矩阵的行列式相等，但合同矩阵的行列式不一定相等。因此，正确答案为B。5.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，则下列矩阵中一定为正定矩阵的是（）A.B^TABB.BAB^TC.B^TAB^TD.BA^TB解析：本题考查正定矩阵的性质。实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值均为正数。对于选项A，B^TAB，由于A是实对称矩阵，B是可逆矩阵，因此B^TAB也是实对称矩阵。如果A是正定矩阵，则A的特征值均为正数，B^TAB的特征值也是正数，因此B^TAB是正定矩阵。对于选项B，BAB^T，由于A是实对称矩阵，B是可逆矩阵，因此BAB^T也是实对称矩阵。如果A是正定矩阵，则A的特征值均为正数，BAB^T的特征值也是正数，因此BAB^T是正定矩阵。对于选项C，B^TAB^T，由于A是实对称矩阵，B是可逆矩阵，因此B^TAB^T也是实对称矩阵。如果A是正定矩阵，则A的特征值均为正数，B^TAB^T的特征值也是正数，因此B^TAB^T是正定矩阵。对于选项D，BA^TB，由于A是实对称矩阵，B是可逆矩阵，因此BA^TB也是实对称矩阵。如果A是正定矩阵，则A的特征值均为正数，BA^TB的特征值也是正数，因此BA^TB是正定矩阵。正确答案为A。6.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且A与B相似，则下列说法正确的是（）A.A与B合同B.A与B有相同的特征值C.A与B有相同的特征向量D.A与B有相同的行列式解析：本题考查矩阵相似的性质。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵具有相同的特征值，但特征向量不一定相同，因为特征向量需要通过相似变换才能相互转换。相似矩阵的行列式相等，但合同矩阵的行列式不一定相等。因此，正确答案为B。7.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数，则下列说法正确的是（）A.A一定可逆B.A一定正定C.A一定半正定D.A一定负定解析：本题考查实对称矩阵的性质。实对称矩阵的特征值均为实数，且A的特征值均为正数，根据实对称矩阵的正定性定义，A是正定矩阵。正定矩阵一定可逆，但可逆矩阵不一定是正定矩阵。半正定矩阵的特征值均为非负数，负定矩阵的特征值均为负数。因此，正确答案为B。8.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且A与B相似，则下列说法正确的是（）A.A与B合同B.A与B有相同的特征值C.A与B有相同的特征向量D.A与B有相同的行列式解析：本题考查矩阵相似的性质。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵具有相同的特征值，但特征向量不一定相同，因为特征向量需要通过相似变换才能相互转换。相似矩阵的行列式相等，但合同矩阵的行列式不一定相等。因此，正确答案为B。9.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，则下列矩阵中一定为正定矩阵的是（）A.B^TABB.BAB^TC.B^TAB^TD.BA^TB解析：本题考查正定矩阵的性质。实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值均为正数。对于选项A，B^TAB，由于A是实对称矩阵，B是可逆矩阵，因此B^TAB也是实对称矩阵。如果A是正定矩阵，则A的特征值均为正数，B^TAB的特征值也是正数，因此B^TAB是正定矩阵。对于选项B，BAB^T，由于A是实对称矩阵，B是可逆矩阵，因此BAB^T也是实对称矩阵。如果A是正定矩阵，则A的特征值均为正数，BAB^T的特征值也是正数，因此BAB^T是正定矩阵。对于选项C，B^TAB^T，由于A是实对称矩阵，B是可逆矩阵，因此B^TAB^T也是实对称矩阵。如果A是正定矩阵，则A的特征值均为正数，B^TAB^T的特征值也是正数，因此B^TAB^T是正定矩阵。对于选项D，BA^TB，由于A是实对称矩阵，B是可逆矩阵，因此BA^TB也是实对称矩阵。如果A是正定矩阵，则A的特征值均为正数，BA^TB的特征值也是正数，因此BA^TB是正定矩阵。正确答案为A。10.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且A与B相似，则下列说法正确的是（）A.A与B合同B.A与B有相同的特征值C.A与B有相同的特征向量D.A与B有相同的行列式解析：本题考查矩阵相似的性质。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵具有相同的特征值，但特征向量不一定相同，因为特征向量需要通过相似变换才能相互转换。相似矩阵的行列式相等，但合同矩阵的行列式不一定相等。因此，正确答案为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得____________。解析：本题考查矩阵相似的定义。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。因此，答案为A=PBP^(-1)。2.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数，则A是____________矩阵。解析：本题考查实对称矩阵的正定性定义。实对称矩阵的特征值均为实数，且A的特征值均为正数，根据实对称矩阵的正定性定义，A是正定矩阵。因此，答案为正定。3.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且A与B相似，则A与B的____________相同。解析：本题考查矩阵相似的性质。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵具有相同的特征值。因此，答案为特征值。4.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，则下列矩阵中一定为正定矩阵的是____________。解析：本题考查正定矩阵的性质。实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值均为正数。对于选项A，B^TAB，由于A是实对称矩阵，B是可逆矩阵，因此B^TAB也是实对称矩阵。如果A是正定矩阵，则A的特征值均为正数，B^TAB的特征值也是正数，因此B^TAB是正定矩阵。因此，答案为B^TAB。5.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且A与B相似，则下列说法正确的是____________。解析：本题考查矩阵相似的性质。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵具有相同的特征值。因此，答案为A与B有相同的特征值。6.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数，则A的____________均为正数。解析：本题考查实对称矩阵的特征值性质。实对称矩阵的特征值均为实数，且A的特征值均为正数。因此，答案为特征值。7.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且A与B相似，则____________。解析：本题考查矩阵相似的性质。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵的行列式相等。因此，答案为A与B的行列式相等。8.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，则下列矩阵中一定为正定矩阵的是____________。解析：本题考查正定矩阵的性质。实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值均为正数。对于选项A，B^TAB，由于A是实对称矩阵，B是可逆矩阵，因此B^TAB也是实对称矩阵。如果A是正定矩阵，则A的特征值均为正数，B^TAB的特征值也是正数，因此B^TAB是正定矩阵。因此，答案为B^TAB。9.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且A与B相似，则____________。解析：本题考查矩阵相似的性质。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵的特征向量不一定相同。因此，答案为A与B的特征向量不一定相同。10.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数，则A的____________均为正数。解析：本题考查实对称矩阵的特征值性质。实对称矩阵的特征值均为实数，且A的特征值均为正数。因此，答案为特征值。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请判断下列命题的正误，正确的填“√”，错误的填“×”。）1.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且A与B相似，则A与B合同。（×）解析：本题考查矩阵相似与合同的区别。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。矩阵A与B合同的定义是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。相似矩阵不一定是合同矩阵，合同矩阵也不一定是相似矩阵。因此，答案为×。2.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，则下列矩阵中一定为正定矩阵的是B^TAB。（√）解析：本题考查正定矩阵的性质。实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值均为正数。对于B^TAB，由于A是实对称矩阵，B是可逆矩阵，因此B^TAB也是实对称矩阵。如果A是正定矩阵，则A的特征值均为正数，B^TAB的特征值也是正数，因此B^TAB是正定矩阵。因此，答案为√。3.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且A与B相似，则A与B有相同的特征值。（√）解析：本题考查矩阵相似的性质。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵具有相同的特征值。因此，答案为√。4.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数，则A一定可逆。（√）解析：本题考查实对称矩阵的可逆性。实对称矩阵的特征值均为实数，且A的特征值均为正数，因此A的可逆矩阵存在。因此，答案为√。5.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且A与B相似，则A与B有相同的特征向量。（×）解析：本题考查矩阵相似的特征向量性质。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵的特征向量需要通过相似变换才能相互转换，因此A与B的特征向量不一定相同。因此，答案为×。6.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，则下列矩阵中一定为正定矩阵的是BAB^T。（×）解析：本题考查正定矩阵的性质。实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值均为正数。对于BAB^T，由于A是实对称矩阵，B是可逆矩阵，因此BAB^T也是实对称矩阵。如果A是正定矩阵，则A的特征值均为正数，BAB^T的特征值也是正数，因此BAB^T是正定矩阵。因此，答案为×。7.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且A与B相似，则A与B的行列式相等。（√）解析：本题考查矩阵相似的性质。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵的行列式相等。因此，答案为√。8.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数，则A一定正定。（√）解析：本题考查实对称矩阵的正定性定义。实对称矩阵的特征值均为实数，且A的特征值均为正数，根据实对称矩阵的正定性定义，A是正定矩阵。因此，答案为√。9.设A为n阶矩阵，B为n阶矩阵，且A与B相似，则A与B合同。（×）解析：本题考查矩阵相似与合同的区别。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。矩阵A与B合同的定义是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。相似矩阵不一定是合同矩阵，合同矩阵也不一定是相似矩阵。因此，答案为×。10.设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数，则A的行列式均为正数。（√）解析：本题考查实对称矩阵的行列式性质。实对称矩阵的特征值均为实数，且A的特征值均为正数，因此A的行列式为正数。因此，答案为√。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请简要回答下列问题。）1.简述矩阵相似的定义及其性质。解析：矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵具有以下性质：（1）特征值相同；（2）行列式相等；（3）秩相同；（4）迹相同；（5）可逆性相同。2.简述实对称矩阵正定的定义及其充分必要条件。解析：实对称矩阵A正定的定义是A的特征值均为正数。实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值均为正数。3.简述矩阵合同的定义及其性质。解析：矩阵A与B合同的定义是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。合同矩阵具有以下性质：（1）秩相同；（2）行列式符号相同；（3）特征值符号相同。4.简述矩阵相似与合同的区别。解析：矩阵相似与合同的区别在于相似变换与合同变换的不同。矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。矩阵A与B合同的定义是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。相似变换不改变矩阵的特征值，而合同变换不改变矩阵的惯性指数。5.简述实对称矩阵的特征值性质。解析：实对称矩阵的特征值均为实数，且实对称矩阵可以对角化，即存在正交矩阵P，使得A=PDP^T，其中D为对角矩阵，对角线元素为A的特征值。6.简述矩阵相似与合同的条件。解析：矩阵A与B相似的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。矩阵A与B合同的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。7.简述实对称矩阵正定的充分必要条件。解析：实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值均为正数。8.简述矩阵相似与合同的性质。解析：矩阵相似与合同的性质包括：（1）相似矩阵的特征值相同；（2）合同矩阵的秩相同；（3）相似矩阵的行列式相等；（4）合同矩阵的行列式符号相同。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请结合具体案例回答下列问题。）1.设A为3阶矩阵，A的特征值为1，2，3，求A的行列式和迹。解析：矩阵A的行列式等于其特征值的乘积，即|A|=1×2×3=6。矩阵A的迹等于其特征值的和，即tr(A)=1+2+3=6。2.设A为3阶实对称矩阵，A的特征值为1，2，3，求A的行列式和迹。解析：矩阵A的行列式等于其特征值的乘积，即|A|=1×2×3=6。矩阵A的迹等于其特征值的和，即tr(A)=1+2+3=6。3.设A为3阶矩阵，A的特征值为1，2，3，且A与B相似，求B的特征值。解析：矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵的特征值相同，因此B的特征值也为1，2，3。4.设A为3阶实对称矩阵，A的特征值为1，2，3，且A与B合同，求B的惯性指数。解析：矩阵A与B合同的定义是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。合同矩阵的惯性指数相同，即正特征值的个数、负特征值的个数和零特征值的个数相同。因此，B的惯性指数为（3，0，0）。5.设A为3阶矩阵，A的特征值为1，2，3，且A与B相似，求A与B的行列式。解析：矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵的行列式相等，因此|A|=|B|=1×2×3=6。6.设A为3阶实对称矩阵，A的特征值为1，2，3，且A与B合同，求A与B的秩。解析：矩阵A与B合同的定义是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。合同矩阵的秩相同，因此rank(A)=rank(B)=3。7.设A为3阶矩阵，A的特征值为1，2，3，且A与B相似，求A与B的迹。解析：矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵的迹相同，因此tr(A)=tr(B)=1+2+3=6。8.设A为3阶实对称矩阵，A的特征值为1，2，3，且A与B合同，求A与B的行列式符号。解析：矩阵A与B合同的定义是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。合同矩阵的行列式符号相同，因此|A|和|B|的符号相同。由于A的特征值为1，2，3，均为正数，因此|A|>0，|B|>0。六、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分。请结合具体案例论述下列问题。）1.论述矩阵相似的性质及其应用。解析：矩阵相似的性质包括：（1）特征值相同；（2）行列式相等；（3）秩相同；（4）迹相同；（5）可逆性相同。矩阵相似的应用包括：（1）简化矩阵计算，例如将矩阵对角化；（2）判断矩阵是否可对角化；（3）研究矩阵的性质，例如特征值、行列式、秩等。2.论述实对称矩阵正定的性质及其应用。解析：实对称矩阵正定的性质包括：（1）特征值均为正数；（2）行列式为正数；（3）可逆矩阵存在；（4）可以对角化。实对称矩阵正定的应用包括：（1）判断矩阵是否正定；（2）求解优化问题；（3）研究物理问题，例如力学、热力学等。3.论述矩阵合同的性质及其应用。解析：矩阵合同的性质包括：（1）秩相同；（2）行列式符号相同；（3）特征值符号相同。矩阵合同的应用包括：（1）判断矩阵是否合同；（2）研究矩阵的惯性指数；（3）研究二次型的问题。4.论述矩阵相似与合同的区别及其应用。解析：矩阵相似与合同的区别在于相似变换与合同变换的不同。矩阵相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。矩阵合同的定义是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。相似变换不改变矩阵的特征值，而合同变换不改变矩阵的惯性指数。矩阵相似与合同的应用包括：（1）判断矩阵是否相似或合同；（2）研究矩阵的性质，例如特征值、行列式、秩、惯性指数等。5.论述实对称矩阵的特征值性质及其应用。解析：实对称矩阵的特征值性质包括：（1）特征值均为实数；（2）可以对角化；（3）特征向量正交。实对称矩阵的特征值性质的应用包括：（1）将实对称矩阵对角化；（2）求解线性方程组；（3）研究物理问题，例如力学、热力学等。6.论述矩阵相似与合同的条件及其应用。解析：矩阵相似的条件是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。矩阵合同的条件是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。矩阵相似与合同的应用包括：（1）判断矩阵是否相似或合同；（2）研究矩阵的性质，例如特征值、行列式、秩、惯性指数等。7.论述实对称矩阵正定的充分必要条件及其应用。解析：实对称矩阵正定的充分必要条件是特征值均为正数。实对称矩阵正定的应用包括：（1）判断矩阵是否正定；（2）求解优化问题；（3）研究物理问题，例如力学、热力学等。8.论述矩阵相似与合同的性质及其应用。解析：矩阵相似与合同的性质包括：（1）相似矩阵的特征值相同；（2）合同矩阵的秩相同；（3）相似矩阵的行列式相等；（4）合同矩阵的行列式符号相同。矩阵相似与合同的应用包括：（1）判断矩阵是否相似或合同；（2）研究矩阵的性质，例如特征值、行列式、秩、惯性指数等。9.论述实对称矩阵的特征值性质及其应用。解析：实对称矩阵的特征值性质包括：（1）特征值均为实数；（2）可以对角化；（3）特征向量正交。实对称矩阵的特征值性质的应用包括：（1）将实对称矩阵对角化；（2）求解线性方程组；（3）研究物理问题，例如力学、热力学等。10.论述矩阵相似与合同的条件及其应用。解析：矩阵相似的条件是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。矩阵合同的条件是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。矩阵相似与合同的应用包括：（1）判断矩阵是否相似或合同；（2）研究矩阵的性质，例如特征值、行列式、秩、惯性指数等。11.论述实对称矩阵正定的充分必要条件及其应用。解析：实对称矩阵正定的充分必要条件是特征值均为正数。实对称矩阵正定的应用包括：（1）判断矩阵是否正定；（2）求解优化问题；（3）研究物理问题，例如力学、热力学等。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.B4.B5.A6.B7.B8.B9.A10.B二、填空题1.A=PBP^(-1)2.正定3.特征值4.B^TAB5.A与B有相同的特征值6.特征值7.A与B的行列式相等8.B^TAB9.A与B的特征向量不一定相同10.特征值三、判断题1.×2.√3.√4.√5.×6.×7.√8.√9.×10.√四、简答题1.矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵具有以下性质：（1）特征值相同；（2）行列式相等；（3）秩相同；（4）迹相同；（5）可逆性相同。2.实对称矩阵A正定的定义是A的特征值均为正数。实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值均为正数。3.矩阵A与B合同的定义是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。合同矩阵具有以下性质：（1）秩相同；（2）行列式符号相同；（3）特征值符号相同。4.矩阵相似与合同的区别在于相似变换与合同变换的不同。矩阵相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。矩阵合同的定义是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。相似变换不改变矩阵的特征值，而合同变换不改变矩阵的惯性指数。5.实对称矩阵的特征值均为实数，且实对称矩阵可以对角化，即存在正交矩阵P，使得A=PDP^T，其中D为对角矩阵，对角线元素为A的特征值。6.矩阵A与B相似的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。矩阵A与B合同的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。7.实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值均为正数。8.矩阵相似与合同的性质包括：（1）相似矩阵的特征值相同；（2）合同矩阵的秩相同；（3）相似矩阵的行列式相等；（4）合同矩阵的行列式符号相同。五、应用题1.矩阵A的行列式等于其特征值的乘积，即|A|=1×2×3=6。矩阵A的迹等于其特征值的和，即tr(A)=1+2+3=6。2.矩阵A的行列式等于其特征值的乘积，即|A|=1×2×3=6。矩阵A的迹等于其特征值的和，即tr(A)=1+2+3=6。3.矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵的特征值相同，因此B的特征值也为1，2，3。4.矩阵A与B合同的定义是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。合同矩阵的惯性指数相同，即正特征值的个数、负特征值的个数和零特征值的个数相同。因此，B的惯性指数为（3，0，0）。5.矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵的行列式相等，因此|A|=|B|=1×2×3=6。6.矩阵A与B合同的定义是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。合同矩阵的秩相同，因此rank(A)=rank(B)=3。7.矩阵A与B相似的定义是存在可逆矩阵P，使得A=PBP^(-1)。相似矩阵的迹相同，因此tr(A)=tr(B)=1+2+3=6。8.矩阵A与B合同的定义是存在可逆矩阵C，使得A=C^TBC。合同矩阵的行列式符号相同，因此|A|和|B|的符号相同。由于A的特征值为1，2，3，均为正数，因此|A|>0，|B|>0。六、论述题1.矩阵相似的性质包括：（1）特征值相同；（2）行列式相等；（3）秩相同；（4）