导数专题复习练习题

导数综合练习题

1.(2023长沙二模〕函数/(xXl+lnx-

(1)假设/(x)在(0,1)上是增函数，求。得取值范围；

(2)在⑴的结论下，设g(x)=*+|，-4],X£[O,ln3],求函数g(x)的最小

值.

2.12023上海二模)对任意〃好R,直线x+y+〃z=0都不是/(x)=V—3ar(aeR)的

切线.(I)求。的取值范围；

(II)求证在上至少存在一个/，使得|/(玉))|25成立.

3.12023烟台一模)设函数/(x)=x2-2(-l)。nx(Z£N+).

(I)求函数/(x)的单调递增区间；

(H)设函数g(x)=2法-二在(0,1]上是增函数，且对于(0,1]内的任意实数X，当女

x

为偶数时，恒有ra)Ng(x2)成立，求实数人的取值范围；

4.(2023青岛三模)函数f(x)=x—ln(xIa).(a是常数)

⑴求函数f(x)的单调区间；

(II)当y=/(x)在x=l处取得极值时，假设关于x的方程f(x)+2x=x2+b在成，2]

上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；

(III)求证:当〃22,"eN\时(1+>)"3"..[—r<e.

5.〔2023淮北协作区二模〕函数/(尤)=。2+奴+〃圮一”，为常数).

(I)假设函数/(x)在x=。时取得极小值，试确定。的取值范围；

(II)在m的条件下，设由f(x)的极大值构成的函数为g(x),试判断曲线g(x)只

可能与直线2x—3y+初=0、3x-2y+n=0(m,〃为确定的常数)中的哪一条

相切，并说明理由.

6.(2023皖南八校一模〕定义在正实数集上的函数/(幻=/+4方+1,

g(x)=6。21nx+2/?+1,其中a>().(I)设两曲线y=/(x),y=g(x)有公共

点，且在该点处的切线相同，用。表示6,并求人的最大值；(II)设

〃(幻=/(%)+g(X),证明：假设4设痒1,那么对任意芭，”(°，+8)，%f

有〃(々)一〃(内)〉8.

7.12023山东联考〕对任意的x>0恒有。1公W/2*-1)成立。

(1)求正数。与b的关系；

(2)假设。=1,设/(X)=/%五+〃,("?,〃wR),若f(x)</?(x-1)

对Vx>0恒成立，求函数/(x)的解析式；

8.12023广州二模〕设函数/(幻=尤2一g(x)=x2-x+a.

⑴当4=0时，/(X)…g(x)在(1,+00)上恒成立，求实数机的取值范围；

⑵当加=2时，假设函数以工)=/(幻-g(x)在［1,3］上恰有两个不同零点,求实数〃

取值范围；

⑶是否存在实数〃7,使函数/(X)和g(X)在其公共定义域上具有相同的单调性，假

设存在，求出加的值；假设不存在，请说明理由.

尸

9.12023衡水二模〕函数/(工)=一遇。)=2。1m(6为自然对数的底数)

e

(1)求尸(X)=/(%)-g(x)的单调区间,假设尸(X)有最值，请求出最值;

(2)是否存在正常数〃，使/Q)与g。)的图象有且只有一个公共点，且在该公共

点处有共同的切线？假设存在，求出。的值，以及公共点坐标和公切线方程；

假设不存在，请说明理由。

10.12023武汉一模)函数/(xX—V+av—Inx(c/eR).

(1)当。=3时，求或数/(X)在；,2上的最大值和最小值；

(2)当函数/(x)在-,2单调时，求。的取值范围；

(2J

(3)求函数/(x)既有极大值又有极小值的充要条件。

11.12023济南二模〕设函数/(x)=ar+lnx,g(x)=/x2.

(I)当。=一1时,求函数y=f(x)图像上的点到直线不一y+3=。距离的最小值；

(II)是否存在正实数a,使/(x)Wg(x)对一切正实数x都成立？假设存在，求出

a的取值范围；假设不存在，请说明理由.

12.12023杭州二模〕awR,函数＜(幻=f-241nx.

(I)当时，求“幻的单调区间和最值;

(H)假设。＞0,试证明:”方程〃x)=2or有唯一解，的充要条件是匕=g”.

13.12023洛阳二模)函数『3满足2/隅+2)-/(幻=0,

当工£(0,2)时，/(x)=lnx+ax当工£(-4,一2)时，,f(x)的最大值为-4.

(I)求实数。的值；

(II)设6工0,函数g*)=；尻3—/»,XG(1,2).假设对任意的内£(1,2),

总存在々e(1,2),使/(x,)-g(x2)=0,求实数人的取值范围.

14.12023南京预测〕函数/。)=一〃2/+〃x+]nx(aeR)0

(I)我们称使/(为=0成立的x为函数的零点。证明：当a=l时，函数/(㈤只有

一个零点；

(II)假设函数/(X)在区间(1,+8)上是减函数，求实数a的取值范围。

X

15.12023海南一模〕定义：F(x,y)=xy+Inx,xe(0,+oo),yeRf(x)=F(x,—)

99a

(其中QWO)。

(1)求/(x)的单调区间；

(2)假设/(工)＜-,恒成立，试求实数a的取值范围；

16.(2023阜阳一中二模)函数/(x)=Inx一一ax2-2x(。<0).

(1)假设函数/(X)在定义域内单调递增，求。的取值范围；

⑵假设且关于X的方程/(©=-+〃在［1,4］上恰有两个不相等的实数根,

求实数人的取值范围；

(3)设各项为正的数列｛%｝满足：a1=l,a〃+i=lna〃+。〃+2/EN'.

N

求证：an<2-1

函数与导数详解答案

1.解：(1);(x)=2x+^—。，・・・/(x)在(0,1)上是增函数，

x

2x+'一。>()在(0,1)上恒成立，即。<2x+1恒成立.

XX

2^+->2A/2〔当且仅当X=42时取等号)，所以。<2衣.

x2

当a=2夜时，易知/(x)在(0,1)上也是增函数，所以a<272.

(2)设/=，，那么〃⑺二『+”4，,/0<x<In3,/.l</<3.

当时，在区间［1,3］上是增函数，所以力⑺的最小值为

h(\)=2-a.

lfr2-t+a(\<t<a)

当1<。4242时，恤)=《..

广+f—。(。W，W3)

因为函数力。)在区间m,3］上是增函数，在区间U,。］上也是增函数，所以/?«)在

U,3］上为增函数，所以力⑺的最小值为“(1)=。.

所以，当。工1时，g(x)的最小值为2-々；当1<。工20时，g(幻的最小值为〃.

2.解：⑴/'*)=3f_3。£［-3。,+8),..............(2分)

♦.•对任意mwR,直线x+y+叶=0都不是y=f(x)的切线，，一1史［-3a,+oo),

—Iv—3〃，实数〃的取值范围是〃<！；.......(4分)

3

(II)方法1：问题等价于当1,1］时，|/(x)Lx>-，.......(6分)

设g*)M/(x)|，g(x)在x£［-1,1］上是偶函数，

故只要证明当xw［O,l］时，"(x)|皿金：，

4

①当。K0H寸,/'(%)20,/(幻在［0J上单调递增且/(0)=0,g(x)=f(x)

g(x)a=〃l)=l-3"l>：；.......(8分)

②当时，f\x)=3x2-3a=3(x+)(x-),歹j表i：

(-8,-/°一右(一J分而(&,+8

f(X)+

0-0+

/(极大极小

X)T&J

2«-2ajaT

/(x)在(0,JZ)上递减，在(G,l)上递增，.......(10分)

4a<43ci<1,xe(0,时，g(x)=-f(x),XG(V^,1)时，g(x)=/(x),

**•g(x)max=max{/⑴,-/(&)},

假设一/(&)</(I)=1-30即0<。w；，那么g(X)a=/⑴=1一3。q；

假设一/(右)>/⑴=1一3〃,即;<。<：，那么且(。而=-f{4a)=2a4a>-；

・•・在五£［一1,1］上至少存在一个与，使得|/(%)|之"成立..............(12分)

方法2：反证法

假设在X£［―1,1］上不存在X。，使得|/(X())|之a成立，即WXW［―1,1］,|/(X。)|<a，

设g。)=1/(X)I，丁g(X)在X£［-1,1］上是偶函数，

・・・工£［0刀时，"31m＜，.......(6分)

4

①当aK0H寸,/'3)20,/(幻在［0J上单调递增且/(0)=0,g(x)=/(x)

g(X)max=/⑴=1一3"J与。4。矛盾；........(8分)

②当Ovocg时，f，(x)=3x2-36f=3(x+V«)(X-A/^),歹|J表:

X(-8,一人)(-8,4

-\［a7)函i,+8)

f(X)

4-0-0+

/(X)T极大极小T

2aJ”-2Wa

/(x)在(O,JZ)上递减，在(、5J)上递增，.......(10分)

*.*>[a<<1,，(0,6工)时，g(x)=-/(%),时，^(x)=/(x),

=max{,

0<6Z<—

4矛盾；

/⑴二心1

a>—

4

4矛盾；

-)=2a\[a<—1

[’4a<—

4

综上，VXG[-1,1J,|/*o)|<2与。<!矛盾，

43

假设不成立，原命题成立........(12分)

3.解：由，得函数f(x)的定义域为(0,”).............................1分

(1)当卜为偶数时，f(A)=x2-2lnx,那么/'(x)=2x-2=2&2-1),又n>0,

XX

f\x)>0,gpx2-l>0,得xNl,所以此时函数f(x)的单调递增区间为黑位).

当k为奇数时，/(x)=x2+21nx,那么/Q)=2x+2=2(尸+1)20在定义域内

XX

恒成立，所以此时函数f(x)的单调增区间为(0,48)....................4

分

(11).・•函数g(x)=2"-!在(0,1］上是增函数

厂

O1

.・.g'(x)-2〃+白？0在(0,11上恒成立，即〃之一一r在(0,1]上恒成立，

第x,

(1)

即62—一r=-1,・・・匕2—1.①...................................6分

V*)max

由(I)可知当k为偶数时，

f\x)<0W0<X<LHPfix)在(0,1]为减函数，

,•/(X)min=/⑴=L

又・・,对于(0,1］内的任意实数XI，X2,当k为偶数时，恒有/(王)2黑々)成立，

Al>g(Mmax=g⑴，即1N第一1，所以〃41，②

由①②得一16人41..................................8分

4.(I)由由函数“X)的定义域为工〉一。，/(引二1一一匚="+"，

X-+/I

,/~Cl<—ci+1f

由/'(x)>0,得X>—a+1,

由fr(X)<0,得一QVXV-Q+l,

所以函数/(x)的减区间为(一〃,一a+1),增区间为(一a+1,+8).…4分

(II)由题意，得/'(1)=0,/.a=o.……5分

/.由(I)知f(x)=x—Inx,

.'.f(x)+2x=x2+b,即x—lnx+2x=x24-b,/.x?—3x+Inx+b=0,

设g(x)=x2—3x+lnx+b(x>0),

那么g’(x)=2x-3+；=至*=—心),

当XE1,2变化时，g'(x),g(»的变化情况如下表:

1g，D

X12

2(1，2)

gQ)0—0+

b—

g(x)b—ln2/b-2+ln2

2

.......................6分

•・・方程段)+2r=f+b在g2］上恰有两个不相等的实数根，

Jgg)N0

b—^—in2>0

<g⑴V0即-In2,28分

h-2<0'_4

【g⑵对/7—2+/z?2>0

(HI)由⑴和(II)可知当〃=O,xe时即InxWx-1,

乙/

.,.当x>l时，lnx<x-l.............10

分

令工=1+-7(〃22,〃€N),那么In]1d—7<-T>

n~

所以当〃22,〃eN*时,

111.

<---4~----F+^T1)=七<1，

1x22x3

即山£(1+*)…(得，

12分

5.解：(I)fr(x)=(2x4-a)e-x-e-r(x2+ox+a)=e~x[-x2+(2-a)x]

=e-v-(-X)-[X-(2-<7)],令/(幻=0,得x=0或x=2-a,...2分

当。=2时，/'。)二一/6一“<0恒成立，此时/(x)单调递减；

当〃<2时，2—〃>0,假设x<0,那么尸。)<0,假设0vxv2—a,

那么f\x)>0,x=0是函数/(x)的极小值点；……2分

当。>2时，2-。<0,假设x>0,那么广。)<0,假设2-。<%<0,那么

fW>0,

此时x=0是函数/(X)的极大值点，综上所述，使函数/(x)在x=0时取得极小

值的。的取值范围是a<2...2分

(II)由(I)知〃<2,且当x>2-。时，/'(x)<0,因此x=2-。是/(x)的

极大值点，盘x(x)=/(2—“)=(4—a)e"2,于是以工)=(4一幻产20<2)……2分

x2v2v-2

g'")=-e-+e=(4_1)=(3_x)e-,令〃(制=(3-x)e(x<2),

那么〃'(劝=(2-劝炉-2>0恒成立,即力(x)在(-8,2)是增函数，所以当元<2时，

h(x)<A(2)=(3-2)e2-2=l,即恒有g'(x)vl,……2分

23

又直线2x—3y+m=0的斜率为彳，直线3x—2y+〃=0的斜率为所以由导数的

几何意义知仙线g(x)只可能与直线2%一3)，+加=0相切……2分

6.(I)设/。)与g。)交于点P(Xo，%)，那么有

2

/(x0)=g(x0),即x0+4or0+1=6a2lnx0+2/?+l(1)

又由题意知/(%)=g'(%),W2x.+4a=—⑵2分

不

由⑵解得玉)=a或叫)=-3a(舍去)

将x°=a代入(1)整理得人=g/—3〃2]na...................4分

令h(a)=—a2-3/Ina,那么hr(a)=2a(1-3Ina)

2

3—

。£（0,%）时，人3）递增,。£（%,+8）时〃（〃）递减，所以/l（a）«〃（皿）=—/

2

3-2

大

的

最

值

为

即<e3

-2-

3-

巳小............................6分

2

（II）不妨设内，.£（。，，〃（“28变形得

）-8%>）-8再

二2

令r（x）=〃（1）一8x,r（x）=2x+—+4^7-8,V^7>V3-1,....

X

r（x）在（o,”）内单调增，7（々）>丁区），同理可证项命题成立

...............12

分

7.解：（1）设/（X）=〃lnx-〃（x-l）,

易知/（1）=0,由/（幻<0恒成立,

所以函数/(x)在x=l处取得最大值。

又。>(),.・./(X)在工=1处取得极大值，符合题意，

即关系式为。=5(3分)

(2)•/6?=1,/./?=1

/.Inx<m+〃Wx-l怛成立，

令％=1,有0«〃2+〃40,.,.”+〃=()(5分)

my!~X+A72<x-1,

即(五一1)(4+1-M)20对X/x>0恒成立，

.•・须1一〃2=—1,即〃2=2

.•.函数/(x)=2(4一1)(7分)

8.

9.解：(1)尸(x)二/⑶一g'(x)=竺一"=2(『一""(》>0)

exex

①当a<00t尸(x)>0恒成立

尸。)在(0,+8)上是增函数，b(x)F只有一个单调递增区间(0,-8),没有最值

3分

台上、八1口、2(x-\[ea(x-y[ea)

②当a>0时，F(x)=-----------------(%>0),

ex

假设0vxv点，那么/(x)<0,方(外在(0,而)上单调递减；

假设x〉病，那么尸(x)>0,/在(而,+W上单调递增，

.,.当X=J备时，尸(X)有极小值，也是最小值，

即F(x)min=F(y[ea)=a-2a\ny/ea=-a\na.......6分

所以当Q>0时，/(x)的单调递减区间为(0,、@)

单调递增区间为（J需,+8）,最小值为一々In。，无最大值.......7分

（2）方法一，假设/（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，

那么方程/（x）-g（x）=O有且只有一解，所以函数尸。）有且只有一个零

点.......8分

由（1）的结论可知/（Mmin=-czhia=0得a=1..............10分

2

此时，F(x)=f(x)-g(x)=--2\nx>0F(x)inin=F(&)=0

e

・•./(〃)=g(五)=I」f(x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为(五,1)

2

又,一,/(〃)=g'(〃)=二/（x）与g（x）的图象在点（血」）处有共同的切线,

即）,=京1

其方程为＞-113分

综上所述，存在。=1,使/（x）与g。）的图象有且只有一个公共点（八,1）,且在

2

该点处的公切线方程为y二7T-i.14分

方法二：设/（幻与g[x）图象的公共点坐标为（%,九）,

2

—=2a\nx0

根据题意得＜/（/）=g（Xo）即｛e

2x_2a

fUo）=/（^0）----0-1

e%。

1

由②得■，代入①得lnx0X,=正从而4=1..............10分

e2

此时由（1）可知/（x）而n=/（血）=0.•.当X＞0且XW”时，

F(x)>O,BP/(x)>g(x)

因此除毛=右外，再没有其它尤0，使/(Xo)=g(Xo).......13分

故存在4=1,使/*)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共

2

同的切线，易求得公共点坐标为公切线方程为)，=L14

分

,,_,,,_)12x--3x+1(2xl)(x—1)

10.【解析】(1)。=3时，fr\x)=-2x+3一一=-----------------------——-

XXX

函数/(x)在区间',21仅有极大值点x=1,故这个极大值点也是最大值点,

<2)

故函数在-.2最大值是,"1)=2,

1A531

又/(2)-/弓二(2—ln2)—(z+ln2)=z-21n2<0,故/(2)</(R,

故函数在-,2上的最小值为了⑵=2—山2。(4分)

(2)f\x)=-2x-^-a--t令g(x)=2x+2，那么g'(x)=2—」

XXx~

由g(Q卜3,g⑵二9,

那么函数在递减，在

g(《)=2&,故函数g(x)在的值域为2垃,

假设/'(x)W0在(；,2卜亘成立，即+：在g,2)恒成立,

只要“W20,假设要尸(x)N0在在(，,2卜亘成立，即〃22工+，在恒

\2；x)

成立,

(3)假设/(x)既有极大值又有极小值，那么首先必须/'(x)=0有两个不同正根

Xi，%，

即2Y一，a+1=。有两个不同正根。

A>0

:〉；＞°="2收，当”20时,

故。应满足'a=>

->0n

12

r*)=o有两个不等的正根，不妨设为＜马,

।2

由f\x)=——(2x2-or+l)=一二(x-X1)(x-x1)知：0<工<七时/z(x)<0,

xx7x

X[<X<工2时/'(X)>0，X>工2时/'(X)<0，

・•・当。＞2夜时/(x)既有极大值f(x2)又有极小值/(xJ.

反之，当。＞2挺时，2/-"+1=0有两个不相等的正根，故函数/(幻既有极

大值又有极小值的充要条件〃>2夜。(12分)

11—X

11.解：(I)由“幻二-x+lnx知x>0,/。)=-1+—=——

XX

/.XG(0,1)时,r(x)>O,/(X)为增;XG(1,-KO)0^,/,(X)<0JO)为减函数

那么令r(x)=i,得--------------------(2分)

二.所求距离的最小值即为P(-,/(-))到直线X-y+3=0的距离

|:一(一〈一In2)+315

d=2-------J------------=—(4+ln2).............................-(5分)

V22

(II)假设存在实数a满足条件,令尸(x)=/(x)-g(x)(x>0)

那么尸(x)max«0----------------------------------(7分)

由F'(x)=a+——2a2x=0,得x=—

xa

,/当x>一时,F*(x)<0,.,.F(x)为减函数

当0<x(,时，9(x)>0,/.F(x)为增函数

/.F(x)max=F(—)=In—(10分)

a的取值范围为(12分)

/(x)=2x--=2.^-^

12.解：(I)xx(x>l),假设agl,x>l,那么f(x)>0,

•・・f(x)在［1,+oo)上连续，

+oo)上是单调递增函数,

；・当把1,XN1时，f(X)min=f(l)=l,

，函数有最小值1,无最大值.(4分)

(II)记g(x)=f(x)—2ax=x2-2alnx-2ax,

①充分性：假设2,那么g(x)=x2—lnx-x,

gz(x)=X(2x2-x-l)=X(2x+l)(x-l).

当x£(0,1)时，gr(x)<0,g(x)在(0,1)上是单调递减函数;

当x£(L+8)时，gr(x)>0,g(x)在［1,+oo)上是单调递增函数.

・••当X=1时，g(X)min=g(1)=0，即g(x)K),当且仅当X=1时取等号,

，方程f(x)=2ax有唯一解.

②必要性：假设方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=O有唯一解.

令g'(x尸0,得x2—ax—a=0.

a-V®2+4a<0a+Ja”+4a

Va>0,x>0,/.xi=2(舍去)，x2=2.

当X£(O,X2)时，gZ(K)<0,g(X)在(0,X2)上是单调递减函数;

当X£(X2,+00)时,gZ(X)>0,g(x)在(X2,+8)上是单调递增函数.

・••当X=X2口寸，g'(X2)=0,g(X)nun=g(X2).

Vg(x)=o有唯一解，，g(X2尸0,

/.2alnx2+ax2—a=0,Va>0,.\21nx2+x2—1=0,(*)

设函数h(x)=21nx+x—1,•・•在x>0时h(x)是增函数，

/.h(x)=O至多有一解.

a+J『+4a41

1—1a™-

•・・h(l)=0,.••方程(*)的解为X2=l,即2，解得2.

=工

由①、②知，“方程f(x)=2ax有唯一解〃的充要条件是“一5〃.—(12分)

13.(I)由，得2/(%+2)=/(x),

・・・/(x)=2/(x+2)=4/(x+4).........................................................4分

*.*xG(0,2)时,/(x)=\nx+ax,

设x£4,-2)，那么x+4e(0,2),/(x+4)=ln(x+4)+a{x+4),

XG(-4,-2)时，/(x)=4/(x+4)=4ln(x+4)+4a(x+4),

所以ra)二------+4。〉0,丁xG(-4,-2),「.Ydx<4+16a,

x+4

x<------4.又由〃<—，可得一4<-------4<—2,

a2a

・・・f(x)在1—4,—'—4］上是增函数，在(—,一4,一2)上是减函数，

Va)a

A/(x)inax=/(---4)=41n(-i)+4a.(-1)=-4.

aaa

ci=-1................................7分

(II)设f(x)的值域为A,g(x)的值域为B,那么由，对于注意的

百e(l,2),总存在马£(1,2),使/(X1)-g(X2)=0得，AcB...........................9

分

由(I)当XE(1,2)时,/(x)=lnx—x,/'(x)=L—l="!-

xx

・・・XG(1,2),・•・/(X)<0,/(X)在X£(1,2)上单调递减函数，

・・・/(%)的值域为A=(ln2-2,-D................................10分

,:g'(x)=bx2-b=b(x-V)(x+1),

工⑴当匕<0时，g(%)在(1,2)上是减函数,

22

此时，g(x)的值域为3=(1力，一,

223

为满足AuB,又一一人2()>—1.・,・一人(1112—2.即人(一1112—3......................11

-332

分

(2)当2>0时,g(x)在(L2)上是单调递增函数,

22

此时，g(x)的值域为3=(--b,—h),为满足又,

233

.•.--/?<ln2-2,.\/?>--(ln2-2)=3--ln2,

322

综上可知b的取值范围是-a),-ln2-3U3——In2,4-oo........12分

22

14.解：⑴当a=l时，/(x)=-x2+x+Inx,其定义域为(0,+8),

f2rx1

f(x)=-2x+\+-=_-~~-,令/(©=(),

XX

1

解得x=——或x=1,又故x=L当0cxvl时，/,(x)〉0；

当X>1时，/。)<0,・,•函数/(幻在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+00)

上单调递减，当x=lE寸，

函数)(幻取得最大值，即/(x)mx=/(l)=0,所以函数/*)只有一个零点；(5

分)

(II)因为/*)=一〃与2+〃x+lnx,其定义域为(0,+8),

一/o1-2a2x2+办+1_-(2or+l)(ar-l)

所以/(x)=-2a~x+Q+—

xxx

(1)当a=0时，/z(x)=—>0,

x

所以/(x)在区间(0,+8)上为增函数，不合题意。17分)

(2)当a>0时，/(力<0(1>0)等价于(26+1)«优-1)>0*>0),

即x>~L此时，/Q)的单调减区间为+oo),依题意，

aa

[1<1

得，〃，解之得(9分)

〃>()

(3)当a<0时，r(x)<0(x>0)等价于(2av+l)(av-l)>0(x>0),

即0。<一」-,此时/(x)的单调减区间为(0,不合题意。

2a2a

综.上所述，实数a的取值范围是［1,+8）。（12分）

15.解：(1)/(x)=—x2+lnx(x>0),