2027版中考数学难题速递：图形的对称

2027年中考数学复习难题速递之图形的对称（2026年7月）

一．选择题（共10小题）

1．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F是边AB，CD上的点，将正方形ABCD沿着EF折叠，使点

D的对应点G落在BC边上，点A的对应点为点A'，连接DG交EF于点H，若，则EH的

长为（）𝐷=210

A．B．3C．D．

10310510

．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再将点折叠在折痕上，折痕为，点在上的

22MN2BMN3AEBMN

对应点为F，连接DF，CF．则下列说法：

①△ADF是等边三角形；

②BE＝2NF；

③∠NEF＝2∠NCF；

④NE+EF＝CF；

⑤DF＝4EF．

其中正确的个数是（）

A．2B．3C．4D．5

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点M，N分别在AD，BC上，且，，

11

E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′�E�，=当3点��C′�恰�好=落3在𝐵直

线MN上时，CE的长为（）

第1页（共45页）

A．5B．15C．5或20D．5或15

4．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE翻折，使A落在点A'处，连接EA′并延长，

交边BC于点F．若AB＝3，BC＝4，则线段BF的长为（）

A．B．C．D．

1312

2513

5．如图4，正方形ABCD，边长5为9，点E在边AD上，DE＝2，连接CE，点F在边BC上，连接EF，将

△CEF沿EF翻折得△GEF，点G在AB边上，点H在线段EF上，∠FGH＝45°，求△FGH的面积为

（）

A．B．C．D．10

3523575

．如图（）在正方形纸片中，各边分别取点、、、，使得＝＝＝，沿着，

681ABCD48EFGHBECFCGHDEF

HG裁剪，得到的六边形AEFCGH，再沿对角线AC剪开分成如图（2）两个四边形，将四边形A′C′

GH沿A′C′的垂直平分线对称得到图（3）四边形，再将AC与C′A′重合（A与C′重合，C与A′

重合）得如图（4）六边形AEFCHG，连接GF，则AG，AE，FG之间的关系是（）

第2页（共45页）

A．AG+AE＝FGB．AG2+AE2＝2FG2

C．D．

22121

7．如图�，�在+△��ABC=中2�，�D是边BC的中点，将△ABD𝐷沿+A�D�翻=折2�，�点B落在点E处，AE交CD于点F，

△ADF的面积恰好是△ABC面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①∠B＝∠CAE；②

1

AC＝CD．那么下列说法中，正确的4是（）

A．①正确②错误B．①错误②正确

C．①、②皆正确D．①、②皆错误

8．将图1中的5个边长为1的小正方形，剪拼成图2中的大正方形ABCD．在数轴上，以原点O为圆心，

AB为半径作弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（）

A．B．或C．5D．5或﹣5

9．如图，5△ABC中，∠ACB＝905°，−AC5＝8，BC＝6，沿DE折叠，使点A与点B重合，则DE的长为（）

第3页（共45页）

A．B．4C．D．

112415

10．如图3，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝10，点E5为DC边上一个动点，4将△ADE沿直线AE折叠，点

D的对应点为F．下列说法正确的是（）

①当点F落在AB边上时，EF＝5；

②当∠DAE＝30°时，点F恰好落在矩形ABCD的对角线AC上；

③点F落在AD的垂直平分线上时，∠FAB＝30°；

④点F与A，B组成△ABF的面积为15时，此时DE的长为2.4或10．

A．①③④B．①④C．①③D．②④

二．填空题（共5小题）

11．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝9，△OMN的面积为12，点P是直线

MN上的动点，点P关于OA对称的点为点P1，点P关于OB对称的点为点P2，当点P在直线NM上

运动时，△OP1P2的面积最小值为．

12．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D，E为BC上两点，∠DAE＝45°，F为△

ABC外一点，且AF＝AE，∠EAF＝90°．以下结论：

①CE＝BF；

②＞；

1

�△𝐵���⋅��

2第4页（共45页）

③若BE：CE＝3：1，则；

52

④△FBE周长的最小值为��=6．

正确的有．（请1+填2写序2号）

13．如图，在矩形ABCD中，，，P，Q分别是AB，AD上的动点，且AP＝DQ，

则的最小值是��=3+3��=．23

2

𝑃+2��

14．在长方形ABCD中，AD＝5，AB＝4，延长CB至点E，使得BE＝AB，连接AE，点M是DC的中点，

点P是边AD上一动点，点Q在边AE上，则MP+BP+BQ的最小值＝．

15．在△ABC中，AB＝AC＝5，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，点E，F分别是线段BC，CD上的动点，

且BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为．

三．解答题（共5小题）

16．如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠ADC＝100°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，

点C落到点E处，AE与BC相交于点F．

第5页（共45页）

（1）求证：AB∥DE；

（2）若AE恰好平分∠BAD，求∠E的度数；

（3）若△ACF的周长为12，△DEF的周长为4，求AF的长．

17．如图，在8×8的正方形网格图中，点A，B，C均在格点上，现要另外添加一个格点D，使A、B、C、

D这4个点两两连接所形成的图形是轴对称图形．请在图中画出所有满足条件的点D，并简要描述你是

如何找到的．

18．如图①，在△ABC中，∠BAC＝52°，点M是△ABC内的一点，分别过M作关于AB，AC的对称点

M1，M2，连接AM，AM1，AM2．

（1）∠ABC+∠ACB＝°；

（2）求∠M1AM2的度数；

（3）如图②，再作M关于BC的对称点M3，分别连接BM1，BM3，CM2，CM3，求∠M1BM3与∠M2CM3

的度数之和．

19．如图，在正方形网格中，△ABC是格点三角形．

（1）若每一个小正方形的边长为1，则△ABC的面积＝；

第6页（共45页）

（2）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1和△ABC关于直线l对称；

（3）请在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小．

20．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，直线l经过点C但不经过点A，B．

（1）作点D关于直线l的对称点E；

（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）连接EB并延长交直线l于点F，连接AF．求证：AF＝AB．

第7页（共45页）

2027年中考数学复习难题速递之图形的对称（2026年7月）

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

题号12345678910

答案DBCACCCBDC

一．选择题（共10小题）

1．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F是边AB，CD上的点，将正方形ABCD沿着EF折叠，使点

D的对应点G落在BC边上，点A的对应点为点A'，连接DG交EF于点H，若，则EH的

长为（）𝐷=210

A．B．3C．D．

10310510

【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．

223

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．

【答案】D

【分析】过点E作EP⊥CD于点P，设DF＝x，则CF＝6﹣x，先由勾股定理求出CG＝2，由折叠性质

得GF＝DF＝x，EF⊥DG，DH＝GHDG＝√10，在Rt△CGF中，由勾股定理得DF＝x，在Rt

110

=2=3

△DHF中，由勾股定理得FH，证明四边形EPCB是矩形得EP＝BC＝DC，再证明△PEF和△CDG

10

=

全等得EF＝DG，据此可3得EH＝EF﹣FH．

510

【解答】解：过=点2E作10EP⊥CD于点P，如图所示=：3

∴∠EPF＝90°，

第8页（共45页）

∵四边形ABCD是正方形，且边长为6，

∴DC＝BC＝6，∠B＝∠C＝90°，

∴∠EPF＝∠C＝90°，

设DF＝x，则CF＝DC﹣DF＝6﹣x，

在Rt△DCG中，∠C＝90°，DG，

=210

由勾股定理得：CG2，

2222

∵将正方形ABCD沿=着�E�F折−叠𝐵，使=点(D2的10对)应−点6G=落在BC边上，

∴EF是DH的垂直平分线，GF＝DF＝x，

∴EF⊥DG，DH＝GHDG，

1

∴∠DHF＝90°，=2=10

在Rt△CGF中，∠C＝90°，

由勾股定理得：GF2＝CF2+CG2，

∴x2＝（6﹣x）2+22，

解得：x，

10

=

∴DF＝x3，

10

在Rt△D=HF3中，∠DHF＝90°，

由勾股定理得：FH，

22102210

∵∠EPF＝∠B＝∠=C＝�90�°−，��=(3)−(10)=3

∴四边形EPCB是矩形，

∴EP＝BC，

∴EP＝DC，

在Rt△EPF中，∠EPF＝90°，

∴∠PEF+∠PFE＝90°，

在Rt△DHF中，∠DHF＝90°，

∴∠CDG+∠PFE＝90°，

∴∠PEF＝∠CDG，

在△PEF和△CDG中，

第9页（共45页）

，

∠���=∠�=90°

��=𝐵

∴∠△��P�E=F≌∠�△�C�DG（ASA），

∴EF＝DG，

=210

∴EH＝EF﹣FH．

10510

故选：D．=210−3=3

【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的

判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，正方形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质，

全等三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．

2．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再将点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的

对应点为F，连接DF，CF．则下列说法：

①△ADF是等边三角形；

②BE＝2NF；

③∠NEF＝2∠NCF；

④NE+EF＝CF；

⑤DF＝4EF．

其中正确的个数是（）

A．2B．3C．4D．5

【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．

【专题】矩形菱形正方形；展开与折叠；几何直观；推理能力．

【答案】B

【分析】由题意可得AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝90°，由折叠的性质可得MN垂直平分AD，AF＝AB，

BE＝EF，∠AFE＝∠B＝90°，MN⊥BC，CN＝BN＝DM＝AM，结合等边三角形的性质即可判断①正

确；求出∠FEN＝30°，从而得出BE＝EF＝2NF，即可判断②正确；在CN上取点G，使得GN＝EN，

第10页（共45页）

连接GF，求出∠GCF＝∠GFC＝15°，即可判断③正确；由NE+EF＝NE+BE＝BN＝CN＜CF，即可

判断④错误；表示出DF＝AF＝2AM，，即可判断⑤错误．

1

【解答】解：由题意可得AD＝AB＝CD�＝�B=C，��∠≠B＝2�9�0°，

∵将点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为F，

∴MN垂直平分AD，AF＝AB，BE＝EF，∠AFE＝∠B＝90°，MN⊥BC，CN＝BN＝DM＝AM，

∴AF＝DF，

∴AF＝DF＝AD，

∴△ADF是等边三角形，

故说法①正确，符合题意；

∴∠AFD＝60°，

∴，

1

∴∠�E�F�N＝=128∠0°��﹣�∠=A3F0M°﹣∠AFE＝60°，

∵MN⊥BC，

∴∠ENF＝90°，

∴∠FEN＝90°﹣∠EFN＝30°，

∴EF＝2NF，

∴BE＝EF＝2NF，

故说法②正确，符合题意；

如图，在CN上取点G，使得GN＝EN，连接GF，

则MN垂直平分GE，

∴GF＝EF，

∴∠FGN＝∠FEN＝30°，

∵CN＝BN，

∴CN﹣GN＝BN﹣EN，

第11页（共45页）

∴CG＝BE，

∵BE＝EF，

∴CG＝GF，

∴∠GCF＝∠GFC，

∵∠GCF+∠GFC＝∠FGN＝30°，

∴∠GCF＝∠GFC＝15°，

∴∠NEF＝2∠NCF，

故说法③正确，符合题意；

NE+EF＝NE+BE＝BN＝CN＜CF，

故说法④错误，不符合题意；

∵△ADF为等边三角形，FM⊥AD，∠AFM＝30°，

∴DF＝AF＝2AM，

∵，

1

∴D��F≠=4�E�F，≠2𝐵

故说法⑤错误，不符合题意；

综上所述，正确的有①②③，共3个，

故选：B．

【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握

折叠的性质是解答本题的关键．

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点M，N分别在AD，BC上，且，，

11

E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′�E�，=当3点��C′�恰�好=落3在𝐵直

线MN上时，CE的长为（）

A．5B．15C．5或20D．5或15

【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；展开与折叠；几何直观；推理能力．

第12页（共45页）

【答案】C

【分析】当点C′在矩形ABCD内部时，由矩形的性质得到DC＝AB＝10，∠A＝90°，AD＝BC＝12，

根据已知条件得到AM＝BN，推出四边形ABNM的矩形，得到∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝10，

根据折叠的性质得到DC′＝DC＝10，C′E＝CE，根据勾股定理得到，根据

22

勾股；同理，当点C′在矩形ABCD外部时，方法同上可得结论．�'�=𝐵'−𝐴=6

【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，

∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝12，AD∥BC，∠A＝90°，

∵点M，N分别在AD，BC上，，，

11

∴AM＝BN＝4，𝐴=3��𝐵=3𝐵

∵AM∥BN，

∴四边形ABNM的矩形，

∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝10，

由题意可分：当点C′在矩形ABCD内部时，如图1，

由折叠的性质可知：DC′＝DC＝10，C′E＝CE，

∵AM＝4，

∴DM＝AD﹣AM＝12﹣4＝8，

由勾股定理得：，

22

∴C′N＝MN﹣C�′'�M=＝4�，�'−𝐴=6

∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，

∴四边形CDMN是矩形，

∴CN＝DM＝8，∠CNM＝90°，NE＝CN﹣CE＝8﹣CE，

在Rt△C′NE中，由勾股定理可得：NE2+C′N2＝C′E2，

∴（8﹣CE）2+42＝CE2，

解得：CE＝5；

第13页（共45页）

当点C′在矩形ABCD外部时，如图2，

由勾股定理得：，

22

∴C′N＝MN+C�′'�M＝=16�，�'−𝐴=6

∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，

∴四边形CDMN是矩形，

∴CN＝DM＝8，∠CNM＝∠MNE＝90°，NE＝CE﹣CN＝CE﹣8，

在Rt△C′NE中，由勾股定理可得：NE2+C′N2＝C′E2，

∴（CE﹣8）2+162＝CE2，

解得：CE＝20；

综上所述：CE的长为5或20，

故选：C．

【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握

勾股定理．

4．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE翻折，使A落在点A'处，连接EA′并延长，

交边BC于点F．若AB＝3，BC＝4，则线段BF的长为（）

A．B．C．D．

1312

2513

【考4点】翻折变换（折叠问5题）；矩形的性质．

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．

第14页（共45页）

【答案】A

【分析】依题意得AEAD＝2，由翻折性质得A'E＝AE＝2，A'B＝AB＝3，∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'EB

1

＝∠AEB，则∠BA'F＝=920°，∠FEB＝∠AEB，设A'F＝a，则EF＝2+a，由AD∥BC得∠AEB＝∠FBE，

则∠FEB＝∠FBE，由此得BF＝EF＝2+a，然后在Rt△A'BF中，由勾股定理得a，继而得BF＝2+a，

513

据此可得出答案．=4=4

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，

∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，AD∥BC，∠A＝90°，

∵点E为AD的中点，

∴AEAD＝2，

1

∵将△=A2BE沿BE翻折，使A落在点A'处，

∴A'E＝AE＝2，A'B＝AB＝3，∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'EB＝∠AEB，

∵EA′的延长线交边BC于点F，

∴∠BA'F＝180°﹣∠BA'E＝90°，∠FEB＝∠AEB，

设A'F＝a，则EF＝A'E+A'F＝2+a，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠FBE，

∴∠FEB＝∠FBE，

∴BF＝EF＝2+a，

在△A'BF中，∠BA'F＝90°，

由勾股定理得：A'B2+A'F2＝BF2，

∴32+a2＝（2+a）2，

解得：a，

5

=

∴BF＝2+a4．

513

故选：A．=2+4=4

【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，

理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理构

造方程是解决问题的关键．

5．如图，正方形ABCD，边长为9，点E在边AD上，DE＝2，连接CE，点F在边BC上，连接EF，将

第15页（共45页）

△CEF沿EF翻折得△GEF，点G在AB边上，点H在线段EF上，∠FGH＝45°，求△FGH的面积为

（）

A．B．C．D．10

3523575

【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；正方形的性质．

848

【专题】展开与折叠；推理能力．

【答案】C

【分析】根据正方形性质和折叠性质，利用勾股定理求出AG，BG，CF，GF的长，过点E作EM⊥BC

于M，进而求出△GEF的面积和边EF的长；连接GC交EF于点K，连接AC，交EF于点S，证明△

HFG≌△SFC（ASA），推出S，F重合，再证明△AEH∽△CFH，结合相似三角形性质得到FH的长，

最后利用面积公式求解即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为9，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝9，

∵DE＝2，

∴AE＝7，

在Rt△CDE中，，

2222

由折叠性质可知：�△�G=EF�≌�△+CE�F�，=9+2=85

∴，，，

在�R�t△=A�G�E=中，85��=��∠𝐷�=∠𝐵�，

22

∴BG＝AB﹣AG＝�9�﹣=6＝�3�，−��=85−49=6

设CF＝x，

则BF＝9﹣x，GF＝x，

∵BG2+BF2＝GF2，即32+（9﹣x）2＝x2，解得x＝5，

∴CF＝GF＝5，BF＝4，

过点E作EM⊥BC于M，

第16页（共45页）

则EM＝9，BM＝AE＝7，

∴MF＝BM﹣BF＝7﹣4＝3，

∴，

2222

∵��=𝐴+��=9+3=310，

△���△���1145

连接�GC=交�EF于=点2K�，�连⋅�接�=AC2，×交5×EF9于=点2S，

由折叠性质可知，GC⊥EF于点K，

∴，即，

1145

��⋅��=�△���×310⋅��=

∴2，22

15310

��==

∵CF＝GF1，0∠H2FG＝∠SFC，∠SCF＝∠HGF＝45°，

∴△HFG≌△SFC（ASA），

∴HF＝SF，即S，F重合，

∵AE∥CF，

∴△AEH∽△CFH，

∴，

����5

==

∴����7，

55510

��=⋅��=×310=

∴7+5124，

△𝐷�1151031075

故选�：C．=2��⋅��=2×4×2=8

第17页（共45页）

【点评】本题考查翻折变换，掌握折叠的性质是解题的关键．

6．如图（1）在正方形ABCD纸片中，各边分别取点E、F、G、H，使得BE＝CF＝CG＝HD，沿着EF，

HG裁剪，得到的六边形AEFCGH，再沿对角线AC剪开分成如图（2）两个四边形，将四边形A′C′

GH沿A′C′的垂直平分线对称得到图（3）四边形，再将AC与C′A′重合（A与C′重合，C与A′

重合）得如图（4）六边形AEFCHG，连接GF，则AG，AE，FG之间的关系是（）

A．AG+AE＝FGB．AG2+AE2＝2FG2

C．D．

22121

【考�点�】+剪�纸�问=题2；𝐷全等三角形的判定与性质；线�段�+垂�直�平=分2线𝐷的性质；勾股定理；正方形的性质．

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．

【答案】C

【分析】由剪拼可以得出图4中△AEG是直角三角形，△EFG是等腰直角三角形，由勾股定理即可得

出结论，从而作出判断．

【解答】解：图1中，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EAC＝∠GCA＝45°，

∵图4中∠EAG是由∠EAC和∠GCA拼成的，

∴图4中∠EAG＝45°+45°＝90°，

在图4的Rt△AEG中，由勾股定理，得AG2+AE2＝EG2，

图1中，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，

∵BE＝CF＝CG＝HD，

∴AE＝BF＝DG＝AH，

∴由SAS可得图4中的△AEG与图1中的△BFE全等，

∴EG＝EF，∠AEG＝∠BFE，

∴图4中的∠GEF＝∠AEF﹣∠AEG＝图1中的∠AEF﹣∠BEF＝∠B＝90°，

第18页（共45页）

在图4的Rt△EFG中，由勾股定理，得EG2+FG2＝FG2，

∴2EG2＝FG2，

即EG2FG2，

1

=

∴AG2+AE22FG2，

1

故选：C．=2

【点评】本题考查剪纸中的几何问题，解答中涉及正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，

三角形外角的性质，弄清剪拼过程中的不变关系和新的关系是解题的关键．

7．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，将△ABD沿AD翻折，点B落在点E处，AE交CD于点F，

△ADF的面积恰好是△ABC面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①∠B＝∠CAE；②

1

AC＝CD．那么下列说法中，正确的4是（）

A．①正确②错误B．①错误②正确

C．①、②皆正确D．①、②皆错误

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【专题】平移、旋转与对称；推理能力．

【答案】C

【分析】根据折叠的性质、三角形的面积公式、中线的性质求解．

【解答】解：∵D是边CB的中点，

∴BD＝CD，

∴S△ABD＝S△ACD＝S△ADES△ABC，

1

=2

∵S△ADFS△ABC，

1

=4

∴S△ACF＝S△EDFS△ABC，

1

∴DF＝CF，AF＝=E4F，

第19页（共45页）

∴四边形ACED为平行四边形，

∴AC∥DE，AC＝DE，

∴∠E＝∠EAC，

∵∠E＝∠B，

∴∠EAC＝∠B，故①是正确的；

由折叠的性质得：BD＝DE，

∴AC＝CD，故②谁正确的，

故选：C．

【点评】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质、三角形的面积公式、中线的性质是解题的关键．

8．将图1中的5个边长为1的小正方形，剪拼成图2中的大正方形ABCD．在数轴上，以原点O为圆心，

AB为半径作弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（）

A．B．或C．5D．5或﹣5

【考点5】图形的剪拼；实数5与数−轴；5勾股定理．

【专题】多边形与平行四边形；运算能力．

【答案】B

【分析】判断出AB可得结论．

【解答】解：由题意=AB5，

∴以原点O为圆心，AB=为半5径作弧，交数轴于点E，则点E表示的数为±．

故选：B．5

【点评】本题考查图形的拼剪，实数与数轴，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的

思想解决问题．

9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，沿DE折叠，使点A与点B重合，则DE的长为（）

第20页（共45页）

A．B．4C．D．

112415

【考3点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．54

【专题】等腰三角形与直角三角形；展开与折叠；几何直观；推理能力．

【答案】D

【分析】根据勾股定理可知AB＝10，根据折叠的性质得到AD＝BD，AE＝EB＝5，∠DAE＝∠DEB＝

90°，设AD＝x，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可．

25

【解答】解：在直角三角形ABC中，�∠=AC4B＝90°，AC＝8，BC＝6，

由勾股定理得：，

22

∵沿DE折叠，使��点=A与𝐵点+B重𝐵合，=10

∴AD＝BD，AE＝EB＝5，∠DAE＝∠DEB＝90°，

设AD＝x，

则BD＝x，CD＝8﹣x，

在直角三角形BCD中，∠ACB＝90°，BC＝6，

由勾股定理得：（8﹣x）2+62＝x2，

解得，

25

�=

∴4，

25

��=

∴4，

252215

故选��：=D．(4)−5=4

【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握勾股勾股定理是解答本题的关键．

10．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝10，点E为DC边上一个动点，将△ADE沿直线AE折叠，点

D的对应点为F．下列说法正确的是（）

①当点F落在AB边上时，EF＝5；

②当∠DAE＝30°时，点F恰好落在矩形ABCD的对角线AC上；

③点F落在AD的垂直平分线上时，∠FAB＝30°；

第21页（共45页）

④点F与A，B组成△ABF的面积为15时，此时DE的长为2.4或10．

A．①③④B．①④C．①③D．②④

【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；

矩形的性质．

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．

【答案】C

【分析】①证明四边形ADEF是正方形得EF＝AD＝5，则结论①正确；

②当∠DAE＝30°时，连接AC，设AC的中点为O，连接OB，先求AC，进而得OB＝OA＝OC，

55

则△OBC不是等边三角形，由此得∠ACB≠60°，则∠BAC≠30°，=再5求5出∠FAB＝30°得∠FA=B≠2∠

BAC，据此得点F不在对角线AC上，则结论②不正确；

③点F落在AD的垂直平分线上时，设AF的中点为P，连接PM，证明PM＝PA＝AM＝2.5得△APM

是等边三角形，则∠MAP＝60°，进而得∠FAB＝30°，则结论③正确；

④当△ABF的面积为15时，过点F作FQ⊥AB于点Q，QF的延长线交CD于点K，先求出FQ＝3，

AQ＝4，证明四边形ADKQ是矩形得DK＝AQ＝4，KQ＝AD＝5，则FK＝2，设DE＝a，则FE＝DE＝

a，在Rt△EFK中，DE＝a＝2.5；当DE＝10时，点E与点C重合，过点F作FT⊥AB于点T，设CF

交AB于点R，设AR＝x，则BR＝10﹣x，证明CR＝AR＝x，在Rt△BCR中，由勾股定理得CR＝AR＝

x，则FR，再由三角形的面积公式求出FT＝3，则可得△ABF的面积为15，据此得当△ABF

2515

的=面4积为15时=，4DE的长为2.5或10，则结论④不正确，综上所述即可得出答案．

【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝∠D＝90°，

∵将△ADE沿直线AE折叠，点D的对应点为F，点F落在AB边上，如图1所示：

第22页（共45页）

∴AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，

∴∠DAB＝∠D＝∠AFE＝90°，

∴四边形ADEF是矩形，

又∵AF＝AD，

∴矩形ADEF是正方形，

∴EF＝AD，

∵AD＝5，

∴EF＝5，

故结论①正确；

②当∠DAE＝30°时，连接AC，设AC的中点为O，连接OB，如图2所示：

∵四边形ABCD是矩形，AD＝5，AB＝10，

∴BC＝AD＝5，CD＝AB＝10，∠DAB＝∠D＝∠ABC＝90°，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC，

2222

∵∠ABC＝90°，点O是AC的中点=，��+��=5+10=55

∴OB是Rt△ABC的斜边AC上的中线，

∴OB＝OA＝OCAC，

155

又∵BC＝5，=2=2

∴△OBC不是等边三角形，

∴∠ACB≠60°，

∴∠BAC≠30°，

由折叠性质得：∠FAE＝∠DAE＝30°，

第23页（共45页）

∴∠FAD＝∠FAE+∠DAE＝60°，

∴∠FAB＝∠DAB﹣∠FAD＝90°﹣60°＝30°，

∴∠FAB≠∠BAC，

∴点F不在对角线AC上，

故结论②不正确；

③点F落在AD的垂直平分线上时，设AF的中点为P，连接PM，如图3所示：

∵FM是AD的垂直平分线，

∴AMAD＝2.5，FM⊥AD，

1

∴∠F=MA2＝90°，

由折叠性质得：AF＝AD＝5，

∵∠FMA＝90°，点P是AF的中点，

∴PM是Rt△FMA的斜边AF上的中线，

∴PM＝PA＝PFAF＝2.5，

1

∴PM＝PA＝AM=＝22.5，

∴△APM是等边三角形，

∴∠MAP＝60°，

∴∠FAB＝∠DAB﹣∠MAP＝30°，

故结论③正确；

④当△ABF的面积为15时，过点F作FQ⊥AB于点Q，QF的延长线交CD于点K，如图4①所示：

∴∠FQA＝90°，

第24页（共45页）

∴S△FABAB•FQ10×FQ＝15，

11

∴FQ＝3=，2=2×

由由折叠性质得：AF＝AD＝5，

在Rt△AFQ中，∠FQA＝90°，

由勾股定理得：AQ4，

2222

∵∠DAB＝∠D＝∠=FQA�＝�9−0°𝑃，=5−3=

∴四边形ADKQ是矩形，

∴DK＝AQ＝4，KQ＝AD＝5，∠FKE＝90°，

∴FK＝KQ﹣FQ＝5﹣3＝2，

设DE＝a，则EK＝DK﹣DE＝4﹣a，

由折叠性质得：FE＝DE＝a，

在Rt△EFK中，∠FKE＝90°，

由勾股定理得：FE2＝EK2+FK2，

∴a2＝（4﹣a）2+22，

解得：a＝2.5，

∴DE＝a＝2.5，

当DE＝10时，点E与点C重合，过点F作FT⊥AB于点T，设CF交AB于点R，如图4②所示：

设AR＝x，则BR＝AB﹣AR＝10﹣x，

由折叠性质得：∠FCA＝∠DCA，AF＝AD＝5，CF＝CD＝10，∠AFC＝∠D＝90°，

在矩形ABCD中，CD∥AB，

∴∠RAC＝∠DCA，

∴∠RAC＝∠FCA，

∴CR＝AR＝x，

第25页（共45页）

在Rt△BCR中，∠ABC＝90°，

由勾股定理得：CR2＝BR2+BC2，

∴x2＝（10﹣x）2+52，

解得：x，

25

=

∴CR＝AR＝4x，

25

=

∴FR＝CF﹣CR4，

2515

∵∠AFC＝90°=，1F0T⊥−A4B=于点4T，

∴由三角形的面积公式得：S△AFRAR•FTAF•FR，

11

==

∴，22

125115

××𝐹=×5×

∴2FT＝43，24

∴S△ABFAB•FT10×3＝15，

11

综上所述=：2当△AB=F2的×面积为15时，此时DE的长为2.5或10，不是2.4或10，

故结论④不正确，

综上：正确的结论是①③．

故选：C．

【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，含有

30°角的直角三角形的性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的判定和性质，

正方形的判定和性质，灵活利用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关

键．

二．填空题（共5小题）

11．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝9，△OMN的面积为12，点P是直线

MN上的动点，点P关于OA对称的点为点P1，点P关于OB对称的点为点P2，当点P在直线NM上

运动时，△OP1P2的面积最小值为．

32

9

第26页（共45页）

【考点】轴对称的性质；三角形的面积．

【专题】平移、旋转与对称；运算能力．

【答案】．

32

【分析】连9接OP，过点O作OH⊥MN交直线MN于点H，利用三角形的面积公式求出OH的长，再

根据轴对称的性质可得OP1＝OP＝OP2，∠P1OP2＝2∠AOB＝90°，从而得出△OP1P2的面积为，

12

��

根据垂线段最短可知当OP＝OH时面积最小，代入计算即可．2

【解答】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥MN交直线MN于点H，

∵，MN＝9，

1

�△𝐴�=��⋅��=12

∴，2

8

��=

由题意可3得：OP1＝OP＝OP2，∠AOP1＝∠AOP，∠BOP2＝∠BOP，

∵∠AOB＝45°，

∴∠P1OP2＝∠AOP1+∠AOP+∠BOP+∠BOP2＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝90°，

∴△OP1P2为等腰直角三角形，

∴，

2

1211

�△���=��1⋅��2=��

由垂线段最短2可知，当点P2与点H重合时，OP取得最小值，最小值为，

8

��=3

∴△OP1P2的面积的最小值为．

18216432

×()=×=

23299

第27页（共45页）

故答案为：．

32

【点评】本题9考查等边三角形，正确进行计算是解题关键．

12．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D，E为BC上两点，∠DAE＝45°，F为△

ABC外一点，且AF＝AE，∠EAF＝90°．以下结论：

①CE＝BF；

②＞；

△𝐵�1

�2��⋅��

③若BE：CE＝3：1，则；

52

④△FBE周长的最小值为��=6．

正确的有①②③．（1+请2填写2序号）

【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．

【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与

对称；几何直观；运算能力；推理能力．

【答案】①②③．

【分析】本题围绕等腰直角三角形的全等变换、线段转化、最值计算展开，解题关键点是通过SAS全

等判定实现边和角的等量转化，逐个验证四个结论的正误．

【解答】解：结论①CE＝BF，

已知∠BAC＝∠EAF＝90°，

两边同时减去∠BAE，

可得：∠CAE＝∠BAF，

结合AC＝AB，

AE＝AF，

根据SAS全等判定，

可得△CAE≌△BAF，