第六章§6.4数列中的构造问题

§6.4数列中的构造问题重点解读数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式.题型一待定系数法命题点1an+1=pan+q(p≠0，1，q≠0)例1(2025·石家庄模拟)已知数列{an}满足an+1=23an+4，且a1=1，则{anA.an=9-18×23B.an=7-9×2C.an=12-11×23D.an=-12+13×2答案C解析设an+1+x=23(an+x)，即an+1=23an-1所以-13x=4，解得x=-12所以an+1-12=23(an-12)，又a1-12=-11所以an−12是首项为-11，公比为所以an-12=-11×23所以an=12-11×23命题点2an+1=pan+qn+c(p≠0，1，q≠0)例2在数列{an}中，已知a1=2，且an+1=4an-3n+1(n∈N*)，则该数列的通项公式为.答案an=4n-1+n解析令an+1-A(n+1)-B=4(an-An-B)，则an+1=4an-3An+A-3B，由条件得−3A=−3，即an+1-(n+1)=4(an-n)，又a1-1=1，故数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列，从而an-n=4n-1，故an=4n-1+n.命题点3an+1=pan+qn(p≠0，1，q≠0，1)例3(1)(2026·昆明模拟)已知数列{an}满足an+1=3an+3n(n∈N*)，且a1=1，则数列{an}的通项公式为.答案an=n·3n-1解析将an+1=3an+3n两边同时除以3n+1，得an+13n+1=an3n+由等差数列的定义知，数列an3n是以a13所以an3n=13+(n-1)×13=n3，故an(2)已知数列{an}满足an+1=2an+3×5n，a1=2，则数列{an}的通项公式为.答案an=5n-3×2n-1解析方法一将an+1=2an+3×5n两边同时除以5n+1，得an+15n+1=2变形得an+15n+1-1=25an5n−1，由于a151-1=-35≠0，所以数列an5n−1是以-35方法二设an+1+A×5n+1=2(an+A×5n)，展开整理得an+1=2an-3A×5n，对比原式an+1=2an+3×5n，可得A=-1，即an+1-5n+1=2(an-5n)，由于a1-51=-3≠0，所以数列an−5n是以-3即an-5n=-3×2n-1，故数列{an}的通项公式为an=5n-3×2n-1.思维升华形式构造方法an+1=pan+q引入参数c，构造新的等比数列{an+c}an+1=pan+qn+c引入参数x，y，构造新的等比数列{an+xn+y}an+1=pan+qn两边同除以qn+1，构造新的数列anqn，或引入参数跟踪训练1(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有()A.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2nB.在数列{an}中，a1=1，且an=2an-1+3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an=2n+1-3C.若a1=2，an=13an-1+13n(n≥D.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n-1，则数列{an}的通项公式为an=2n-n+1答案AB解析∵2(n+1)an-nan+1=0，∴an+1n∴ann是首项为a11∴ann=2·2n-1，∴an=n·2n，故由an=2an-1+3(n≥2)，得an+3=2(an-1+3)，即an+3又a1+3=1+3=4，∴数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列，∴an+3=4×2n-1，即an=2n+1-3，∴数列{an}的通项公式为an=2n+1-3，故B正确；根据题意，an=13an-1+⇔an13n-an−1又a113=6，∴an13n设an+1+k(n+1)+b=2(an+kn+b)，∴an+1=2an+kn+b-k，由an+1=2an+n-1，得k=1，b−k=−1，解得即{an+n}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列.∴an+n=2×2n-1=2n，故an=2n-n，故D错误.题型二取倒数法和取对数法命题点1取倒数法例4(1)(2025·南宁检测)已知数列{an}的首项a1=13，且满足an+1=an4an+1(n∈A.179 B.269 C.178答案A解析因为a1=13，an+1=an4an+1(n∈N*所以1an+1=4an+1an又a1=13，所以1a故1an是以3为首项，则1an=3+4(n-1)=4n-1，故an=所以a20=14×20−1(2)已知数列{an}中，a1=1，an+1=anan+3(n∈N*)，则a答案2解析因为an+1=anan+3(n所以1an+1=设1an+1+t所以3t-t=1，解得t=12所以1an+1+1又1a1+12=1+1所以数列1an+12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1an+12所以an=23命题点2取对数法例5(2025·岳阳模拟)已知数列{an}满足a1=10，an+1=10an2，若as·at=110a10，则sA.10 B.12 C.16 D.18答案D解析由an+1=10an2可得anlgan+1=lg(10an2)=2lgan故lgan+1+1=2(lgan+1)，又lga1+1=2，故{lgan+1}是首项为2，公比为2的等比数列，则lgan+1=2n，故an=102由as·at=110a10可得102s−1=102故2s+2t=210，则210≥22s·2t=2故s+t2+1≤10，得0<s+t≤18，当且仅当s=故s+t的最大值为18.思维升华(1)形如an+1=AanBa①若A=C，则通过倒数构造新的等差数列1an，从而求得a②若A≠C，可通过倒数构造新的等比数列1an+x(2)形如an+1=panq的递推公式，两边同取以p为底的对数，得logpan+1=qlogpan+1，将logpan看成整体，运用待定系数法求得logpan的表达式，再得出a跟踪训练2(1)在数列{bn}中，b1=-1，bn+1=bn3bn+2，则数列{bn}的通项公式答案1解析bn+1=bn得1bn+1=3bn+2因此1bn+1又1b1故1bn+3是以2则1bn+3=2·2n-1=2n，可得bn=(2)设数列{an}满足a1=100，an>0，且10an=an−12(n≥2)，则an答案10解析由10an=an−12(n≥2)且an>0，两边取对数得lgan+1=2lgan-1，n令xn=lgan，则xn+1=2xn-1，n≥2，整理得xn-1=2(xn-1-1)，又x1-1=lga1-1=1，所以数列xn−1是首项为1，公比为则xn-1=2n-1，故xn=2n-1+1，故an=102题型三相邻项的差为特殊数列(形如an+2=pan+1+qan(p，q为常数，且p≠0，q≠0))例6在数列{an}中，a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an，则an=.答案2n-1解析由题意知，an+2-an+1=2(an+1-an)，因为a2-a1=2，所以{an-an-1}(n≥2，n∈N*)是首项为2，公比为2的等比数列，an-an-1=2n-1(n≥2)，当n≥2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=1−2n1−2显然当n=1时，a1=1满足上式，所以an=2n-1.思维升华递推关系形如an+2=Aan+1+Ban，可构造新的等比数列an+1跟踪训练3在数列{an}中，a1=-1，a2=1，an+2=4an+1-3an，则数列{an}的通项公式an=.答案3n-1-2解析方法一由题意得an+2-an+1=3(an+1-an)，又a2-a1=2，则{an+1-an}是首项为2，公比为3的等比数列，an+1-an=2·3n-1，利用累加法可得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2·3n-2+2·3n-3+…+2·31-1-1=2·1−3n−11−3-1=3n-1-2(显然当n=1时，a1=-1满足上式，所以an=3n-1-2.方法二由题意得an+2-3an+1=an+1-3an，又a2-3a1=4，则an+1−3an得到an+1-3an=4，即an+1+2=3(an+2)，又a1+2=1，所以{an+2}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an+2=3n-1，可得an=3n-1-2.课时精练[分值：80分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.在数列{an}中，a1=1，且an+1=2an+1，则S2026等于()A.22024-2025 B.22025-2026C.22026-2027 D.22027-2028答案D解析因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)，又a1+1=2，所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an+1=2n，所以an=2n-1，故Sn=2(1−2n)1−2-n=2n+1所以S2026=22027-2028.2.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则a4等于()A.17 B.18 C.19 D.20答案C解析方法一因为an+1=2an+n，所以an+1+n+2=2an+2n+2=2(an+n+1)，又a1+1+1=1+1+1=3，即数列{an+n+1}是以3为首项，2为公比的等比数列，即an+n+1=3·2n-1，即an=3·2n-1-n-1，故a4=3·23-4-1=19.方法二由an+1=2an+n，a1=1，故a2=2a1+1=3，a3=2a2+2=8，a4=2a3+3=19.3.(2026·长春模拟)已知数列{an}满足a1=1且an+1=6anan+6(n∈NA.16 B.15 C.14答案D解析由an+1=6anan+6得1an又1a1=1，∴数列1an是以∴1an=1+16(n-1)∴an=6n+5，n∈N∴a13=618=14.(2025·忻州模拟)已知数列{an}满足an+1an+an+1an+2=2，且a2=aA.165 B.167 C.169答案B解析因为an+1an+an+1an+2=2又因为a2=a12a1+1，即1a2=2a可知1an是以且a3=17，则1a1=1a可得1an=3+2(n-1)=2n+1，即an=所以3a100=3201=15.(2025·宜宾模拟)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a2024a2026-a2025A.1 B.-1 C.2 D.-2答案A解析依题意，an=an-1+an-2(n≥3)，a1=1，a2=2，a3=a1+a2=3，anan+2-an+12=an(an+1+an)-an+12=anan+1+an2-an+12=an2+an+1(an-an+1)=an2-an+1an-1a1a3-a22所以数列{anan+2-an+12}是首项为-1anan+2-an+12=(-1)×(-1)n-1=(-1所以a2024a2026-a20252=(-1)26.在数列{an}中，a1=1，an+1=3an-2n-1(n∈N*)，记cn=3n-2×(-1)nλan，若数列{cn}为递增数列，则实数λ的取值范围为()A.−32C.(-1，1) D.(0，1)答案A解析由an+1=3an-2n-1，得an+12n+1=3即an+12n+1而a121-12=0，则a即an=2n-1，则cn=3n-2×(-1)nλ·2n-1=3n-(-2)nλ，由数列{cn}为递增数列，得∀n∈N*，cn+1>cn恒成立，则∀n∈N*，3n+1-(-2)n+1λ>3n-(-2)nλ，即3n-1>(-2)n-1λ恒成立，当n为奇数时，λ<32n−1恒成立，数列32n则λ<1，当n为偶数时，λ>-32n−1恒成立，数列−32n−1为递减数列，-32所以实数λ的取值范围为−3二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2025·榆林模拟)已知数列{an}，Sn为其前n项和，下列结论正确的有()A.若a1=2，an+1=an+n+1，则a20=211B.若Sn=3n+12，则数列{anC.若a1=1，an+1=3an+2，则a4=53D.若a1=1，2an+1-an+anan+1=0(n∈N*)，则a6=1答案AC解析由an+1=an+n+1得an+1-an=n+1，∴a20=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a20-a19)=2+2+3+4+…+20=2+19×(2+20)2=211由Sn=3n+12得，a1=3+12=a2=S2-S1=9+12-3+a3=S3-S2=27+12-9+∵a22≠a1a3，∴数列{an}不是等比数列，选项由an+1=3an+2得，an+1+1=3(an+1)，且a1+1=2，∴数列an+1是以2为首项，以∴a4+1=2×33=54，∴a4=53，选项C正确；由a1=1，2an+1-an+anan+1=0，显然an≠0，则有1an+1=2·即1an+1而1a1∴数列1an+1是以2∴1an+1=2即an=12n−1，∴a6=1638.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，an+1=4an+3×4n，则()A.a2=24B.anC.an=3n·4n-1D.log2(4a100-3S100+1)=200答案ACD解析选项A，由题意得a2=4a1+3×4=24，A正确；选项B，将an+1=4an+3×4n两边同时除以4n+1，得an+14n+1即an+14n+1则an4n是首项为a14=3选项C，由an4n=34+34(n-1得an=3n·4n-1，C正确；选项D，Sn=3+6×4+9×42+…+3n×4n-1， ①4Sn=3×4+6×42+9×43+…+3n×4n， ②①-②，得-3Sn=3+3×(4+42+…+4n-1)-3n×4n=3+3×4(1−4n−1)1−4-3n×4n=(1-3n)即Sn=(3n因为4an-3Sn+1=4×3n×4n-1-3×(3n−1)×4n+13+1=4n，所以log2(4a100-3S100+1)=log24100=log2三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知数列{an}满足a1=1，an=2an−1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为答案an=2解析易知an>0，对an=2an−1(n≥2)两边取对数得log2an=log2(2an−1)=1+12log2an-1∴log2an-2=12(log2an-1-2)，n≥2又∵log2a1-2=-2，∴{log2an-2}是首项为-2，公比为12∴log2an-2=-2×12n−1=-2∴an=22−10.(2025·天津模拟)已知数列{an}满足a1=1，a2=12，且an+2=an+12an+an+1(答案an=1解析由an+2=an+12an+则an+2a即an+1an+2=an+an+1an+1=anan故数列anan+1是以即anan+1=2+(n-1)则有an−1an=n，an−2an−1=n-1，故an−1an×an−2an−1×…×a1a2=a1an=n！，即an=a四、解答题(共28分)1