2.5随机变量的函数的分布（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第二章知识结构图

随机变量

离散型随连续型随

机变量机变量

分布概率

分布律函数的分布函数的

函数密度分布

分布函数

定义常用分布定义常用分布

第五节随机变量函数的分布

问题的提出

在很多实际问题中，需要研究随机变量间存在的函

数关系，也就是研究他们在概率分布上的关系.

例如：已知圆轴截面直径d的分布，

d2

求截面面积A=

的分布.4

又例如：

已知t=t0时刻噪声电压V的分布

V

0t

t0

求功率W=V2/R(R为电阻)的分布等.

研究问题:已知随机变量X及它的分布，要求

Yg(X)这个随机变量的分布.

从函数角度看随机变量X是基本事件的函数，那么随

机变量X的函数Y实际上是基本事件的

复合函数.

一.随机变量函数的定义

定义:设g(x)是定义在随机变量X的一切可能取值x

的集合上的函数，如果对于X的每一个可能取

值x,有另一个随机变量Y的相应取值yg(x)

则称Y为X的函数，记为Yg(X)

本节的任务:根据X的分布求出Y的分布,或由

的分布，

(x1,x2,,xn)求出

yf(x1,x2,,xn)的分布.

这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的

二.离散型随机变量的函数的分布

若X是离散型随机变量，则Yg(X)也是一个

离散型随机变量，且g(X)的分布可由X的分布

直接求出.

例1.已知X的概率分布为:

分布律

X510

12

Pk

33

求:Y2X的概率分布(分布律).

解

:X的可能取值是:x15,x210

Y的可能取值是:y110,y220

1

并且:P(Y10)P(2X10)P(X5)

3

2

P(Y20)P(2X20)P(X10)

3

从而得Y2X的分布律为:

Y1020X510

12

Pk

1233

Pk

33

例2.已知X的概率分布为:

X012345

P111121

k12631299

求:Y(X2)2的概率分布(分布律)

解的取值是:

:Xx10,,x65

Y的取值:y14,y21,y30,y41,y54,y69

并且P(Y4)P((X2)24)P(X22)

P(X4)2

9

P(X0)1

12

P(Y1)P((X2)21)P(X21)

1

P(X3)

12X012

P111

1k

P(X1)1263

61

P(Y0)P((X2)20)P(X20)

3

P(Y9)P((X2)29)P(X23)

1

P(X5)X345

9

P121

P(X1)不存在k1299

2中有相等的概率，则根据

但注意到yi(xi2)

概率的加法定理可将其对应的概率相加：

1211

P(Y4)X012

12936111

Pk

1111263

P(Y1)

1264X345

所以得2分布律为：P121

Y(X2)k1299

Y0149

11111

P

k34369

归纳

一般，若X是离散型随机变量，X的概率函数为

Xx1x2xn

Pkp1p2pn

则Yg(X)的概率函数为：

Yg(x1)g(x2)g(xn)

Pkp1p2pn

注意：

如果g(xk)中有一些是相同

时，则需将它们作适当并项

三.连续型随机变量的函数的分布

方法一:分布函数法

例3.设X服从区间(0,2)上的均匀分布.

求：YX2的概率密度

解:X的取值在(0,2)内Y的取值在(0,4)内

(1)为求Y的概率密度,先求出X2Y的分布函数.

X服从(0,2)上的均匀分布

这是关键一步

0x0

1

0x2x

f(x)F(x)0x2

X2X2

0其它1x2

2

从而当y0时有:YX

2

FY(y)P(Yy)P(Xy)P(yXy)

FX(y)FX(y)0

F(x)

当时有:X

0y40x0

x

yy0x2

2

F(y)F(y)F(y)0

YXX221x2

当y4时有:

0

FY(y)1y0

y

于是求得其分布函数为:F(y)0y4

Y2

y4

1

(2)又因为密度函数是分布函数的导函数，

故将对求导即得2的概率密度为：

FY(y)yYX

1FY(y)

120

y0y4y0

y

fY(y)40y4

2

其它y4

01

(3)现若设连续型随机变量X的密度函数为fX(x)

则YX2的分布函数为:

2

FY(y)P(Yy)P(Xy)P(yXy)

FX(y)FX(y)

将对y求导数得2

FY(y),YX的概率密度:

1

[fX(y)fX(y)]y0

y

fY(y)2

0y0

注

从上述例子中可以看到，在求P(Y≤y)的过程

中关键的一步是:设法从{g(X)≤y}中解出X，

从而得到与{g(X)≤y}等价的X的不等式.

例如：用{yXy}代替{X2≤y}

这样做是为了利用已知的X的分布，从而求出相应的概

率。这是求随机函数函数的分布的一种常用方法

分布函数法

方法二:公式法

定理:设随机变量X具有概率密度fX(x)

(x),又设函数g(x)处处可导，

且有：g(x)0(或g(x)0)严格单调

可微的函

则Y=g(X)是连续型随机变量，数

其概率密度为:

fX(h(y))h(y)y

fY(y)

0其它

其中:min(g(),g()),

max(g(),g())

h(y)是g(x)的反函数

[证]:设g(x)0,此时g(x)在(,)严格单调

递增，它的反函数h(y)存在,且在(,)

严格单调递增，可导。

10先求的分布函数

.Yg(X)FY(y)

yg(x)在(,)取值.

当y时FY(y)P(Yy)0

y时FY(y)P(Yy)1

时

yFY(y)P(Yy)

P(g(X)y)

写出反函数分布函数定义

h(y)

P[Xh(y)]f(x)dxFhy

XX[()]

20.再求Yg(X)的概率密度

将关于求导数即得的概率密度为：

FY(y)yY

fX[h(y)]h(y)y

fY(y)

0其它

0若则同理可得：

3.g(x)0

fX[h(y)][h(y)]y

fY(y)

0其它

综合以上两式得Yg(X)的概率密度为：

fX[h(y)]h(y)y

fY(y)

0其它

注▲若在X的可能取值范围内，y=g(x)是分段严格

单调的函数，则应用定理求出y在各单调区间上

的密度函数，

再把各个结果相加，就得到fY(y).

例如：yx2的严格单调区间为：（-，0）与

（0，+）

则可先由定理求出y在各单调区间上的密度函数各为:

11

fX(y)与fX(y)

2y2y

然后将它们相加后即为所求的YX2的密度函数。

▲若f(x)在有限区间[a,b]以外的值等于零。

则定理的条件只需假设在[a,b]上恒有：

g(x)0或g(x)0,并且有：

min(g(a),g(b)),max(g(a),g(b))

▲若y=g(x)在x取值范围内不单调，则此定理不

能直接应用，此时可通过先求y=g(x)的分布函数

然后对分布函数求导数得y=g(x)的密度函数。

如果分布函数在相邻区间的交界点上不可微，

则求导得到的密度函数在交界点上没有意义，

此时相应的积分区间应为开区间。

但对连续型随机变量而言，对积分区间是否

包含端点未作严格区分。

，

例4.设随机变量X~N(,2)

求：Y=a+bX的概率密度

解：X~N(,2)

(x)2

122

fX(x)e

2

又YabX

ya

yabxxh(y)

1b

且h(y)

b

所以由定理可知Y=a+bX的概率密度为：

ya

()2

b

1122

fY(y)e

2b[y(ab)]2

1122

e2b

b2

1[y(ab)]2

e22

2b2b

得到：YabX~N(ab,2b2),

结论：正态分布的线性函数仍服从正态分布。

特别：当1X

b,a时Y~N(0,1)

例5.设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布

求:Y2lnX的概率密度.

解：因为在区间(0,1)上，函数lnx<0

2

故:y2lnx0y0

x

于是y在区间(0,1)上单调下降，且有反函数

y/2

xh(y)e注意取

由前述定理得:绝对值

y/2

y/2d(e)y/2

fX(e)0e1

fY(y)dy

0其它

已知X在(0,1)上服从均匀分布，所以有：

1,0x1

fX(x)

0,其它

代入fY(y)的表达式中：

y/2

y/2d(e)y/2

fX(e),0e1

fY(y)dy

0,其它

1

y/2

得：ey0即服从参数为

fY(y)2Y

的指数分布

0其它1/2.

例6.设随机变量X的概率密度为：

2x

0x

f(x)2

0其它

求：Y=sinX的概率密度.

解：注意到：当0x时0y1

故：当时有：

y0FY(y)0

当时有：

y1FY(y)1

当0y1时,

FY(y)P(Yy)