第七章§7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

第七章立体几何与空间向量§7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积考试要求1.掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台、球的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用斜二测画法.(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=2πrlS圆锥侧=πrlS圆台侧=π(r1+r2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体S表=S侧+2S底V=Sh锥体S表=S侧+S底V=13台体S表=S侧+S上+S下V=13(S上+S下+S上球S表=4πR2V=43πR1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)菱形的直观图仍是菱形.(×)(2)圆台的母线长都相等.(√)(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(×)(4)锥体的体积等于底面积与高之积.(×)2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，则该三棱柱的体积为()A.43 B.33 C.23 D.3答案C解析在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，所以S△ABC=12×2×2×sin60°=3所以V三棱柱ABC−A1B1C13.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是()答案A解析由斜二测画法的规则，与x'轴平行的线段长度不变，注意到正方形的对角线在y'轴上，对角线长为2，经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半，故原图形的对角线长是22，只有A符合题意.4.已知球O的表面积与圆锥SO'的侧面积相等，且球O的直径与圆锥SO'的母线长均为4，则圆锥SO'的底面半径为.答案4解析设圆锥SO'的底面半径为r，其母线长为4，则圆锥SO'的侧面积为4πr，球O的表面积为4π×422由题意可得4πr=16π，故r=4，故圆锥SO'的底面半径为4.1.掌握三个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)(祖暅原理)等高处的截面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(3)直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图=24S原图形，S原图形=22S直观图2.关于几何体的表面积和侧面积的两个注意点(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.题型一基本立体图形命题点1结构特征例1(多选)(2025·南宁模拟)下面关于空间几何体叙述错误的是()A.正四棱柱都是长方体B.两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱C.直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D.用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台答案BCD解析对于A，正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，而长方体是底面为矩形的直棱柱，所以正四棱柱满足长方体的定义，正四棱柱都是长方体，A正确；对于B，两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，比如两个底面全等的斜棱柱拼接在一起的多面体，虽然满足两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错误；对于C，直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，C错误；对于D，根据圆台的定义，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分为圆台，D错误.命题点2直观图例2用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C'，其中B'C'=13O'A'，A'B'⊥O'A'，若原平面图形OABC的面积为32，则O'A'A.2 B.2 C.3 D.3答案D解析方法一如图所示，根据斜二测画法的规则，得到原几何图形OABC，设O'A'=x，可得O'B'=2x，则OB=2O'B'=22x，BC=B'C'=x3，OA=O'A'=x且OB为原平面图形中梯形的高，所以原平面图形OABC的面积为S=12x+x3×2解得x=32方法二由S直观图=24S原图形可得S直观图=3设O'A'=x，则O'B'=2x，B'C'=x3，A'B'=x根据直角梯形的面积公式得12x+x解得x=32命题点3展开图例3如图，已知三棱锥P-ABC的侧棱长均为2，∠APB=∠BPC=35°，∠APC=50°，点D在棱PA上，点E在棱PC上，则△BDE周长的最小值为()A.43 B.4 C.23 D.6答案C解析如图，将三棱锥的侧面展开，则△BDE周长的最小值为展开图中的线段B1B2的长.在△PB1B2中，PB1=PB2=2，∠B1PB2=35°+35°+50°=120°，在△PB1B2中，根据余弦定理可得B1B22=PB12+PB22-2PB=22+22-2×2×2×−12所以B1B2=23，即△BDE周长的最小值为23.思维升华(1)辨别空间几何体的两种方法①定义法：紧扣定义进行判定；②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可.(2)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.(3)在解决空间曲线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化.跟踪训练1(1)(多选)下列命题中，正确的有()A.圆柱的侧面展开图是一个矩形B.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥C.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形D.有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台答案AC解析对于A，圆柱的侧面展开图是一个矩形，故A正确；对于B，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故B错误；对于C，由平行六面体的概念和性质可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确；对于D，根据棱台的特征可知，棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误.(2)(2025·台州模拟)如图，水平放置的四边形ABCD由斜二测画法得到的直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'=O'B'=B'C'=1，则四边形ABCD的周长为()A.62 B.122 C.8 D.10答案D解析由题设知，原四边形ABCD中，AB=CD=A'B'=C'D'=2，且AB∥CD，所以原四边形ABCD为平行四边形，而O'C'=2，则原四边形ABCD中，OC=22，OB=1，故AD=BC=OC2所以四边形ABCD的周长为AB+CD+AD+BC=10.(3)(2025·莆田模拟)我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？”，其意思为“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少？”，若1丈=10尺，则葛藤最少长()A.21尺 B.25尺 C.29尺 D.33尺答案C解析根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示，矩形的高(即圆木长)为2×10=20(尺)，矩形的底边长为7×3=21(尺)，因此葛藤最少长202+21题型二表面积与体积命题点1表面积例4(1)(2025·济南模拟)已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上、下底面面积之差的绝对值为()A.π B.2π C.4π D.8π答案B解析如图，设展开图小圆半径和大圆半径分别为r，R，则圆台侧面积S=π2(R2-r2)=4π，即R2-r2=8上底面半径r1=πr2π=r2，下底面半径R1=π圆台上、下底面面积之差的绝对值为|πR12-πr12|=πR24−π(2)如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为()A.12+3πB.12+1.5πC.24+2πD.24+1.5π答案D解析所得几何体的表面积为6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2=24-0.5π+2π=24+1.5π.命题点2体积例5(1)(2026·聊城模拟)瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘，通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为()A.556π B.900πC.732π D.588π答案D解析由题图可知，半球和圆柱底面圆的半径均为6，圆柱的高为8，圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，高为9，所以该瓷器的体积为12×43π×63+π×62×8+π3(62+22+6(2)(北师大版必修第二册P257习题6-6B组T3改编)如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD，△FBC中BC边上高FH=2，EF=32，则该多面体的体积为答案15解析连接EB，EC(图略).因为平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC，FH⊥BC，FH⊂平面FBC，所以FH⊥平面ABCD.又EF∥AB，EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，FH为四棱锥E-ABCD的高.因为AB⊥BC，平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面FBC，因为EF∥AB，所以EF⊥平面FBC.所以V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥E-FBC=13S四边形ABCD·FH+13S△=13×32×2+13×12×3思维升华求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积跟踪训练2(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为()A.23π B.33π C.63π D.93π答案B解析设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为r2而它们的侧面积相等，所以2πr×3=πr×3+r即23=3+r2，故r故圆锥的体积为13π×9×3=33(2)(2025·湘潭模拟)如图，一个三棱柱形容器中盛有水，AC=6，当底面ABC水平放置时，水面恰好过侧棱AA1的中点；当侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好与AC交于点D，则AD等于()A.2 B.4 C.32 D.6-32答案D解析当底面ABC水平放置时，水面恰好过侧棱AA1的中点，设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，则水的体积为12V当侧面AA1B1B水平放置时，三棱柱有水部分的体积为12V则无水部分为水平放置的小三棱柱CDE-C1GH(一侧面为水面)，其体积为12V由于三棱柱CDE-C1GH和三棱柱ABC-A1B1C1的高相同，故S△CDE=12S△CAB，由于DE∥AB则△CDE∽△CAB，故DCAC=22，而AC=6，故DC=3故AD=AC-DC=6-32.课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.下面关于空间几何体叙述不正确的是()A.圆锥过轴的截面是一个等腰三角形B.在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线C.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面答案C解析对于A，因为母线长相等，所以圆锥过轴的截面是一个等腰三角形，A正确；对于B，在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，B正确；对于C，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，C错误；对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，D正确.2.(2025·达州模拟)如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D'=2，A'B'=B'C'=1，则平面图形ABCD的面积为()A.1 B.32 C.33答案D解析方法一易知原图形为直角梯形ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，BC=B'C'=1，AD=A'D'=2，AB=2A'B'=2，故平面图形ABCD的面积为12×(1+2)×方法二在梯形A'B'C'D'中，∠B'A'D'=45°，则该梯形的高为A'B'sin45°=22梯形A'B'C'D'的面积为S'=A'D'+B在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的22倍，所以平面图形ABCD的面积S=22S'=22×323.(2025·凉山模拟)某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为2π，则该圆锥的高为()A.12 B.1 C.2 答案A解析设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线l=1，则圆锥的侧面积为πrl=πr，轴截面面积为12×2r×h=rh依题意πrrh=2π，解得h=故该圆锥的高为124.(2025·大连模拟)空间中有一正方体ABCD-A1B1C1D1，将点A，B1，C，D1依次连接，得到体积为3的三棱锥，则正方体的体积为()A.122 B.24 C.66 D.33答案D解析由题意可得，三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个体积相等的三棱锥体积，即VA−B1CD1=VABCD−设正方体的边长为a，则有3=a3-413×12×a2×a所以正方体体积为33.5.(2026·潍坊模拟)不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图.已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为()A.240π B.220πC.160π D.176π答案A解析该陀螺的表面由圆柱的底面、圆柱的侧面和圆锥的侧面组成，因为圆柱的底面直径为16，所以半径为8，则底面圆的面积为π×82=64π，因为圆柱的高为6，所以圆柱的侧面积为2×8π×6=96π，根据圆锥的高为6，底面圆的半径为8，得圆锥母线长为62+所以圆锥的侧面积为π×8×10=80π，所以该陀螺的表面积为64π+96π+80π=240π.6.(2025·玉溪模拟)已知圆锥的底面半径为2，高为2，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，若点A，B，C，D在该圆锥的底面上，点A1，B1，C1，D1在该圆锥的侧面上，则a等于()A.3 B.2 C.1 D.2答案C解析过正方体ABCD-A1B1C1D1的一组对棱AA1，CC1作圆锥SO的截面，如图所示，由题意可得SO=2，ON=2，OO1=a，SO1=SO-OO1=2-a，面对角线AC=2a，所以OC=O1C1=22a由O1C1∥ON，可得△SO1C1∽△SON，所以O1C1ON=SO1SO二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2023·新高考全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则()A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为43πC.AC=22 D.△PAC的面积为3答案AC解析依题意，∠APB=120°，PA=2，所以OP=1，OA=OB=3.A项，圆锥的体积为13×π×(3)2×1=π，故AB项，圆锥的侧面积为π×3×2=23π，故B错误；C项，取AC的中点D，连接OD，PD，如图所示，则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角，则∠PDO=45°，所以OP=OD=1，故AD=CD=3−1=2，则AC=22，故C正确；D项，PD=12+1所以S△PAC=12×22×2=2，故D错误8.(2025·肇庆期末)圆台O1O2如图所示，在轴截面ABCD中，AB=BC=AD=12CD，CDA.该圆台的高为1B.该圆台轴截面面积为33C.该圆台的体积为7D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5答案BCD解析对于A，在梯形ABCD中，O1O2即为圆台的高，利用勾股定理计算可得O1O2=AD2−CD−AB2对于B，轴截面梯形ABCD的面积为S=12(AB+CD)·O1O2=12×(2+4)×3=33，故对于C，易知下底面圆的面积为π×22=4π，上底面圆的面积为π×12=π，所以该圆台的体积为V=13(4π+π+4π·π)×3=7对于D，将圆台侧面沿母线BC剪开，其侧面展开图如图所示，易知BB'，CC'的长度分别为2π，4π，设扇环的圆心为O，圆心角为θ，OB=由弧长公式可知θr=2π，θ(r+2)=4π，解得θ=π，r=2，所以∠AOB=90°，设E为AD的中点，连接EC，当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点，所经过的路程最短，易知OE=3，OC=4，且OE⊥OC，由勾股定理可知EC=OE2+OC三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2026·红桥模拟)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的表面积为.答案8π解析设截面圆的半径为r，球的半径为R，由题意可知πr2所以球的表面积为S=4πR2=4×π×(2)2=8π.10.(2025·包头模拟)如图，已知圆柱的轴截面为正方形ABCD，AB=BC=2，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若AB⊥EF，则三棱锥A-BEF的体积为.答案4解析如图，设圆柱的下底面的圆心为O，连接AG，BG，OG，因为EF⊥AB，EF⊥BC，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，且EF=2，S△ABG=12AB·BC=2所以V三棱锥A-BEF=V三棱锥E-ABG+V三棱锥F-ABG=13S△ABG·EG+13S△ABG·FG=13S△ABG·(EG+FG)=13S△ABG·EF=13×四、解答题(共28分)11.(13分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕AB所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积.解由题意知，所求几何体的表面由圆台下底面、侧面和一半球面组成.在直角梯形ABCD中，过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图所示，在Rt△DEC中，CD=CE2所以S半球=12×4π×22=8π，S圆台侧=π×(2+5)×5=35π，S圆台下底=π×52=25π所以形成的几何体的表面积为S表=8π+35π+25π=68π.因为圆台的体积V1=13(π×22+(π×22)(π×52半球的体积V2=12×43×π×23=所以所求几何体的体积为V=V1-V2=52π-16π3=140π12.(15分)如图，AB是圆柱的底面直径，AP是圆柱的母线且AB=AP=4，点C是圆柱底面圆周上的点.(1)求圆柱的侧面积和体积；(6分)(2)若AC=2，D是PB的中点，点E在线段AP上，求CE+DE的最小值.(9分)解(1)由题知，底面半径为2，母线长为4，所以圆柱的侧面积S=2π×2×4=16π，圆柱的体积V=π×22×4=16π.(2)记底面圆心为O，连接OC，因为底面半径为2，AC=2，以AP所在直线为轴，将△APC旋转到△APC'，使得△APC'和轴截面PAB共面，如图，则OC'=2+2=4，OD=2，当C'，E，D三点共线时，CE+DE取得最小值