2026年浙江省苏教版高中数学高二年级下册第7章数列基础同步练习题

2026年浙江省苏教版高中数学高二年级下册第7章数列基础同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-10解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_5的值为（）A.242B.243C.244D.245解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时S_1=2符合，故b_5=2×3^4=162。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.90C.100D.105解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，变形为c_{n+1}+n(n+1)=c_n+n(n-1)+2n=n(n+1)，即数列{a_n=n(n+1)}为等差数列，a_n=n(n+1)，故c_{10}=a_{10}-9×10=110-90=20。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得q^2=9，故q=3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，验证n=1时e_1=2符合，故e_3=6。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5的值为（）A.15B.16C.17D.18解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，累加得f_5=f_1+(log_2_2+log_2_3+log_2_4+log_2_5)=2+1+1.585+2+2.322=9.905≈10，最接近选项B。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3的值为（）A.5B.6C.7D.8解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，故a_3=5。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=2^n-1，则h_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时h_1=1符合，故h_4=8。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n，则i_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+n，累加得i_6=i_1+(1+2+3+4+5)=1+15=16。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=3，j_3=12，则j_5的值为（）A.24B.36C.48D.60解析：由等比数列性质j_3=j_1q^2，代入j_1=3，j_3=12得q^2=4，故q=2，j_5=j_1q^4=3×16=48。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n=4n^2+2n，则该数列的通项公式a_n=_________。参考答案：8n-2解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n^2+2n-[4(n-1)^2+2(n-1)]=8n-6，验证n=1时a_1=2符合，故a_n=8n-6。2.已知数列{b_n}的前n项和T_n=2^n-1，则b_6=_________。参考答案：32解析：当n≥2时，b_n=T_n-T_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时b_1=1符合，故b_6=32。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q=_________。参考答案：3解析：由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54得q^2=9，故q=3。4.若数列{d_n}满足d_1=2，d_{n+1}=d_n+3n，则d_5=_________。参考答案：35解析：由递推关系d_{n+1}=d_n+3n，累加得d_5=d_1+(3×1+3×2+3×3+3×4)=2+30=32。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_4=_________。参考答案：12解析：当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，验证n=1时e_1=2符合，故e_4=8。6.若等差数列{f_n}的首项为3，公差为2，则该数列的前10项和S_{10}=_________。参考答案：110解析：S_{10}=\frac{10}{2}×[2×3+(10-1)×2]=110。7.已知数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=g_n+2n，则g_7=_________。参考答案：28解析：由递推关系g_{n+1}=g_n+2n，累加得g_7=g_1+(2×1+2×2+2×3+2×4+2×5+2×6)=1+42=43。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，h_3=8，则h_5=_________。参考答案：32解析：由等比数列性质h_3=h_1q^2，代入h_1=2，h_3=8得q^2=4，故q=2，h_5=h_1q^4=32。9.若数列{i_n}的前n项和T_n=3^n-1，则i_4=_________。参考答案：24解析：当n≥2时，i_n=T_n-T_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时i_1=2符合，故i_4=18。10.已知数列{j_n}满足j_1=5，j_{n+1}=j_n+n，则j_6=_________。参考答案：40解析：由递推关系j_{n+1}=j_n+n，累加得j_6=j_1+(1+2+3+4+5)=5+15=20。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1，验证n=1时a_1=5符合，故{a_n}为等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q=2。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质b_3=b_1q^2，代入b_1=1，b_3=8得q^2=8，故q=2。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则该数列是等差数列。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)，故{a_n}为二次函数型数列，非等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若d_1+d_2+d_3=12，则3d_2=12。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质d_1+d_2+d_3=3d_2=12，故3d_2=12。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（）参考答案：正确解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时e_1=1符合，故{e_n}为等比数列。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则该数列是等差数列。（）参考答案：错误解析：f_{n+1}-f_n=log_2(n+1)为对数函数型，故{f_n}非等差数列。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则g_6=486。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质g_4=g_2q^2，代入g_2=6，g_4=54得q^2=9，故q=3，g_6=g_4q^2=486。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=n^2+n，则h_n=2n。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=2n，验证n=1时h_1=2符合，但h_n=2n为等差数列，非等比数列。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n，则i_5=15。（）参考答案：错误解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+n，累加得i_5=i_1+(1+2+3+4)=1+10=11。10.在等差数列{j_n}中，若j_1+j_2+j_3=15，则j_2=5。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质j_1+j_2+j_3=3j_2=15，故j_2=5。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，求该数列的前n项和S_n的表达式。解答：S_n=\frac{n}{2}×[2a_1+(n-1)d]=\frac{n}{2}×[4+3(n-1)]=\frac{3n^2+n}{2}。2.若数列{b_n}的前n项和T_n=2^n-1，求该数列的通项公式b_n。解答：当n≥2时，b_n=T_n-T_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时b_1=1符合，故b_n=2^{n-1}。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=3，c_3=24，求该数列的通项公式c_n。解答：由等比数列性质c_3=c_1q^2，代入c_1=3，c_3=24得q^2=8，故q=2\sqrt{2}，c_n=3×(2\sqrt{2})^{n-1}。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=d_n+2n，求该数列的前n项和S_n的表达式。解答：由递推关系d_{n+1}=d_n+2n，累加得d_n=1+(1+2+3+...+(n-1))=1+\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n^2-n+2}{2}，S_n=\sum_{k=1}^nd_k=\sum_{k=1}^n\frac{k^2-k+2}{2}=\frac{1}{2}×\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}+2n\right)=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}。5.已知等差数列{e_n}的前n项和为S_n=3n^2+2n，求该数列的通项公式e_n。解答：当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+2n-[3(n-1)^2+2(n-1)]=6n-1，验证n=1时e_1=5符合，故e_n=6n-1。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，求该数列的前n项和T_n的表达式。解答：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，累加得f_n=2+\sum_{k=2}^nlog_2(k)=2+(log_2_2+log_2_3+...+log_2_n)=2+n-1=n+1，T_n=\sum_{k=1}^nf_k=\sum_{k=1}^n(k+1)=2n+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+5n}{2}。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，求该数列的前5项和S_5。解答：由等比数列性质g_4=g_2q^2，代入g_2=6，g_4=54得q^2=9，故q=3，S_5=\frac{g_1q^5-g_1}{q-1}=\frac{2×3^5-2}{3-1}=438。8.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n，求该数列的前6项和S_6。解答：由递推关系i_{n+1}=i_n+n，累加得i_n=1+\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n^2-n+2}{2}，S_6=\sum_{k=1}^6i_k=\sum_{k=1}^6\frac{k^2-k+2}{2}=\frac{1}{2}×\left(\frac{6×7×13}{6}-\frac{6×7}{2}+12\right)=63。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为100件，以后每年比前一年增产20件，求第10年的产量。解答：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=100，d=20，n=10得a_{10}=100+(10-1)×20=300件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解答：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.05，n=5得a_5=100×1.05^4≈127.63万。3.某人每月储蓄100元，若银行年利率为4%（按复利计算），求3年后该人总共储蓄的金额。解答：每月利率为\frac{4\%}{12}=\frac{1}{300}，3年后共36个月，总金额为100×\frac{(1+\frac{1}{300})^{36}-1}{\frac{1}{300}}≈3960.24元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植50棵，求第8年的种植数量。解答：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=100，d=50，n=8得a_8=100+(8-1)×50=450棵。5.某投资项目的年回报率为10%，若初始投资为10万元，求5年后的投资总额。解答：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=10，q=1.1，n=5得a_5=10×1.1^4≈16.105万元。6.某工厂生产一种产品，第一年生产成本为100万元，以后每年比前一年增加10万元，求第7年的生产成本。解答：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=100，d=10，n=7得a_7=100+(7-1)×10=160万元。7.某城市道路建设，第一年修建道路10公里，以后每年比前一年多修建2公里，求第12年的道路修建长度。解答：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=10，d=2，n=12得a_{12}=10+(12-1)×2=30公里。8.某公司员工工资每年上涨5%，若2020年工资为5000元，求2028年的工资水平。解答：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=5000，q=1.05，n=8得a_8=5000×1.05^7≈8144.47元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.A4.A5.B6.C7.A8.A