2027版中考数学难题速递：因式分解

2027年中考数学复习难题速递之因式分解（2026年7月）

一．选择题（共7小题）

1．我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如4＝22

﹣02，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（）

A．36B．40C．44D．48

2．因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（）

A．（a﹣b）2（a+b）B．（a+b）2（a﹣b）

C．ab（a+b）2D．ab（a﹣b）2

3．下列说法正确的是（）

A．分式，，的最简公分母是（a+1）（a﹣1）（a2﹣1）

1�+1�

42

B．14﹣�1+能1被�−151整�除−，1但不能被13整除

C．设m为正奇数，m2﹣1不能被8整除

D．二次根式化简后为

1111

22

4．如果一个正整数1可+�以表+示(�为+1两)个连续奇数1的+平�−方�差+，1那么称该正整数为“美好数”．如8＝32﹣12，16

＝52﹣32，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（）

A．17687B．17688C．17689D．17670

5．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1

可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．若已知a2+b2+c2＝45，ab+bc+ac＝38，由图2所表示的数学

等式，则a+b+c的值为（）

A．83B．7C．121D．11

6．已知m2+2m﹣4＝0，则代数式m3+4m2﹣5的值为（）

A．3B．5C．7D．9

7．x2+mx+n＝（x+3）（x﹣1），则m+n＝（）

第1页（共28页）

A．﹣2B．1C．2D．﹣1

二．填空题（共6小题）

8．一位密码编译者，设置以下规则：a﹣1，x﹣y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：数，爱，我，

浙，江，学．现将2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（只

需写出一种）．

9．如果x2﹣y2＝8，x﹣y＝2，那么代数式x2+y2的值是．

10．已知实数a，b，c满足a＜b＜c．

（1）若2a+b＝6，a﹣c＝﹣2，则a的取值范围是；

（2）若a，b，c是正整数，且，则a+b+c值为．

1113

++=

11．自然数m与n均为两位数，它�们的�十位�数字2相同，个位上的数字之和为8，且m与n的乘积为三位数，

m+n的最小值为；当m＞n时，存在正整数k，使得k2＝m2﹣n2+1，则所有满足条件的k的

值之和为．

12．分解因式：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，16x2+8x+1＝（4x+1）2，9x2+12x+4＝（3x+2）2．

（1）观察上述三个多项式的系数，有（﹣2）2＝4×1×1，82＝4×16×1，122＝4×9×4，于是小金猜

测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间一定存在某种关系．请你用等式

表示小明的猜想：；

（2）若多项式2x2+ax+c和2x2﹣cx+a都是完全平方式，利用（1）中的规律求ac＝．

13．生活中我们经常用到密码，有一种密码的产生采取以下方式：x4﹣y4＝（x2+y2）（x2﹣y2）＝（x2+y2）

（x+y）（x﹣y），当x，y都取9时，各因式的值是162，18，0，于是可以把“162180”作为一个六位

数密码．类似的对于多项式16x3﹣xy2，当x、y都取10时，最小的6位密码是．

三．解答题（共7小题）

14．一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．

例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，32＝92﹣72，…．

因此8，16，24，32都是“神秘数”．

（1）【数学理解】根据“神秘数”规律填空：

（）＝112﹣92；48＝（）2﹣（）2；

（2）【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为2n﹣1（其中n取正整数），试说明“神秘数”

一定是8的倍数；

（3）【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分

第2页（共28页）

成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由；

（4）【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2

个正方形边长为3，第3个正方形边长为5，…，按此规律拼叠到正方形ABCD，正方形ABCD的边长

为99，求阴影部分面积的和．

15．【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式）．事

实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法．例如：因式分解x2+2x﹣3，发

现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法，如x2+2x﹣3＝x2+2

×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．

（1）因式分解：x2+8x+7．

（2）因式分解：x2﹣y2﹣4x+6y﹣5．

16．先阅读下列材料，再解答下列问题：

因式分解：（x﹣y）2+2（x﹣y）+1．

解：将“x﹣y”看成整体，设x﹣y＝a，则原式＝a2+2a+1＝（a+1）2．

再将x﹣y＝a代入，得原式＝（x﹣y+1）2．

归纳总结：“换元法”是初中数学经常用到的一种方法．在因式分解时，

我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁

为简”的目的．

（1）下面是小明同学用“换元法”对多项式（x+2y）2+4（x+2y）+4进行因式分解的过程，请将分解

过程补充完整．

解：设x+2y＝a．

原式＝

＝（a+2）2

将x+2y＝a代入，得原式＝（a+2）2＝．

（2）请用“换元法”对多项式（x﹣2y﹣1）（x﹣2y+3）+4进行因式分解．

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（3）当x＝时，多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1存在最值（填“大”或“小”），

这个值是．

17．阅读并完成相应问题的解答．

因为（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，所以（x2+x﹣2）÷（x﹣1）＝（x+2）．

即x2+x﹣2能被x﹣1整除．同理，x2+x﹣2能被x+2整除．

我们知道，若ab＝0，则a＝0或b＝0．

若x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，则x﹣1＝0或x+2＝0，所以x＝1或x＝﹣2．

请根据以上的阅读材料，完成以下问题：

（1）若（x+2）（x+k）＝x2+5x+6，求数k的值；

（2）已知多项式x2+mx﹣15能被x+3整除，求数m的值；

（3）已知多项式x2+mx﹣15能被x+3整除，当x2+mx﹣15＝0时，求x值．

18．先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．

解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则：

原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

（1）因式分解：（x﹣y）2+2（x﹣y）+1＝；

（2）证明：无论a，b取何值时，（a2b2﹣4a）（a2b2﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数．

19．1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”

原理，举例说明如下．分解因式：x3﹣4x+3．

解：观察可知，当x＝1时，原式＝1﹣4+3＝0，所以原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．因为

x3﹣4x+3为三次式，且最高次项系数为1，而x﹣1是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式

为x2+bx+c，即x3﹣4x+3＝（x﹣1）（x2+bx+c）．

因为上式对任意x恒成立，所以可另取几个方便计算的x的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，

求得b，c的值，从而完成对x3﹣4x+3的因式分解．

（1）取x＝0和x＝2代入，求b，c的值；

（2）尝试用上述方法分解因式：x3+2x2﹣1．

20．我们约定：如果一个自然数a（零或正整数）能表示为m2﹣n2的形式（m、n均为自然数，且仅当a

＝1时n＝0），那么称这个自然数为完美数．

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数字自然数

分类奇数偶数

研判过程1＝12﹣020＝02﹣02

3＝22﹣122不是完美数

5＝32﹣224＝22﹣02

7＝42﹣326不是完美数

9＝52﹣428＝32﹣12

11＝62﹣5210不是完美数

13＝●12＝☆

……

（1）表中，符号“●”与“☆”对应的算式是什么？按从小到大排列，第16个完美数是哪一个数？（直

接写出）

（2）根据表中的数据，你能发现一些与完美数有关的结论吗？将结论写出来并证明；

（3）若直角三角形的一直角边长16cm，其余两边的长都是整数，求该三角形周长的最大值．

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2027年中考数学复习难题速递之因式分解（2026年7月）

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

题号1234567

答案BBDBDAD

一．选择题（共7小题）

1．我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如4＝22

﹣02，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（）

A．36B．40C．44D．48

【考点】因式分解的应用．

【专题】整式；运算能力．

【答案】B

【分析】根据“美丽数”定义，设两个偶数表示出平方差，因式分解推导美丽数的性质，再结合性质判

断各选项即可．

【解答】解：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，则：

设两个偶数分别为2m，2n（m，n为整数，m＞n），

根据定义，美丽数M＝（2m）2﹣（2n）2，

即M＝4m2﹣4n2＝4（m2﹣n2）＝4（m+n）（m﹣n），

∵（m﹣n）+（m+n）＝2m，和为偶数，

∴m﹣n与m+n同奇偶，

对选项逐一判断：

A：36＝4×9，（m﹣n）（m+n）＝9，取m﹣n＝1，m+n＝9，均为奇数，符合同奇偶要求，存在整数

解，因此36是美丽数．

B：40＝4×10，（m﹣n）（m+n）＝10，10的所有正因数分解为1×10、2×5，两组因数均为一奇一

偶，不符合同奇偶要求，不存在整数解，因此40不是美丽数．

C：44＝4×11，取m﹣n＝1，m+n＝11，均为奇数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此44是美丽数．

D：48＝4×12，取m﹣n＝2，m+n＝6，均为偶数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此48是美丽数．

故选：B．

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【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键．

2．因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（）

A．（a﹣b）2（a+b）B．（a+b）2（a﹣b）

C．ab（a+b）2D．ab（a﹣b）2

【考点】因式分解﹣分组分解法．

【专题】整式；运算能力．

【答案】B

【分析】利用分组分解法分解因式即可．

【解答】解：原式＝（a3+a2b）﹣（ab2+b3）

＝a2（a+b）﹣b2（a+b）

＝（a2﹣b2）（a+b）

＝（a﹣b）（a+b）（a+b）

＝（a﹣b）（a+b）2；

故选：B．

【点评】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式．

3．下列说法正确的是（）

A．分式，，的最简公分母是（a+1）（a﹣1）（a2﹣1）

1�+1�

42

B．14﹣�1+能1被�−151整�除−，1但不能被13整除

C．设m为正奇数，m2﹣1不能被8整除

D．二次根式化简后为

1111

22

【考点】因式分1解+的�应+用(�；+1最)简公分母；1二+次�根−式�+的1性质与化简．

【专题】整式；运算能力．

【答案】D

【分析】根据a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）可得最简公分母是a2﹣1，即可判断A，根据平方差公式因式分

解判断B，C选项，计算，即可判断D选项．

112

【解答】解：A：∵a2﹣1(＝1+（�a+−1）�+（1a)﹣1），

∴三个分式的最简公分母是（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，不是（a+1）（a﹣1）（a2﹣1），

A分式，，的最简公分母是（a+1）（a﹣1）（a2﹣1），错误．

1�+1�

2

�+1�−1�−1

第7页（共28页）

B：∵144﹣1＝（142﹣1）（142+1）＝（14﹣1）（14+1）×197＝13×15×197，

∴144﹣1能同时被13和15整除，B错误．

C：∵m是正奇数，可设m＝2k+1，k为非负整数，

∴m2﹣1＝（2k+1）2﹣1＝4k2+4k＝4k（k+1），

∵k和k+1是相邻整数，必有一个是偶数，

∴k（k+1）是2的倍数，

∴4k（k+1）是8的倍数，即m2﹣1能被8整除，C错误．

D：原式

11111

=1+2+2−−

�(�+1)+2(��+1�(�+1))

11�+1−�−1

=1+2+2+2()

�(�+1)，�(�+1)

11

=1+2+2

∵n＞0�(�+1)

∴，D正确．

1111

22

故选1：+D�．+(�+1)=1+�−�+1

【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键．

4．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如8＝32﹣12，16

＝52﹣32，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（）

A．17687B．17688C．17689D．17670

【考点】因式分解的应用．

【专题】整式；运算能力．

【答案】B

【分析】根据“美好数”的定义，设两个连续奇数分别为2n﹣1，2n+1，n为正整数，利用平方差公式

推导“美好数”的表达式，结合不超过530的条件确定n的范围，再求和计算即可．

【解答】解：如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．

设两个连续奇数分别为2n﹣1，2n+1，n为正整数，

由平方差公式得：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1）＝8n，

即“美好数”可表示为8n，

由题意得：8n≤530，

解得n≤66.25，

第8页（共28页）

∵n为正整数，

∴n的最大值为66，

∴最大的对应奇数为2×66+1＝133，

∴所有“美好数”之和为

．8×1+8×2+8×3+⋯+8×66=8×(1+2+3+⋯+66)=8×

(1+66)×66

故选：2B．=17688

【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键．

5．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1

可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．若已知a2+b2+c2＝45，ab+bc+ac＝38，由图2所表示的数学

等式，则a+b+c的值为（）

A．83B．7C．121D．11

【考点】因式分解的应用；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．

【专题】因式分解；整式；运算能力；推理能力．

【答案】D

【分析】根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解．

【解答】解：由图2可得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

∵ab+bc+ac＝38，a2+b2+c2＝45，

∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）＝45+2×38＝121，

又∵a+b+c＞0，

∴a+b+c＝11．

故选：D．

【点评】本题考查了多项式乘以多项式与图形的等面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．

6．已知m2+2m﹣4＝0，则代数式m3+4m2﹣5的值为（）

A．3B．5C．7D．9

第9页（共28页）

【考点】因式分解的应用．

【专题】因式分解；应用意识．

【答案】A

【分析】从已知方程得出m2+2m的值；将所求代数式拆分成含m2+2m的形式；把m2+2m的值整体代

入拆分后的式子；再次整理式子，继续代入m2+2m的值，计算得出结果．

【解答】解：因为m2+2m﹣4＝0，

所以m2+2m＝4，

m3+4m2﹣5

＝m（m2+2m）+2m2﹣5

＝4m+2m2﹣5

＝2（m2+2m）﹣5

＝2×4﹣5

＝3．

故选：A．

【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用整体代入法分解因式．

7．x2+mx+n＝（x+3）（x﹣1），则m+n＝（）

A．﹣2B．1C．2D．﹣1

【考点】因式分解﹣十字相乘法等．

【专题】整式；运算能力．

【答案】D

【分析】先运用十字相乘因式分解法求得m，n的值，再代入、求解．

【解答】解：由题意得，

m＝3﹣1＝2，

n＝3×（﹣1）＝﹣3，

∴m+n＝2﹣3＝﹣1，

故选：D．

【点评】此题考查了十字相乘法因式分解的应用能力，关键是能准确理解并运用该方法．

二．填空题（共6小题）

8．一位密码编译者，设置以下规则：a﹣1，x﹣y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：数，爱，我，

浙，江，学．现将2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是我爱数学（只

第10页（共28页）

需写出一种）．

【考点】因式分解的应用．

【专题】整式；运算能力．

【答案】我爱数学．

【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序

排列形成密码信息．

【解答】解：∵2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）

＝（a2﹣1）（2x﹣2y）

＝2（a﹣1）（a+1）（x﹣y），

∵对应密码字：2→我，（x﹣y）→爱，（a+1）→学，（a﹣1）→数，

∴密码信息为“我爱数学”．

故答案为：我爱数学．

【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是关键．

9．如果x2﹣y2＝8，x﹣y＝2，那么代数式x2+y2的值是10．

【考点】因式分解的应用．

【专题】计算题；运算能力．

【答案】10．

【分析】首先把x2﹣y2因式分解，根据x﹣y＝2，求出x+y的值，再求出x，y的值，代入x2+y2进行计

算即可．

【解答】解：∵x2﹣y2＝8，

∴（x+y）（x﹣y）＝8，

∵x﹣y＝2①，

∴x+y＝4②，

①+②得：x＝3，

把x＝3代入①得：y＝1，

把x＝3，y＝1代入x2+y2得：

x2+y2，

＝32+12，

＝9+1，

＝10，

第11页（共28页）

故答案为：10．

【点评】本题主要考查了因式分解和二元一次方程组的解法，解题关键是把已知等式因式分解，求出x，

y的值．

10．已知实数a，b，c满足a＜b＜c．

（1）若2a+b＝6，a﹣c＝﹣2，则a的取值范围是＜＜；

4

�2

（2）若a，b，c是正整数，且，则a+3b+c值为10．

1113

++=

【考点】因式分解的应用；分式�的加�减法�；不2等式的性质．

【专题】整式；运算能力．

【答案】（1）＜＜；

4

�2

（2）10．3

【分析】（1）根据条件式可得b＝6﹣2a，c＝a+2，根据（a＜b＜c）得出不等式组，求得不等式组的

解集即可求解；

（2）根据题意可得＜＜，则＞，得出a＝1，同理得出b＝2或b＝3，分类讨论求得c的值，

11133

进而求得代数式的值�，即�可求�解．�2

【解答】解：（1）∵2a+b＝6，a﹣c＝﹣2，

∴b＝6﹣2a，c＝a+2，

∵（a＜b＜c），

＜

∴，

＜

�6−2�①

解不6等−式2�①�得+：2a②＜2，

解不等式②得：＞，

4

�

∴＜＜；3

4

�2

（23）若a，b，c是正整数，且，

1113

++=

∵（a＜b＜c），a，b，c是正整�数，��2

∴＜＜，

111

∴�＞�，�

33

∴�a＜22，

第12页（共28页）

又∵a是正整数，

∴a＝1，

∴，

111

+=

同理�可�得＞2，

21

∴b＜4，�2

∵b是正整数，且b＞1，

∴b＝2或b＝3，

当b＝2时，，，不成立，

1111

+==0

当b＝3时，2�2�，

1111

=−=

∴c＝6，�236

∴a+b+c＝1+3+6＝10．

【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键．

11．自然数m与n均为两位数，它们的十位数字相同，个位上的数字之和为8，且m与n的乘积为三位数，

m+n的最小值为28；当m＞n时，存在正整数k，使得k2＝m2﹣n2+1，则所有满足条件的k的值之

和为45．

【考点】因式分解的应用；一元一次不等式的整数解．

【专题】整式；运算能力．

【答案】28，45．

【分析】设两个自然数的十位数字为a（1≤a≤9，且a为整数），自然数m的个位数字为b（0≤b≤8，

且b为整数），则n的个位数字为8﹣b，表示出m和n，根据m+n与a的关系，结合乘积为三位数的

条件求出m+n的最小值，再将k2＝m2﹣n2+1变形，枚举所有可能的a和b，找出符合条件的k，计算所

有k的和即可．

【解答】解：设两个自然数的十位数字为a（1≤a≤9，且a为整数），自然数m的个位数字为b（0≤

b≤8，且b为整数），则自然数n的个位数字为8﹣b，

∴m＝10a+b，n＝10a+8﹣b，

∴m+n＝20a+8，mn＝100a2+80a+b（8﹣b），

要使m+n＝20a+8最小，需a最小，

当a＝1时，mn＝100+80+8b﹣b2＝﹣b2+8b+180＝﹣（b﹣4）2+196，

第13页（共28页）

mn的最大值为196＜1000，符合乘积为三位数的条件，

因此m+n的最小值为20×1+8＝28，

当m＞n时，m﹣n＝（10a+b）﹣（10a+8﹣b）＝2b﹣8＞0，

解得b＞4，

∴5≤b≤8，且b为整数，

∵k2＝m2﹣n2+1，

∴k2＝（2b﹣8）（20a+8）+1，且mn＜1000，

对b分类讨论如下：

①当b＝5时，2b﹣8＝2，k2＝2（20a+8）+1＝40a+17，mn＝（10a+5）（10a+3）＝100a2+80a+15＜

1000，

a＝1时，k2＝57，不是完全平方数；

a＝2时，k2＝97，不是完全平方数；

a≥3时，mn＞1000，不符合，舍去；

②当b＝6时，2b﹣8＝4，k2＝4（20a+8）+1＝80a+33，mn＝（10a+6）（10a+2）＝100a2+80a+12＜

1000，

a＝1时，k2＝113，不是完全平方数；

a＝2时，k2＝193，不是完全平方数；

a≥3时，mn＞1000，不符合，舍去；

③当b＝7时，2b﹣8＝6，k2＝120a+49，mn＝100a2+80a+7＜1000，

a＝1时，k2＝169＝132，正整数k＝13，符合条件；

a＝2时，k2＝289＝172，正整数k＝17，符合条件；

a≥3时，mn＞1000，不符合，舍去；

④当b＝8时，2b﹣8＝8，k2＝8（20a+8）+1＝160a+65，mn＝（10a+8）（10a+0）＝100a2+80a＜1000，

a＝1时，k2＝225＝152，正整数k＝15，符合条件；

a＝2时，k2＝385，不是完全平方数；

a≥3时，mn＞1000，不符合，舍去；

综上，k的值为13，15，17，它们的和为45．

故答案为：28，45．

【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键．

12．分解因式：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，16x2+8x+1＝（4x+1）2，9x2+12x+4＝（3x+2）2．

第14页（共28页）

（1）观察上述三个多项式的系数，有（﹣2）2＝4×1×1，82＝4×16×1，122＝4×9×4，于是小金猜

测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间一定存在某种关系．请你用等式

表示小明的猜想：b2＝4ac；

（2）若多项式2x2+ax+c和2x2﹣cx+a都是完全平方式，利用（1）中的规律求ac＝64．

【考点】因式分解﹣十字相乘法等；规律型：数字的变化类；因式分解﹣运用公式法．

【专题】整式；运算能力．

【答案】（1）b2＝4ac；

（2）64．

【分析】（1）根据题中给出的三个式子，结合多项式ax2+bx+c（a＞0），由（﹣2）2＝4×1×1，82

＝4×16×1，122＝4×9×4的形式即可猜想出答案；

（2）由（1）中的猜想，根据多项式2x2+ax+c是完全平方式，得到a2＝8c①，多项式2x2﹣cx+a是完

全平方式，得到c2＝8a②，从而两式相乘即可得到ac的值．

【解答】解：（1）∵x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，对比多项式ax2+bx+c（a＞0）有a＝1，b＝﹣2，c＝1，

由（﹣2）2＝4×1×1可知b2＝4ac；

同理，对于9x2+12x+4＝（3x+2）2，16x2+8x+1＝（4x+1）2，

由122＝4×9×4，82＝4×16×1，均可得到b2＝4ac；

用数学式子表示小金的猜想：b2＝4ac，

故答案为：b2＝4ac；

（2）由（1）中猜想，当多项式2x2+ax+c是完全平方式，得到a2＝8c①，

当多项式2x2﹣cx+a是完全平方式，得到c2＝8a②，

∴a2c2＝64ac，

∵2x2+ax+c和2x2﹣cx+a都是完全平方式，

∴ac≠0，

a2c2＝64ac两边同时除以ac得，ac＝64，

故答案为：64．

【点评】本题考查因式分解，掌握十字相乘法因式分解是解题的关键．

13．生活中我们经常用到密码，有一种密码的产生采取以下方式：x4﹣y4＝（x2+y2）（x2﹣y2）＝（x2+y2）

（x+y）（x﹣y），当x，y都取9时，各因式的值是162，18，0，于是可以把“162180”作为一个六位

数密码．类似的对于多项式16x3﹣xy2，当x、y都取10时，最小的6位密码是103050．

【考点】因式分解的应用．

第15页（共28页）

【专题】因式分解；应用意识．

【答案】103050．

【分析】先提取公因式x，然后运用平方差公式分解因式，将x、y等于10代入因式中，要想使密码最

小，需要将最小的数放在前面．

【解答】解：16x3﹣xy2，

＝x（16x2﹣y2）

＝x（4x+y）（4x﹣y），

当x、y都取10时，

4x+y＝40+10＝50，

4x﹣y＝40﹣10＝30，

各个因式的值为：10，50，30，

所以最小的6位密码是103050．

故答案为：103050．

【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用提公因式法、平方差公式分解因式．

三．解答题（共7小题）

14．一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．

例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，32＝92﹣72，…．

因此8，16，24，32都是“神秘数”．

（1）【数学理解】根据“神秘数”规律填空：

（40）＝112﹣92；48＝（13）2﹣（11）2；

（2）【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为2n﹣1（其中n取正整数），试说明“神秘数”

一定是8的倍数；

（3）【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分

成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由；

（4）【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2

个正方形边长为3，第3个正方形边长为5，…，按此规律拼叠到正方形ABCD，正方形ABCD的边长

为99，求阴影部分面积的和．

第16页（共28页）

【考点】因式分解的应用；平方差公式的几何背景．

【专题】整式；运算能力．

【答案】（1）40，13，11；

（2）设两个连续奇数为2n+1和2n﹣1，则：

（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1＝8n，

∵8n是8的倍数，

∴“神秘数”一定是8的倍数．

（3）960是神秘数，960＝2412﹣2392；

（4）阴影部分面积的和为5000．

【分析】（1）计算112﹣92：用平方差公式（11+9）×（11﹣9）＝20×2＝40；求48对应的两个连续

奇数：设为2n+1和2n﹣1，则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n＝48，得n＝6，对应132﹣112；

（2）设两个连续奇数为2n+1和2n﹣1，则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，8n是8的倍数，故神秘数一

定是8的倍数；

（3）判断960是否是8的倍数即可；

（4）阴影面积和为（32﹣12）+（72﹣52）+（112﹣92）+…+（992﹣972），用平方差公式展开得2×（4+12+20+…

+196），计算求解即可．

【解答】解：（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝40．

设48＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n，

则8n＝48，解得n＝6，

则2n+1＝13，2n﹣1＝11，

即48＝132﹣112．

故答案为：40，13，11；

（2）设两个连续奇数为2n+1和2n﹣1，则：

（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1＝8n，

第17页（共28页）

∵8n是8的倍数，

∴“神秘数”一定是8的倍数．

（3）设960＝8n，解得n＝120，

则2n+1＝241，2n﹣1＝239

∴960＝2412﹣2392，960是神秘数．

（4）阴影面积和＝（32﹣12）+（72﹣52）+（112﹣92）+…+（992﹣972）

＝（3+1）（3﹣1）+（7+5）（7﹣5）+…+（99+97）（99﹣97）

＝2×（4+12+20+…+196）

(4+196)×25

＝=250×00．2

答：阴影面积为5000．

【点评】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答

的关键．

15．【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式）．事

实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法．例如：因式分解x2+2x﹣3，发

现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法，如x2+2x﹣3＝x2+2

×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．

（1）因式分解：x2+8x+7．

（2）因式分解：x2﹣y2﹣4x+6y﹣5．

【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣分组分解法．

【专题】整式；运算能力．

【答案】（1）（x+7）（x+1）；

（2）（x+y﹣5）（x﹣y+1）．

【分析】（1）先利用配方法得到原式＝（x+4）2﹣32，然后利用平方差公式分解因式；

（2）先分组得到原式＝x2﹣4x+4﹣（y2﹣6y+9），再利用完全平方公式分别分解因式，然后利用平方

差公式分解因式．

【解答】解：（1）原式＝x2+8x+16﹣9

＝（x+4）2﹣32

＝（x+4+3）（x+4﹣3）

第18页（共28页）

＝（x+7）（x+1）；

（2）原式＝x2﹣4x+4﹣（y2﹣6y+9）

＝（x﹣2）2﹣（y﹣3）2

＝（x﹣2+y﹣3）（x﹣2﹣y+3）

＝（x+y﹣5）（x﹣y+1）．

【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等，借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项

式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法，掌握x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．也考查了公式

法和分组分解法分解因式．

16．先阅读下列材料，再解答下列问题：

因式分解：（x﹣y）2+2（x﹣y）+1．

解：将“x﹣y”看成整体，设x﹣y＝a，则原式＝a2+2a+1＝（a+1）2．

再将x﹣y＝a代入，得原式＝（x﹣y+1）2．

归纳总结：“换元法”是初中数学经常用到的一种方法．在因式分解时，

我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁

为简”的目的．

（1）下面是小明同学用“换元法”对多项式（x+2y）2+4（x+2y）+4进行因式分解的过程，请将分解

过程补充完整．

解：设x+2y＝a．

原式＝a2+4a+4

＝（a+2）2

将x+2y＝a代入，得原式＝（a+2）2＝（x+2y+2）2．

（2）请用“换元法”对多项式（x﹣2y﹣1）（x﹣2y+3）+4进行因式分解．

（3）当x＝﹣1时，多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1存在最小值（填“大”或“小”），这

个值是0．

【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣运用公式法．

【专题】整式；运算能力．

【答案】（1）a2+4a+4；＝（x+2y+2）2；

（2）（x﹣2y+1）2；

（3）﹣1；小，0．

【分析】（1）仿照示例，进行因式分解，可得到结果；

第19页（共28页）

（2）设x﹣2y＝a，则原式＝（a﹣1）（a+3）+4，进行因式分解，可得到结果．

（3）设x2+2x＝a，原式变形为（a+1）2，可得（x2+2x+1）2＝（x+1）4，故可得结论．

【解答】解：（1）设x+2y＝a，

原式＝a2+4a+4，

将x+2y＝a代入得：原式＝（x+2y+2）2；

故答案为：a2+4a+4；（x+2y+2）2；

（2）设x﹣2y＝a，则原式变为（a﹣1）（a+3）+4

＝a2+3a﹣a﹣3+4

＝（a+1）2，

把a＝x﹣2y代入得：原式＝（x﹣2y+1）2；

（3）设x2+2x＝a，则原式变为：a（a+2）+1

＝a2+2a+1

＝（a+1）2，

代入a＝x2+2x，得（x2+2x+1）2＝（x+1）4，

∴当x＝﹣1时，（x+1）4＝0，

∴当x＝﹣1时，多项式存在最小值，这个最小值为0．

故答案为：﹣1；小，0．

【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键．

17．阅读并完成相应问题的解答．

因为（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，所以（x2+x﹣2）÷（x﹣1）＝（x+2）．

即x2+x﹣2能被x﹣1整除．同理，x2+x﹣2能被x+2整除．

我们知道，若ab＝0，则a＝0或b＝0．

若x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，则x﹣1＝0或x+2＝0，所以x＝1或x＝﹣2．

请根据以上的阅读材料，完成以下问题：

（1）若（x+2）（x+k）＝x2+5x+6，求数k的值；

（2）已知多项式x2+mx﹣15能被x+3整除，求数m的值；

（3）已知多项式x2+mx﹣15能被x+3整除，当x2+mx﹣15＝0时，求x值．

【考点】因式分解的应用；解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】因式分解；应用意识．

【答案】（1）3；

第20页（共28页）

（2）﹣2；

（3）x＝﹣3或x＝5．

【分析】（1）先把左边的（x+2）（x+k）用多项式乘法展开，得到x2+（k+2）x+2k；让展开后的式子

和右边的x2+5x+6对应项的系数相等，列出关于k的等式；解等式验证后得到k的值；

（2）因为x2+mx﹣15能被x+3整除，说明这个二次式可以分解成（x+3）和另一个一次式（x+a）的乘

积；把（x+3）（x+a）展开，和原式对比常数项，先算出a的值；再对比一次项的系数，代入a的值算

出m；

（3）把第（2）问算出的m代入原式，得到完整的一元二次方程；对这个方程左边的多项式做因式分

解；根据“若两个数乘积为0，则至少其中一个数为0”的规则，分别让两个因式等于0，解出对应的x

值．

【解答】解：（1）（x+2）（x+k）＝x2+（k+2）x+2k，

因为（x+2）（x+k）＝x2+5x+6，

所以等式两边对应项系数相等，即k+2＝5且2k＝6，

由k+2＝5得k＝3，代入2k＝6验证，2×3＝6，等式成立，

故k＝3．

（2）因为多项式x2+mx﹣15能被x+3整除，

所以可设x2+mx﹣15＝（x+3）（x+a）（a为常数），

（x+3）（x+a）＝x2+（a+3）x+3a，

与x2+mx﹣15对比得：3a＝﹣15，解得a＝﹣5；

又因为m＝a+3，代入a＝﹣5得m＝﹣5+3＝﹣2．

（3）求x的值第一步：代入m的值确定多项式由（2）知m＝﹣2，

所以多项式为x2﹣2x﹣15，

所以x2﹣2x﹣15＝0，

得（x+3）（x﹣5）＝0，

得x+3＝0或x﹣5＝0，

解得x＝﹣3或x＝5．

【点评】本题考查多项式乘法与整除的关系，通过展开等式、利用整除性质建立方程求解未知数，再结

合因式分解求解方程的根．

18．先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．

第21页（共28页）

解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则：

原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

（1）因式分解：（x﹣y）2+2（x﹣y）+1＝（x﹣y+1）2；

（2）证明：无论a，b取何值时，（a2b2﹣4a）（a2b2﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数．

【考点】因式分解﹣运用公式法．

【专题】整式；运算能力．

【答案】（1）（x﹣y+1）2；

（2）证明：将“a2b2﹣4a”看成整体，令a2b2﹣4a＝A，

则：原式＝A（A﹣2）+1＝A2﹣2A+1＝（A﹣1）2，

再将“A”还原，得原式＝（a2b2﹣4a﹣1）2，

∵（a2b2﹣4a﹣1）2≥0，

∴无论a，b取何值时，（a2b2﹣4a）（a2b2﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数．

【分析】（1）令x﹣y＝A，代入原式，利用完全平方式因式分解，再将“A”还原即可；

（2）令a2b2﹣4a＝A，代入原式，化简后再利用完全平方式因式分解，再将“A”还原，得原式＝（a2b2

﹣4a﹣1）2，任何情况下，都是非负数，题目得证．

【解答】（1）解：将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，

则：原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，

再将“A”还原，得原式＝（x﹣y+1）2；

故答案为：（x﹣y+1）2；

（2）证明：将“a2b2﹣4a”看成整体，令a2b2﹣4a＝A，

则：原式＝A（A﹣2）+1＝A2﹣2A+1＝（A﹣1）2，

再将“A”还原，得原式＝（a2b2﹣4a﹣1）2，

∵（a2b2﹣4a﹣1）2≥0，

∴无论a，b取何值时，（a2b2﹣4a）（a2b2﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数．

【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键．

19．1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”

原理，举例说明如下．分解因式：x3﹣4x+3．

解：观察可知，当x＝1时，原式＝1﹣4+3＝0，所以原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．因为

x3﹣4x+3为三次式，且最高次项系数为1，而x﹣1是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式

第22页（共28页）

为x2+bx+c，即x3﹣4x+3＝（x﹣1）（x2+bx+c）．

因为上式对任意x恒成立，所以可另取几个方便计算的x的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，

求得b，c的值，从而完成对x3﹣4x+3的因式分解．

（1）取x＝0和x＝2代入，求b，c的值；

（2）尝试用上述方法分解因式：x3+2x2﹣1．

【考点】因式分解﹣十字相乘法等；有理数的加减混合运算．

【专题】整式；运算能力．

【答案】（1）b＝1，c＝﹣3；

（2）x3+2x2﹣1＝（x+1）（x2+x﹣1）．

【分析】（1）按要求代入指定x的值，得到关于b，c的方程组求解即可；

（2）先试根得到原式的一个一次因式，再用待定系数法求出另一个二次因式，即可完成分解．

【解答】解：（1）取x＝0和x＝2代入，

已知x3﹣4x+3＝（x﹣1）（x2+bx+c），

将x＝0代入等式两边，得左边＝03﹣4×0+3＝3，

右边＝（0﹣1）（0+0+c）＝﹣c，

因此3＝﹣c，

解得c＝﹣3，

将x＝2，c＝﹣3代入等式两边，得左边＝23﹣4×2+3＝3，

右边＝（2﹣1）（22+2b﹣3）＝1+2b，

因此3＝1+2b，

解得b＝1，

即；

�=1

（2�）=先−试3根得到原式的一个一次因式，再用待定系数法求出另一个二次因式可得：

对于多项式x3+2x2﹣1，当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）3+2×（﹣1）2﹣1＝0，

因此原式可分解为（x+1）与一个二次整式的乘积，

设另一个整式为x2+bx+c，可得x3+2x2﹣1＝（x+1）（x2+bx+c），

取x＝0代入等式，得左边＝﹣1，右边＝1×c＝c，

因此c＝﹣1，

取x＝1代入等式，得左边＝13+2×12﹣1＝2，

第23页（共28页）

右边＝（1+1）（1+b﹣1）＝2b，

因此2＝2b，

解得b＝1，

因此x3+2x2﹣1＝（x+1）（x2+x﹣1）

【点评】本题考查因式分解的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．

20．我们约定：如果一个自然数a（零或正整数）能表示为m2﹣n2的形式（m、n均为自然数，且仅当a

＝1时n＝0），那么称这个自然数为完美数．

数字