上海宝山区2025-2026学年高一下学期期末区统考数学试卷（2026.5）(含简略答案)

宝山区2025-2026学年第二学期高一年级数学期末统考2026.5一、填空题（本大题共12小题，1－6每小题3分，7－12每小题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分.

1．已知集合，则．

2．已知i为虚数单位，则复数的虚部是．

3．函数的定义域为．

4．在菱形中，．

5．幂函数的图像过点，则实数．6．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是．

7．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是．

8．已知复数满足，则的最大值为．

9．方程的实数解为．

10．已知的内角的对边分别为，且满足，则中角的大小为．

11．对于定义在上的函数和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则实数的取值范围是．

12．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，点满足，则面积的最大值为．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.

13．已知，则＂＂是＂＂的（）.

A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件

14．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（）.

A．B．C．D．

15．已知复数和所对应的向量分别是，则下列结论错误的是（）.

A．对应的复数是B．对应的复数是C．的充要条件是存在唯一实数，使得D．的充要条件是

16．已知函数，有下列两个命题：：有且仅有两个大于8的整数使得在上恰有3个零点；：有且仅有5个满足条件的整数使得在上恰有3个零点．则这两个命题中（）.

A．真真B．真假C．假真D．假假

三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）

已知关于的方程．

（1）若该方程有一个实根为-1，求方程的另一个根；

（2）若该方程有一个模为1的虚根，求的值．18．（本题满分8分，第1小题满分3分，第2小题满分5分）

已知，函数．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，求函数的值域．19．（本题满分8分，第1小题满分3分，第2小题满分5分）

如图，的半径为是的直径上一点（异于），过作与直径垂直的弦与相交于两点，连接和，设．

（1）求线段的长（用表示）；

（2）若为直线上一点，且的最小值为，求的值．20．（本题满分10分，第1小题满分3分，第2小题满分7分）

如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（即的三条边）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好。设计要求管道的接口为池底边的中点，分别落在上（管道的直径大小忽略不计）。

已知米，米，记．现有两种设计方案：

方案1：是以为顶点的等腰三角形；

方案2：是以为直角顶点的直角三角形；

①若方案1中污水净化管道的总长度恰好是米，求的大小；

②试对两种设计方案进行比较，要使净化效果最好，应该选择哪种设计方案？

21．（本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分）

已知是常数，函数的定义域为，设满足以下三个条件的所有函数组成集合：①；②；③对一切实数均满足.

（1）设函数，若，求的值；

（2）若，求和的值（用表示），并证明是周期函数；

（3）若函数，证明的充要条件是：．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.二、选择题13.A14.B15.D16.A三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20．【答案】（1）（2），应选方案一21．（本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分）

已知是常数，函数的定义域为，设满足以下三个条件的所有函数组成集合：①；②；③对一切实数均满足.

（1）设函数，若，求的值；

（2）若，求和的值（用表示），并证明是周期函数；

（3）若函数，证明的充要条件是：．【答案】（1），（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）已知，且，根据条件①，可得.

因为，所以

根据条件②，可得.

因为，所以.

（2）令，代入条件③，可得，因为，所以，即

令，代入条件③可得

因为，所以，即

令，代入条件③可得因为，所以，即.所以是周期为的周期函数.

（3）充分性：

若，则

计算，满足条件①.

计算，满足条件②.计算

则根据三角函数的和差化积公式，可得，