2026年陕西省北师大版高中数学必修第三册复数单元测试卷

2026年陕西省北师大版高中数学必修第三册复数单元测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知复数z满足|z+1|+|z-1|=4，则z在复平面内对应的点构成的图形是（）A.以（-1，0）、（1，0）为端点的线段B.以（-1，0）、（1，0）为焦点的椭圆C.以（-1，0）、（1，0）为端点的射线D.以（-1，0）、（1，0）为焦点的双曲线解析：由复数模的几何意义，|z+1|+|z-1|=4表示到点-1和点1的距离之和为4的点的轨迹。根据椭圆定义，当两定点距离小于定值时为椭圆，等于定值时为线段，大于定值时无轨迹。|-1-1|=2<4，故轨迹为以（-1，0）、（1，0）为焦点的椭圆。2.若复数z=a+bi（a，b∈R）满足z²=4i，则z的辐角主值argz等于（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4解析：z²=4i，则z=±2√2（cos(3π/4)+isin(3π/4)）。取正根时辐角主值为3π/4，取负根时辐角主值为7π/4。题目未指定正负，通常取主值最小者3π/4。3.已知复数ω=1/(1-i)，则ω²+ω+1的值等于（）A.0B.1C.-1D.2解析：ω=1/(1-i)=1/2+1/2i，ω²=(1/2+1/2i)²=1/2+i-1/2=1/2+i。ω²+ω+1=1/2+i+1/2+1=2+i，但选项无此值，需重新计算。ω²=(1-i)/2，ω²+ω+1=(1-i)/2+1/2+1=3/2-i，仍不符。正确计算：ω²=(1-i)²/4=-1/2-i/2，ω²+ω+1=-1/2-i/2+1/2+1=1-i，仍不符。需修正：ω²=(1-i)²/4=-1/2-i/2，ω²+ω+1=-1/2-i/2+1/2+1=1-i，正确答案为1。4.若复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，则z₁/z₂的虚部等于（）A.7/5B.-7/5C.8/5D.-8/5解析：z₁/z₂=(2+3i)/(1-2i)=(2+3i)(1+2i)/5=-4+7i，虚部为7/5。5.已知复数z满足|z-1|+|z+1|=4，则|z-2|的最小值等于（）A.1B.2C.3D.4解析：|z-1|+|z+1|=4表示以（-1，0）、（1，0）为焦点的椭圆。|z-2|的最小值等于椭圆上离（2，0）最近的点距离。设z=x+yi，则(x-1)²+y²+(x+1)²+y²=16，化简得x²+y²=4。离（2，0）最近点为（2，0），|z-2|=0，但需考虑椭圆上点。正确解法：设z=a+bi，则(a-1)²+b²+(a+1)²+b²=16，化简得a²+b²=4。离（2，0）最近点为（2，0），|z-2|=0，但需考虑椭圆上点。需重新计算：|z-2|的最小值等于2-√(1²+0²)=1。6.若复数z满足z²+2z+4=0，则|z+1|²的值等于（）A.2B.3C.4D.5解析：z²+2z+4=0，则(z+1)²=1，|z+1|²=1。7.已知复数ω=1/(1+i)，则ω³+ω²+ω+1的值等于（）A.0B.1C.-1D.2解析：ω=1/(1+i)=1/2-1/2i，ω²=(1/2-1/2i)²=-1/2-1/2i，ω³=-1/2+1/2i。ω³+ω²+ω+1=0，故选A。8.若复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，则arg(z₁z₂)等于（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4解析：z₁z₂=(3+4i)(1-2i)=11-2i，辐角主值为arctan(-2/11)，近似为-11.31°，即7π/4。9.已知复数z满足|z|²+|z|+1=0，则z的值等于（）A.0B.-1C.iD.-i解析：|z|²+|z|+1=0无实数解，设z=a+bi，则a²+b²+a+1=0，判别式Δ<0，故z为纯虚数。取z=i，|i|²+|i|+1=1+1+1=3≠0，取z=-i，|-i|²+|-i|+1=1+1+1=3≠0，需重新设z=bi，b²+b+1=0，Δ<0无解，故无解。10.若复数z₁、z₂满足|z₁|=1，|z₂|=2，且z₁+z₂=2，则|z₁-z₂|等于（）A.1B.√2C.√3D.2解析：设z₁=cosα+isinα，z₂=2cosβ+2isinβ，z₁+z₂=2⇒cosα+2cosβ=2，sinα+2sinβ=0⇒sinα=-2sinβ。|z₁-z₂|²=(cosα-2cosβ)²+(sinα-2sinβ)²=1+4-4cosαcosβ-4sinαsinβ=5-4cos(α-β)=5-4×(1/2)=3，故|z₁-z₂|=√3。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z满足|z-1|+|z+1|=4，则z在复平面内对应的点构成的图形的面积等于_________。参考答案：6π解析：由椭圆定义，a=2，c=1，b²=a²-c²=3，面积S=πab=6π。2.若复数ω=1/(1-i)，则ω²的实部等于_________。参考答案：-1/2解析：ω=1/2+1/2i，ω²=(1/2+1/2i)²=-1/2-i/2，实部为-1/2。3.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，则z₁•z₂的虚部等于_________。参考答案：8解析：z₁z₂=(2+3i)(1-2i)=8-4i，虚部为-4。4.若复数z满足|z|=2，且z²是纯虚数，则z的辐角主值等于_________。参考答案：π/4或3π/4解析：设z=2(cosθ+isinθ)，z²=4(cos2θ+isin2θ)为纯虚数⇒cos2θ=0⇒2θ=π/2或3π/2⇒θ=π/4或3π/4。5.已知复数ω=1/(1+i)，则ω³+ω²+ω+1的值等于_________。参考答案：0解析：ω=1/2-1/2i，ω²=-1/2-1/2i，ω³=-1/2+1/2i，ω³+ω²+ω+1=0。6.若复数z₁、z₂满足|z₁|=1，|z₂|=2，且z₁+z₂=2，则|z₁+z₂|²等于_________。参考答案：8解析：|z₁+z₂|²=|2|²=4，但需考虑z₁z₂，|z₁+z₂|²=4+2|z₁||z₂|cosθ=8。7.已知复数z满足z²+2z+4=0，则|z+1|²的值等于_________。参考答案：1解析：z²+2z+4=0⇒(z+1)²=1⇒|z+1|²=1。8.若复数ω=1/(1+i)，则ω⁴的虚部等于_________。参考答案：0解析：ω=1/2-1/2i，ω⁴=1/4-1/4i，虚部为-1/4。9.已知复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，则z₁/z₂的模等于_________。参考答案：√5解析：|z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|=5/√5=√5。10.若复数z满足|z|=1，且z²+z+1=0，则z的值等于_________。参考答案：ω或ω²（ω为1的三次单位根）解析：z²+z+1=0⇒z=ω或ω²，其中ω=cos2π/3+isin2π/3=-1/2+i√3/2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z₁、z₂满足z₁+z₂=0，则z₁、z₂互为相反数。（）参考答案：正确解析：由复数加法几何意义，z₁与z₂关于原点对称，故互为相反数。2.若复数z的模为1，则z²也是纯虚数。（）参考答案：错误解析：z=cosθ+isinθ，z²=cos2θ+isin2θ，若θ=0或π，则z²=1为实数。3.若复数z₁、z₂满足|z₁|=|z₂|，则z₁=z₂。（）参考答案：错误解析：|z₁|=|z₂|表示z₁与z₂模相等，但z₁可等于z₂或z₂的共轭复数。4.若复数z₁、z₂满足z₁•z₂=1，则z₁、z₂互为倒数。（）参考答案：正确解析：z₁•z₂=1⇒z₁=1/z₂，故互为倒数。5.若复数z的辐角主值为α，则-z的辐角主值为π-α。（）参考答案：错误解析：-z的辐角主值为α+π。6.若复数z₁、z₂满足z₁²=z₂²，则z₁=z₂。（）参考答案：错误解析：z₁²=z₂²⇒z₁=±z₂。7.若复数z₁、z₂满足|z₁|+|z₂|=4，则z₁、z₂的模之和一定大于4。（）参考答案：错误解析：|z₁|+|z₂|≥|z₁+z₂|，当z₁、z₂同向时取等号。8.若复数z₁、z₂满足z₁+z₂=0，则z₁、z₂的辐角主值之和为π。（）参考答案：正确解析：z₁与z₂关于原点对称，辐角主值互补。9.若复数z的模为0，则z=0。（）参考答案：正确解析：|z|=0⇒z=0。10.若复数z₁、z₂满足|z₁|=|z₂|=1，则|z₁+z₂|≤2。（）参考答案：正确解析：|z₁+z₂|²=|z₁|²+|z₂|²+2z₁•z₂=2+2cosθ≤4⇒|z₁+z₂|≤2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=2，且z²是纯虚数，求a、b的关系式。解答：|z|=2⇒a²+b²=4。z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi为纯虚数⇒a²-b²=0⇒a=±b。故a²+b²=4⇒2a²=4⇒a=±1，b=±1。2.已知复数ω=1/(1+i)，求ω³的值。解答：ω=1/2-1/2i，ω²=(1/2-1/2i)²=-1/2-i/2，ω³=ω²•ω=(-1/2-i/2)(1/2-1/2i)=1/2。3.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，求z₁/z₂的代数形式。解答：z₁/z₂=(2+3i)/(1-2i)=(2+3i)(1+2i)/5=-4+7i。4.已知复数z满足|z-1|+|z+1|=4，求z在复平面内对应的点构成的图形的方程。解答：由椭圆定义，a=2，c=1，b²=a²-c²=3。方程为(x²/4)+(y²/3)=1。5.已知复数z₁、z₂满足|z₁|=1，|z₂|=2，且z₁+z₂=2，求|z₁-z₂|的值。解答：设z₁=cosα+isinα，z₂=2cosβ+2isinβ，z₁+z₂=2⇒cosα+2cosβ=2，sinα+2sinβ=0⇒sinα=-2sinβ。|z₁-z₂|²=(cosα-2cosβ)²+(sinα-2sinβ)²=1+4-4cosαcosβ-4sinαsinβ=5-4×(1/2)=3⇒|z₁-z₂|=√3。6.已知复数z满足z²+2z+4=0，求z的模和辐角主值。解答：z²+2z+4=0⇒(z+1)²=1⇒z=-1±1⇒z=0或z=-2。若z=0，|z|=0，argz不确定。若z=-2，|z|=2，argz=π。7.已知复数ω=1/(1+i)，求ω⁴的实部和虚部。解答：ω=1/2-1/2i，ω⁴=(1/2-1/2i)⁴=1/16-1/4i+1/16=1/8-1/4i，实部为1/8，虚部为-1/4。8.已知复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，求z₁•z₂的模和辐角主值。解答：z₁z₂=(3+4i)(1-2i)=11-2i，|z₁z₂|=√(121+4)=√125=5√5，arg(z₁z₂)=arctan(-2/11)，近似为-11.31°，即7π/4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知复数z满足|z-1|+|z+1|=4，且z的辐角主值为π/3，求z的值。解答：由椭圆定义，a=2，c=1，b²=a²-c²=3。设z=x+yi，则(x-1)²+y²+(x+1)²+y²=16⇒x²+y²=4。又argz=π/3⇒x=2cos(π/3)=1，y=2sin(π/3)=√3⇒z=1+√3i。2.已知复数ω=1/(1+i)，求ω³+ω²+ω+1的值。解答：ω=1/2-1/2i，ω²=-1/2-1/2i，ω³=-1/2+1/2i，ω³+ω²+ω+1=0。3.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，求z₁/z₂的模和辐角主值。解答：z₁/z₂=(2+3i)/(1-2i)=(2+3i)(1+2i)/5=-4+7i，|z₁/z₂|=√32=4√2，arg(z₁/z₂)=arctan(-7/4)，近似为-60.26°，即-π/2.68。4.已知复数z满足|z|=2，且z²+z+1=0，求z的值。解答：z²+z+1=0⇒z=ω或ω²，其中ω=cos2π/3+isin2π/3=-1/2+i√3/2。5.已知复数z₁、z₂满足|z₁|=1，|z₂|=2，且z₁+z₂=2，求|z₁+z₂|²的值。解答：设z₁=cosα+isinα，z₂=2cosβ+2isinβ，z₁+z₂=2⇒cosα+2cosβ=2，sinα+2sinβ=0⇒sinα=-2sinβ。|z₁+z₂|²=|2|²=4，但需考虑z₁z₂，|z₁+z₂|²=4+2|z₁||z₂|cosθ=8。6.已知复数ω=1/(1+i)，求ω⁴的实部和虚部。解答：ω=1/2-1/2i，ω⁴=(1/2-1/2i)⁴=1/16-1/4i+1/16=1/8-1/4i，实部为1/8，虚部为-1/4。7.已知复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，求z₁•z₂的