高等代数历年真题（2023考研西安交通大学·历年真题分类汇编）

高等代数历年真题（2023考研西安交通大学·历年真题分类汇编）一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.设A是n阶矩阵，B是n阶可逆矩阵，且满足AB=BA，则下列结论错误的是：A.A与B可同时对角化B.tr(AB)=tr(BA)C.存在可逆矩阵P，使P^{-1}AP与P^{-1}BP均为对角矩阵D.若A可逆，则B也可逆2.已知向量组α₁=(1,1,1)，α₂=(1,2,3)，α₃=(1,3,k)线性无关，则实数k的取值范围是：A.k=2B.k≠2C.k>2D.k<23.设A是3阶矩阵，其特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，则|A^|等于：A.6B.12C.18D.244.已知矩阵A=diag(1,-1,2)，则A的秩r(A)等于：A.1B.2C.3D.无法确定5.设V是n维向量空间，W是V的一个子空间，维数dim(W)=k，则下列命题正确的是：A.任意k个线性无关的向量都是W的一个基B.W中存在基，其向量个数小于kC.若V中存在向量不属于W，则dim(W)<nD.W的维数等于V的维数减去W的维数6.设A是n阶矩阵，且满足A²=A，则A的特征值只能是：A.0或1B.任意实数C.任意正数D.任意整数7.已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+ax₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A正定，则实数a的取值范围是：A.a>1B.a<1C.a>3D.a<38.设V是n维向量空间，W是V的一个子空间，维数dim(W)=k，则下列命题正确的是：A.任意k个线性无关的向量都是W的一个基B.W中存在基，其向量个数小于kC.若V中存在向量不属于W，则dim(W)<nD.W的维数等于V的维数减去W的维数9.设A是n阶矩阵，且满足A²=A，则A的特征值只能是：A.0或1B.任意实数C.任意正数D.任意整数10.已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+ax₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A正定，则实数a的取值范围是：A.a>1B.a<1C.a>3D.a<3二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）1.设A是3阶矩阵，其特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，则|A|等于__________。2.已知向量组α₁=(1,1,1)，α₂=(1,2,3)，α₃=(1,3,k)线性无关，则向量(1,1,2)可以由α₁，α₂，α₃线性表出，其表出式为__________。3.设A是n阶矩阵，且满足A²=A，则矩阵A的秩r(A)等于__________。4.已知矩阵A=diag(1,-1,2)，则A的秩r(A)等于__________。5.设V是n维向量空间，W是V的一个子空间，维数dim(W)=k，则W的维数等于__________。6.已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+ax₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A正定，则实数a的取值范围是__________。三、解答题（共6小题，共70分）1.（10分）设A是3阶矩阵，且满足A²=A，证明矩阵A可对角化。2.（12分）设向量组α₁=(1,1,1)，α₂=(1,2,3)，α₃=(1,3,k)线性无关，求向量组α₁，α₂，α₃的秩，并写出其一个极大无关组。3.（12分）设A是n阶矩阵，且满足A²=A，证明矩阵A的迹tr(A)等于其秩r(A)。4.（12分）已知矩阵A=diag(1,-1,2)，求矩阵A的逆矩阵A^{-1}（若存在）。5.（12分）设V是n维向量空间，W是V的一个子空间，维数dim(W)=k，证明W中存在基，其向量个数等于k。6.（12分）已知二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+ax₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A正定，求实数a的取值范围，并给出证明。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D解析：由AB=BA可知A与B可同时对角化，但A可逆不能推出B也可逆，例如A=I，B=diag(1,0)时AB=BA但B不可逆。2.B解析：向量组线性无关的充要条件是其行列式不为零，|111||12k||13k^2|=1(2k-3)-1(k^2-3)+1(3-2k)=k-2≠0，故k≠2。3.A解析：由A^的特征值为1/λ₁，1/λ₂，1/λ₃，得|A^|=1/λ₁•1/λ₂•1/λ₃=1/6，又|A|=λ₁λ₂λ₃=6，故|A^|=1/|A|=1/6。4.C解析：矩阵A是对角矩阵，其秩等于非零对角元的个数，故r(A)=3。5.A解析：W的维数等于其基的向量个数，若W的维数为k，则W的基包含k个线性无关向量。6.A解析：由A²=A可知A是幂等矩阵，其特征值满足λ²=λ，故λ=0或1。7.A解析：二次型矩阵A为：A=|112|

|11a|

|2a0|主子式Δ₁=1，Δ₂=1-a²，Δ₃=a(1-4a)≠0，由Δ₂>0得1-a²>0，即-1<a<1。8.A解析：W的维数等于其基的向量个数，若W的维数为k，则W的基包含k个线性无关向量。9.A解析：由A²=A可知A是幂等矩阵，其特征值满足λ²=λ，故λ=0或1。10.A解析：二次型矩阵A为：A=|112|

|11a|

|2a0|主子式Δ₁=1，Δ₂=1-a²，Δ₃=a(1-4a)≠0，由Δ₂>0得1-a²>0，即-1<a<1。二、填空题1.6解析：由|A|=λ₁λ₂λ₃=1×2×3=6。2.x₁-1α₁+x₂+2α₂解析：设(1,1,2)=x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃，得方程组：x₁+x₂+x₃=1x₁+2x₂+3x₃=1x₁+3x₂+kx₃=2解得x₁=1，x₂=-1，x₃=2。3.r(A)≤1解析：由A²=A可知(A-I)A=0，若A可逆，则(A-I)=0，A=I，r(A)=3；若A不可逆，则r(A)<3，且(A-I)+A=0，故r(A)≤1。4.2解析：矩阵A是对角矩阵，其秩等于非零对角元的个数，故r(A)=2。5.dim(W)=k解析：W的维数等于其基的向量个数，若W的维数为k，则W的基包含k个线性无关向量。6.a>1解析：二次型矩阵A为：A=|112|

|11a|

|2a0|主子式Δ₁=1，Δ₂=1-a²，Δ₃=a(1-4a)≠0，由Δ₂>0得1-a²>0，即-1<a<1。三、解答题1.证明：由A²=A可知(A-I)A=0，若A可逆，则(A-I)=0，A=I，可对角化；若A不可逆，则r(A)<3，且(A-I)+A=0，故r(A)≤1，且r(A-I)≤2，由r(A)+r(A-I)≤3，得r(A)=1，此时A=diag(λ,0,0)，λ=0或1，故A可对角化。2.解：向量组秩为：(1,1,1)|→(0,1,2)|→(0,0,k-2)(1,2,3)|→(0,1,2)|→(0,0,k-2)(1,3,k)|→(0,1,2)|→(0,0,k-2)由行列式不为零得k≠2，故秩为3，极大无关组为α₁，α₂，α₃。3.证明：由A²=A可知tr(A²)=tr(A)，又tr(A²)=tr(A•A)=tr(A)，故tr(A)=tr(A•A)=tr(A)，由tr(A)=λ₁+λ₂+λ₃，r(A)=λ₁+λ₂，得tr(A)=r(A)。4.解：由A=diag(1,-1,2)，得A^{-1}=diag(1,-1,1/2)。5.证明：由维数定理dim(W)+dim(W⊥)=n，取W的一个