3.1二维随机变量（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第三章知识结构图

多维随机变量

二维离散型二维连续型

随机变量随机变量

联合概函数

联合联合分函数联合分

率密度的分

分布律布函数的分布函数

布

布

定义常用分布

定义常用分布

第三章多维随机变量及其分布

1.一维随机变量和分布

函数的概念

2.一维离散型随机变量第二章中

及其分布律讨论的问题

3.一维连续型随机变量

及其概率密度

4.随机变量函数的分布

本章将给出二维随机变量、联

合分布率、联合概率密度和二维

联合分布函数的概念

第一节二维随机变量

一.二维随机变量及分布函数的概念

1.定义1设S{e}是随机试验E的样本空间,

XX(e),YY(e)是定义在S上的随机变量,

由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量

或二维随机向量.

注

▲X,Y均要求定义在同一个样本空间S上.

▲(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，而且

还依赖于这两个随机变量的相互关系.

▲(X,Y)的几何解释:

y

(X,Y)

0x

X(e)

或:e

SY(e)

给出(X,Y)平面上的一个随机点(随机向量)

定义2(二维随机变量的分布函数)设(X,Y)是二维

随机机变量，对于任意的实数x,y,二元函数

F(x,y)P(Xx)(Yy)P(Xx,Yy)

称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,

或称为(X,Y)的联合分布函数.

注▲(X,Y)的联合分布函数的几何意义:

F(x,y)P(Xx,Yy)

若将(X,Y)看成是平面上随机点的坐标

则F(x,y)在(x,y)处的函数值(x,y)随机点

落在以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷

矩形内的概率.

y

(x,y)

0x

▲(X,Y)落在矩形区域:

的概率为

x1xx2,y1yy2:

P(x1Xx2,y1Yy2)

F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)F(x1,y2)

如图:y

y2

y1

x

0x1x2

2.二维随机变量分布函数F(x,y)的性质

性质1F(x,y)分别对x和y单调非减,即:

对固定的y,

当时是非减的

x2x1F(x2,y)F(x1,y)X

当时

y2y1F(x,y2)F(x,y1)对固定的x,

y是非减的

性质2F(x,y)对每个自变量x或y是右连续的，

即

:limF(x,y)F(x0,y)

xx0

limF(x,y)F(x,y0)

yy0

性质30F(x,y)1且:

F(x,)limF(x,y)0

y随机点落在这三种情形

所示的矩形内是不可能

F(,y)limF(x,y)0事件，故概率趋向于零

x

F(,)limF(x,y)0随机点落在这种情况

x

y所示的矩形内是必然

F(,)limF(x,y)1事件，故概率趋于1

x

y

当

性质4x1x2,y1y2时，有：

F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)F(x1,y2)0

F(x,y)F(x,y)

性质4说明：2221

F(x1,y1)F(x1,y2)0

y不等式左边恰好

是（）落在

ABX,Y

y2矩形ABCD内的

y概率，而概率具

1DC有非负性，故得

x此不式。

x1x2

注性质1～性质3同一维随机变量分布函数的性

质。性质4不同于一维随机变量的分布函数。

若性质1～性质3均满足，但性质4不满足，

则不能称其为联合分布函数。

比如:

比如：1xy0

F(x,y)

0xy0

对这二元函数来验证第4条性质。

现找4个点如下：

(x2,y2)(1,1);(x1,y2)(1,1)

(x2,y1)(1,1);(x1,y1)(1,1)

F(1,1)F(1,1)F(1,1)F(1,1)

111010即第4条性质不满足

这说明F(x,y)不是二维随机变量的联合分布函数，

仅仅是一个二元函数.

二.二维离散型随机变量及其分布

1.二维离散型随机变量的定义

如果随机变量X,Y的取值(x,y)只能是有限

对或可列无限对，则称(X,Y)为二维离散型随

机变量.

2.二维离散型随机变量的分布律

设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取的

值为则其相应的概率

(xi,yj),i,j1,2,

PijP(Xxi,Yyj)i,j1,2,

为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分

布律，或称为联合分布律.

注

▲同一维随机变量(离散型)类似，一般可用

下列表格形式表示：

Y

Xy0y1yj

x0p00p01p0j

x1p10p11p1j

xipi0pi1pij

▲(同一维情形）二维离散型随(1)pij0

机变量的联合分布律具有两

条性质(2)pij1

i1j1

例1.从1,2,3,21数中任取一个数n

当n能被2整除时：随机变量X1

当n不能被2整除时：随机变量X0

当n能被3整除时：随机变量Y1

当n不能被3整除时：随机变量Y0

求:(X,Y)的分布律

解:由题意可知：X取值为0,1；Y的取值为0,1

不能被2,3整除

71,5,7,11,13,17,19这7个

P(X0,Y0)数不能被2,3整除

21

不能被2整除,但能被3整除

43,9,15,21这4个数不能

P(X0,Y1)被整除但能被整除

212,3

不能被3整除,但能被2整除

72,4,8,10,14,16,20这7个

P(X1,Y0)数不能被3整除,但能

21

能被2整除,又能被3整除被2整除

3

P(X1,Y1)6,12,18这3个数能被2

21整除,又能被3整除

不难验证:

117473

pij0,pij1

0021212121

故得：Y

X01

(X,Y)的74

0

联合分布2121

173

律为:2121

例2.同一品种的五个产品中，有两个正品。每次从

中取一个检验质量，不放回地抽样，连续两次。

若记表示第次取到正品；

"xk0"k

表示第次取到次品

"xk1"k(k=1,2)

求的联合分布律

:(X1,X2).

0:正;1:次

解由题意X的取值为：；的取值为：

:10,1X20,1

P(X10,X20)P(X10)P(X20X10)

233211

P(X0,X1)

1254105410

323五个产品中，有

P(X11,X20)两个正品。每次

5410从中取一个检验

323质量，不放回地

P(X1,X1)抽样，连续两次

125410

显然所求概率满足联合分布律的两条性质.

X

故2

(X1,X2)X101

的联合分布律为:013

1010

33

11010

3.二维离散型随机变量的分布函数

若(X,Y)是离散型随机变量，则其联合分布

函数为：

F(x,y)Pij

P(Xx,Yy)xix

yjy

的求和

其中“和式”是对一切满足xix,yjyi,j.

三.二维连续型随机变量及其分布

1.二维连续型随机变量的定义

如果随机变量(X,Y)的取值(x,y)不能一一

列出，而是连续的,则称(X,Y)为连续型随

机变量.

2.二维连续型随机变量的(联合)概率密度与分布函数

(1)定义若存在非负的二元函数f(x,y),对任

意的x,y有：

xy

F(x,y)f(x,y)dxdy

则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，f(x,y)为

(X,Y)的联合概率密度；F(x,y)为(X,Y)的联合

联合分布函数.

(2)f(x,y)的性质非负性

性质1f(x,y)0规范性

性质f(x,y)dxdy1

2

性质3若f(x,y)在点(x,y)处连续，则：

2F(x,y)分布函数与概

f(x,y)率密度的关系

xy

性质4设G是XOY平面上的一个区域，则点(x,y)

落在G内的概率为:

求区域

P(x,y)Gf(x,y)dxdy上的概率

G

注一维连续型随机变量的几种常用分布可推广

到二维及多维随机变量

1

a1xb1

(ba)(ba)

0若1122

1.f(x,y)a2xb2

0其它

则称(X,Y)服从均匀分布

e(xy)xy

0若0,0

2.f(x,y)

0其它

则称(X,Y)服从参数为的指数分布.

0若

3.f(x,y)

22

1(x1)(x1)(y2)(y2)

[2]

1222

e2(1)1122

2

2121

其中：1,2,1,2,为5个常数

则称(X,Y)服从1,2,1,2,的正态分布.

e(xy)x0,y0

例3.设f(x,y)

0其它

求:(1)分布函数F(x,y)

(2)(X,Y)落在G内的概率

其中G:xy1及x轴、y轴所围区域

xy

解:(1)F(x,y)f(x,y)dxdy

当x0,y0时

xy

F(x,y)0dx0

e(xy)x0,y0

f(x,y)

0其它

当x0,y0时F(x,y)0

当x0,y0时F(x,y)0

xy

当x0,y0时F(x,y)e(xy)dxdy

xy

exdxeydy(1ex)(1ey)

00

从而得分布函数为：

(1ex)(1ey)x