2026年全国统考数学二习题集（附解析版）

2026年全国统考数学二习题集（附解析版）一、单项选择题（每小题5分，共50分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题卡上）1.设函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上连续，且满足$\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-2}{x-1}=3$，则下列关于$f(x)$在$x=1$处可导性的结论正确的是（）A.$f(x)$在$x=1$处可导，且$f'(1)=3$B.$f(x)$在$x=1$处可导，且$f'(1)=5$C.$f(x)$在$x=1$处不可导D.无法确定$f(x)$在$x=1$处是否可导2.已知函数$g(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$g'(x)$等于（）A.$\sin(x^2)$B.$2x\cos(x^2)$C.$\cos(x^2)$D.$2x\sin(x^2)$3.设函数$h(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且满足$h(0)=1$，$\int_0^xh(t)\sint\,dt=1-\cosx$，则$h(x)$等于（）A.$\cosx$B.$-\sinx$C.$\sinx$D.$-\cosx$4.设函数$\varphi(x)$具有连续导数，且满足$\varphi'(x)=\ln(x+1)$，则$\varphi(x)$的表达式为（）A.$x\ln(x+1)$B.$\ln(x+1)-x$C.$\ln(x+1)+1$D.$\frac{1}{x+1}\ln(x+1)$5.已知函数$\psi(x)=\frac{\int_0^x\sin(t^2)\,dt}{x^2}$，则$\psi'(0)$的值等于（）A.$0$B.$-\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$1$6.设函数$\theta(x)$在$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)\theta(x)\,dx=0$，$\int_a^bf^2(x)\theta(x)\,dx>0$，则下列关于方程$f(x)=0$在$(a,b)$内根的结论正确的是（）A.必有一个根B.必有两个根C.必无根D.可能有一个根，也可能有两个根7.设函数$\alpha(x)$在$(0,+\infty)$上连续，且满足$\lim_{x\to0^+}\frac{\alpha(x)-1}{\lnx}=2$，则下列关于$\alpha(x)$在$x=0$处连续性的结论正确的是（）A.$\alpha(x)$在$x=0$处连续B.$\alpha(x)$在$x=0$处不连续C.无法确定$\alpha(x)$在$x=0$处是否连续D.$\alpha(x)$在$x=0$处连续但不可导8.已知函数$\beta(x)=\int_1^x\frac{\lnt}{t}\,dt$，则$\beta'(x)$等于（）A.$\lnx$B.$\frac{\lnx}{x}$C.$\frac{1}{x}$D.$\lnx-1$9.设函数$\gamma(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且满足$\int_{-\infty}^{+\infty}\gamma(x)\,dx=1$，$\int_{-\infty}^{+\infty}x\gamma(x)\,dx=0$，则下列关于$\gamma(x)$的结论正确的是（）A.$\gamma(x)$必为奇函数B.$\gamma(x)$必为偶函数C.$\gamma(x)$必为正态分布密度函数D.无法确定$\gamma(x)$的奇偶性10.设函数$\delta(x)$在$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)\delta(x)\,dx=0$，$\int_a^bf^2(x)\delta(x)\,dx>0$，则下列关于方程$f(x)=0$在$(a,b)$内根的结论正确的是（）A.必有一个根B.必有两个根C.必无根D.可能有一个根，也可能有两个根二、填空题（每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡上对应的横线上）1.若函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2$，则$f'(0)$等于________。2.已知函数$g(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,dt$，则$g'(x)$等于________。3.设函数$h(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且满足$h(0)=1$，$\int_0^xh(t)\sint\,dt=1-\cosx$，则$h(x)$等于________。4.设函数$\varphi(x)$具有连续导数，且满足$\varphi'(x)=\ln(x+1)$，则$\varphi(x)$的表达式为________。5.已知函数$\psi(x)=\frac{\int_0^x\sin(t^2)\,dt}{x^2}$，则$\psi'(0)$的值等于________。6.设函数$\theta(x)$在$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)\theta(x)\,dx=0$，$\int_a^bf^2(x)\theta(x)\,dx>0$，则方程$f(x)=0$在$(a,b)$内根的个数为________。三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且满足$f(0)=1$，$\int_0^1f(x)\,dx=1$。证明：存在$x_0\in(0,1)$，使得$\int_0^{x_0}f(t)\,dt=x_0^2$。2.（10分）设函数$g(x)$在$[a,b]$上连续，且$g(x)>0$。证明：存在唯一的$c\in(a,b)$，使得$\int_a^cg(x)\,dx=\frac{1}{2}\int_a^bg(x)\,dx$。3.（10分）设函数$h(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且满足$h(0)=1$，$\int_0^xh(t)\sint\,dt=1-\cosx$。求$h(x)$的表达式，并证明$h(x)$在$x=0$处可导。4.（10分）设函数$\varphi(x)$具有连续导数，且满足$\varphi'(x)=\ln(x+1)$。求$\varphi(x)$的表达式，并证明$\varphi(x)$在$x=0$处取得极小值。5.（10分）设函数$\psi(x)=\frac{\int_0^x\sin(t^2)\,dt}{x^2}$。求$\psi'(x)$的表达式，并计算$\psi'(0)$的值。6.（10分）设函数$\theta(x)$在$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)\theta(x)\,dx=0$，$\int_a^bf^2(x)\theta(x)\,dx>0$。证明：方程$f(x)=0$在$(a,b)$内恰有一个根。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：由极限定义，$\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-2}{x-1}=3$，即$f(x)-2\approx3(x-1)$当$x\to1^+$，故$f(1)=2$。再由导数定义，$$f'(1)=\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-2}{x-1}=3$$故正确选项为B。2.A解析：由变上限积分函数的求导公式，$g'(x)=\sin(x^2)$。3.C解析：对$\int_0^xh(t)\sint\,dt=1-\cosx$两边求导，得$h(x)\sinx=\sinx$，故$h(x)=1$。验证$h(0)=1$，故正确选项为C。4.B解析：对$\varphi'(x)=\ln(x+1)$两边积分，得$\varphi(x)=\int\ln(x+1)\,dx=x\ln(x+1)-\int\frac{x}{x+1}\,dx=x\ln(x+1)-x+\ln(x+1)+C$。由$\varphi(0)=0$，得$C=0$，故$\varphi(x)=\ln(x+1)-x$。5.C解析：由洛必达法则，$\psi'(x)=\frac{2x\sin(x^2)-2x^2\cos(x^2)}{x^4}=\frac{\sin(x^2)}{x^3}-\frac{\cos(x^2)}{x^2}$。当$x\to0$时，$\sin(x^2)\simx^2$，$\cos(x^2)\to1$，故$\psi'(0)=\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^2)}{x^3}-\frac{\cos(x^2)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^3}-\frac{1}{x^2}=0$。6.A解析：由积分中值定理，存在$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)\theta(x)\,dx=f(c)\int_a^b\theta(x)\,dx=0$。由$\int_a^bf^2(x)\theta(x)\,dx>0$，得$f(c)=0$，故正确选项为A。7.A解析：由极限定义，$\lim_{x\to0^+}\frac{\alpha(x)-1}{\lnx}=2$，即$\alpha(x)-1\approx2\lnx$当$x\to0^+$，故$\alpha(x)=1+2\lnx$。当$x\to0^+$时，$\lnx\to-\infty$，故$\alpha(x)\to-\infty$，但$\alpha(0)=1$，故$\alpha(x)$在$x=0$处不连续。8.B解析：由变上限积分函数的求导公式，$\beta'(x)=\frac{\lnx}{x}$。9.A解析：由积分中值定理，存在$c\in(-\infty,+\infty)$，使得$\int_{-\infty}^{+\infty}\gamma(x)\,dx=\gamma(c)\cdot(+\infty)=1$，故$\gamma(c)=0$。又由$\int_{-\infty}^{+\infty}x\gamma(x)\,dx=0$，得$\gamma(x)$必为奇函数。10.A解析：同第6题解析，正确选项为A。二、填空题1.2解析：由导数定义，$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}=2$。2.$\sin(x^2)$解析：由变上限积分函数的求导公式，$g'(x)=\sin(x^2)$。3.$\sinx$解析：同选择题第3题解析，$h(x)=\sinx$。4.$\ln(x+1)-x$解析：同选择题第4题解析，$\varphi(x)=\ln(x+1)-x$。5.$\frac{1}{2}$解析：同选择题第5题解析，$\psi'(0)=\frac{1}{2}$。6.1解析：同选择题第6题解析，方程$f(x)=0$在$(a,b)$内恰有一个根。三、解答题1.证明：令$F(x)=\int_0^xf(t)\,dt-x^2$，则$F(0)=0$，$F(1)=\int_0^1f(t)\,dt-1=0$。由罗尔定理，存在$x_0\in(0,1)$，使得$F'(x_0)=0$，即$f(x_0)-2x_0=0$，故$\int_0^{x_0}f(t)\,dt=x_0^2$。2.证明：令$F(x)=\int_a^xg(t)\,dt-\frac{1}{2}\int_a^bg(t)\,dt$，则$F(a)=0$，$F(b)=\frac{1}{2}\int_a^bg(t)\,dt-\frac{1}{2}\int_a^bg(t)\,dt=0$。由罗尔定理，存在$c\in(a,b)$，使得$F'(c)=0$，即$g(c)-\frac{1}{2}\int_a^bg(t)\,dt=0$，故$\int_a^cg(t)\,dt=\frac{1}{2}\int_a^bg(t)\,dt$。唯一性由$g(x)>0$保证。3.解：同选择题第3题解析，$h(x)=\sinx$。对$h(x)=\sinx$求导，得$h'(x)=\cosx$。由$h(0)=1$，得$h'(0)=\cos0=1$，故$h(x)$在$x=0$处可导。4.解：同选择题第4题解析，$\varphi(x)=\ln(x+1)-x$。对$\varphi(x)=\ln(x+1)-x$求导，得$\varphi'(x)=\frac{1}{x+1}-1$。当$x=0$时，$\varphi'(0)=0$，故$\varphi(x)$在$x=0$处取得极小值。5.解：由变上限积分函数的求导公式，$\psi'