2026年苏教版高三数学第三章数列练习题

2026年苏教版高三数学第三章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：根据递推关系b_n=b_{n-1}+2n，依次计算b_2=b_1+4=5，b_3=b_2+6=11，b_4=b_3+8=19，b_5=b_4+10=29，b_6=b_5+12=41。选项均不正确，需重新计算递推公式：b_n=b_{n-1}+2n，变形为b_n-b_{n-1}=2n，累加b_2-b_1=4，b_3-b_2=6，…，b_n-b_{n-1}=2n，得b_n-b_1=4+6+…+2n=2(1+2+…+n-1)=n(n-1)，故b_n=n(n-1)+1，b_6=6×5+1=31。选项均不正确，需修正题目。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n，则c_4等于（）A.8B.10C.12D.14解析：由数列前n项和公式c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算c_2=S_2-S_1=4-2=2，c_3=S_3-S_2=8-4=4，c_4=S_4-S_3=16-8=8。选项A正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.-3D.±3√2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_n等于（）A.2nB.2n+1C.2n-1D.n^2解析：当n=1时e_1=S_1=2，当n≥2时e_n=S_n-S_{n-1}=2n+1-(2(n-1)+1)=2，故e_n=2。选项A正确。6.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_{n-1}+n（n≥2），则f_5等于（）A.15B.31C.55D.120解析：根据递推关系f_n=f_{n-1}+n，依次计算f_2=1+2=3，f_3=3+3=6，f_4=6+4=10，f_5=10+5=15。选项A正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=a_3+a_7=18。选项B正确。8.若数列{h_n}的前n项和T_n=3^n-n^2，则h_3等于（）A.18B.21C.24D.27解析：由数列前n项和公式h_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算h_2=T_2-T_1=9-3=6，h_3=T_3-T_2=24-9=15。选项均不正确，需重新计算递推公式：T_n=3^n-n^2，T_{n-1}=3^{n-1}-(n-1)^2，h_n=T_n-T_{n-1}=3^n-n^2-3^{n-1}+(n-1)^2=2×3^{n-1}-2n+1，h_3=2×3^2-6+1=17。选项均不正确，需修正题目。9.在等比数列{p_n}中，若p_2=4，p_3=16，则p_5等于（）A.64B.128C.256D.512解析：由等比数列性质p_3/p_2=q，代入16/4=q得q=4，故p_5=p_3q^2=16×16=256。选项C正确。10.若数列{q_n}的前n项和U_n=2n^2+n，则q_n等于（）A.4n-2B.4n+1C.4n-1D.4n+2解析：当n=1时q_1=U_1=3，当n≥2时q_n=U_n-U_{n-1}=4n+1-(4(n-1)+1)=4，故q_n=4n-1。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得d=5/3。2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_6的值为______。解：根据递推关系b_n=b_{n-1}+n，依次计算b_2=4，b_3=7，b_4=11，b_5=16，b_6=22。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-n，则c_4等于______。解：由数列前n项和公式c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算c_4=S_4-S_3=81-24=57。4.在等比数列{d_n}中，若d_3=8，d_5=32，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列性质d_5/d_3=q^2，代入32/8=q^2得q=2。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n等于______。解：当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=T_n-T_{n-1}=2n+1，故e_n=2n+1。6.在等差数列{f_n}中，若a_4+a_8=20，则a_6+a_10等于______。解：由等差数列性质a_4+a_8=2a_6，故a_6=10，同理a_6+a_10=2a_8=a_4+a_8=20。7.若数列{g_n}的前n项和U_n=2^n-n^2，则g_3等于______。解：由数列前n项和公式g_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），计算g_3=U_3-U_2=8-4=4。8.在等比数列{h_n}中，若h_2=9，h_4=81，则h_6等于______。解：由等比数列性质h_4/h_2=q^2，代入81/9=q^2得q=3，故h_6=h_4q^2=81×9=729。9.若数列{i_n}的前n项和V_n=3n^2+n，则i_n等于______。解：当n=1时i_1=V_1=4，当n≥2时i_n=V_n-V_{n-1}=6n+1，故i_n=6n+1。10.在等差数列{j_n}中，若a_1=2，a_5=14，则该数列的通项公式j_n等于______。解：由等差数列通项公式j_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14得d=12/4=3，故j_n=2+3(n-1)=3n-1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则该数列是等差数列。（√）解：由数列前n项和公式a_n=S_n-S_{n-1}=4n-1（n≥2），当n=1时a_1=S_1=3，故a_n=4n-1，是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q等于2或-2。（×）解：由等比数列性质b_3=b_1q^2，代入1×q^2=8得q=±2√2。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n^3，则该数列是等比数列。（×）解：由数列前n项和公式c_n=T_n-T_{n-1}=3n^2-3(n-1)^2=6n-3（n≥2），当n=1时c_1=T_1=1，故c_n=6n-3，不是等比数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=20。（√）解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，故a_5=10，同理a_5+a_7=2a_6=a_4+a_8=a_1+a_9=20。5.若数列{e_n}的前n项和U_n=2^n-n，则该数列是等比数列。（×）解：由数列前n项和公式e_n=U_n-U_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=U_1=1，故e_n=2^{n-1}，是等比数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q等于3。（√）解：由等比数列性质f_4/f_2=q^2，代入54/6=q^2得q=3。7.若数列{g_n}的前n项和V_n=3n^2+n，则该数列是等差数列。（√）解：由数列前n项和公式g_n=V_n-V_{n-1}=6n-2（n≥2），当n=1时g_1=V_1=4，故g_n=6n-2，是等差数列。8.在等差数列{h_n}中，若a_3+a_7=18，则a_6+a_10=18。（×）解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_6+a_10=2a_8=a_4+a_8=a_3+a_7=18。9.若数列{i_n}的前n项和W_n=2n^2+n，则该数列是等比数列。（×）解：由数列前n项和公式i_n=W_n-W_{n-1}=4n-1（n≥2），当n=1时i_1=W_1=3，故i_n=4n-1，不是等比数列。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_3=8，则该数列的公比q等于2。（√）解：由等比数列性质j_3=j_1q^2，代入2×q^2=8得q=2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时a_1=S_1=4，当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=6n-2，故a_n=6n-2。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=5，a_6=17，求该数列的通项公式b_n。解：由等差数列通项公式b_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_6=17得d=12/5，故b_n=5+12(n-1)/5=12n/5-7/5。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+n（n≥2），求该数列的前n项和T_n。解：根据递推关系c_n=c_{n-1}+n，依次计算c_2=3，c_3=6，c_4=10，…，发现c_n=1+2+…+n=n(n+1)/2，故T_n=1+3+…+n(n+1)/2=1/2[1^2+2^2+…+n^2+2(1+2+…+n)]=1/2[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)]=n(n+1)(n+2)/6。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，求该数列的通项公式d_n。解：由等比数列性质d_4/d_2=q^2，代入16/4=q^2得q=2，故d_n=d_2q^{n-2}=4×2^{n-2}=2^n。5.若数列{e_n}的前n项和U_n=2n^2+n，求该数列的通项公式e_n。解：当n=1时e_1=U_1=3，当n≥2时e_n=U_n-U_{n-1}=4n-1，故e_n=4n-1。6.在等差数列{f_n}中，若a_3+a_7=20，求该数列的公差d。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=10，同理a_5+a_9=2a_7=a_3+a_7=20，故a_9=10，由等差数列通项公式a_9=a_1+8d，代入10=a_1+8d，联立a_5=a_1+4d=10，解得d=5/4。7.若数列{g_n}的前n项和V_n=3n^2+n，求该数列的通项公式g_n。解：当n=1时g_1=V_1=4，当n≥2时g_n=V_n-V_{n-1}=6n-2，故g_n=6n-2。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，h_3=8，求该数列的前n项和W_n。解：由等比数列性质h_3/h_1=q^2，代入8/2=q^2得q=2，故h_n=2×2^{n-1}=2^n，W_n=2(2^n-1)=2^{n+1}-2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若第一年产量为100万吨，求第5年的产量。解：根据等比数列递推关系a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.1，n=5，得a_5=100×1.1^4≈146.41万吨。2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，求该数列的前10项和S_{10}。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14得d=12/4=3，故a_n=3n-1，S_{10}=10×(a_1+a_{10})/2=10×(2+29)/2=155。3.若数列{b_n}的前n项和T_n=2n^2+n，求该数列的前5项和T_5。解：T_5=2×5^2+5=55。4.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的前4项和T_4。解：由等比数列性质c_4/c_2=q^2，代入54/6=q^2得q=3，故c_n=2×3^{n-2}，T_4=2(3^2+3+1)=2×13=26。5.若数列{d_n}的前n项和U_n=3n^2+n，求该数列的前3项和U_3。解：U_3=3×3^2+3=30。6.在等差数列{e_n}中，若a_1=5，a_6=17，求该数列的前6项和S_6。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_6=17得d=12/5，故a_n=5+12(n-1)/5，S_6=6×(a_1+a_6)/2=6×(5+17)/2=66。7.若数列{f_n}的前n项和V_n=2^n-n，求该数列的前4项和V_4。解：V_4=2^4-4=12。8.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_3=8，求该数列的前3项和T_3。解：由等比数列性质g_3/g_1=q^2，代入8/2=q^2得q=2，故g_n=2×2^{n-1}，T_3=2(1+2+4)=14。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.A4.A5.A6.A7.C8.B9.A10.C二、填空题1.5/32.223.574.25.2n+16.207.48.7299.6n+110.3n-1三、判断题1.√2.×3.×4.√5.×6.√7.√8.×9.×10.√四、简答题1.a_n=6n-2解：当n=1时a_1=S_1=4，当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=6n-2，故a_n=6n-2。2.b_n=12n/5-7/5解：由等差数列通项公式b_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_6=17得d=12/5，故b_n=5+12(n-1)/5=12n/5-7/5。3.T_n=n(n+1)(n+2)/6解：根据递推关系c_n=c_{n-1}+n，依次计算c_2=3，c_3=6，c_4=10，…，发现c_n=1+2+…+n=n(n+1)/2，故T_n=1/2[1^2+2^2+…+n^2+2(1+2+…+n)]=1/2[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)]=n(n+1)(n+2)/6。4.d_n=2^n解：由等比数列性质d_4/d_2=q^2，代入16/4=q^2得q=2，故d_n=d_2q^{n-2}=4×2^{n-2}=2^n。5.e_n=4n-1解：当n=1时e_1=U_1=3，当n≥2时e_n=U_n-U_{n-1}=4n-1，故e_n=4n-1。6.d=5/4解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=10，同理a_5+a_9=2a_7=a_3+a_7=20，故a_9=10，由等差数列通项公式a_9=a_1+8d，代入10=a_1+8d，联立a_5=a_1+4d=10，解得d=5/4。7.