1.4.2 用空间向量研究距离问题 课件-2026-2027学年高二上学期人教A版数学选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）高中数学·选择性必修第一册学习目标，教学重难点教学目标：1.能推导出点到直线、点到平面距离的公式；2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线互相平行的平面的距离问题。教学重难点：重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式。难点：利用投影向量统一研究空间距离问题，以及"参考向量"与"法向量"的选取）。核心素养：直观想象、数学抽象、数学运算、数学抽象空间中距离两点间的距离点到直线的距离两平行线之间的距离点到平面的距离直线到平面的距离两个平行平面间的距离用垂直刻画一、创设情境，设疑激思——在体验中引发思考​疑中探问题1：这些距离问题如何归类？探究活动1点到直线的距离点到平面的距离点到直线的距离两平行线之间的距离点到平面的距离直线到平面的距离两个平行平面间的距离点到直线的距离两点间的距离二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩问题2：如何用向量研究距离？距离向量的模空间两点间的距离空间中其它距离空间向量的模投影向量/勾股定理垂直二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩思考：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线外一点，如何利用这些条件求点P到直线l的距离？PQlAu③应用勾股定理求PQ的长度①求出②求在l上的投影向量设点P到直线l的距离二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩追问：如果条件改为“直线l的方向向量”呢？即已知直线l的方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线外一点，如何利用这些条件求点P到直线l的距离？PQlAua为直线l的单位方向向量点P到直线l的距离在直线l的投影向量二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩两直线的方向向量为u，P、Q、A分别是直线l1，l2上的点思考2：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？l1l2uAPQa探究活动2平行线间的距离二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩l思考3：P是平面α外的一点，如何求点P到平面

α的距离？过点P作PQ⊥α，垂足为Q，垂线段PQ的长度为点P到平面α的距离.平面α的法向量为n,A是平面α内的定点PQαnA点P到平面α的距离探究活动3点到平面的距离二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩归纳总结向量方法求距离的相关公式距离问题图示向量法距离公式两点间的距离点到直线的距离两平行线之间的距离点到平面的距离PQlAuaPQnαAl1l2APQauPQ二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩分析:根据条件建立直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离.例1在棱长为1的正方体ABCD

－A1B1C1D1

中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.（1）求点B到直线AC1的距离；（2）求直线

FC到平面AEC1的距离.解：以D1为原点，D1

A1，D1

C1，D1

D所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明例1在棱长为1的正方体ABCD

－A1B1C1D1

中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.（1）求点B到直线AC1的距离；所以（1）取则所以，点B到直线AC1的距离为​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明设平面AEC1的法向量为

n=(x,y,z),则例1在棱长为1的正方体ABCD

－A1B1C1D1

中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.（2）求直线

FC到平面AEC1的距离.(2)因为

所以FC∥EC1,所以FC∥平面AEC1.所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离.​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明所以取z=1,则x=1,y=2.所以,n=(1,2,1)是平面AEC1的一个法向量.所以（2）求直线FC到平面AEC1的距离.有因为

所以点F到平面AEC1的距离为即直线FC到平面AEC1的距离为​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明归纳总结用空间