上海虹口区2025-2026学年高一下学期数学期末区统考试卷（2026.6）(含简略答案)

虹口区2025-2026学年第二学期高一年级数学期末2026.6一、填空题：本题共12小题，每小题4分，1.已知，则______．2.复数的虚部是______．3.函数的最大值为______．4.已知等差数列中，，公差，则与的等差中项是______．5.首项为1的无穷等比数列，满足，则______．6.若复数满足，其中为虚数单位，为的共轭复数，则在复平面内对应的点位于第______象限．7.已知向量在方向上的投影向量是______．8.下列各命题中不正确的个数为______．（1）零向量没有方向；（2）若，则；（3）若，则；9.已知的面积为，则______．10.函数是偶函数．则______．11.已知都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的______条件，（填“充分必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）12.如图，一块边长为1的正方形区域，在处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，记探照灯照射在正方形内部区域（阴影部分）的面积为．设，则的最大值为______．二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分13.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A.2 B.2或 C. D.14.已知向量，若，则实数的值为（）A. B. C. D.15.下列结论正确的是（）A.是第三象限角B.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为C.已知角的终边经过点且，则D.若角为锐角,则角为钝角16.数列中，，且，则这个数列的前30项的绝对值之和为（）A.495 B.765 C.3105 D.120三、解答题：本题共4小题，共36分．17.已知向量．（1）求；（2）若向量，且，求实数的值．18.已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且．（1）求复数；（2）若是关于的方程的一个根，求实数的值，并求出方程的另一个复数根．19.已知数列为递增的等比数列，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．20.沿海某地在超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．一天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为，圆心角，施工要求按图中所画，在钢板上裁下一块平行四边形钢板，要求裁下的钢板面积最大．请你帮助王师傅解决此问题．连接，设，过作，垂足为．（1）求线段的长度（用来表示）；（2）求平行四边形面积的表达式（用来表示）；（3）为使平行四边形面积最大，等于何值？最大面积是多少？

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.四;7.;8.（1）（2）（3）;9.;10.；11.必要不充分12.12.如图，一块边长为1的正方形区域，在处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，记探照灯照射在正方形内部区域（阴影部分）的面积为．设，则的最大值为______．【答案】【解析】因为，所以,

令，则，而，所以当且仅当时取等号，所以的最值为二、选择题13.C14.B15.B16.B15.下列结论正确的是（）A.是第三象限角B.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为C.已知角的终边经过点且，则D.若角为锐角,则角为钝角【答案】B【解析】，即与终边相同，为第二象限角，正确；设扇形的半径为，则，解得，则该扇形面积为正确；

角的终边经过点，则，解得，又角的余弦值小于0，所以错误；角为锐角，则，所以，角为锐角或者直角或者钝角，错误．

故选：B．16.数列中，，且，则这个数列的前30项的绝对值之和为（）A.495 B.765 C.3105 D.120【答案】B【解析】由已知可以判断数列是以-60为首项，3为公差的等差数列，因此．由，得，即．∴数列前30项的绝对值之和为三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.已知数列为递增的等比数列，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为数列为等比数列，所以又因为，所以，解得因为数列为递增的等比数列，所以，所以公比

所以

（2）已知，由（1）可知，则，所以，所以，所以20.沿海某地在超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．一天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为，圆心角，施工要求按图中所画，在钢板上裁下一块平行四边形钢板，要求裁下的钢板面积最大．请你帮助王师傅解决此问题．连接，设，过作，垂足为．（1）求线段的长度（用来表示）；（2）求平行四边形面积的表达式（用来表示）；（3）为使平行四边形面积最大，等于何值？最大面积是多少？【答案】（1）（2）（3）当时，所裁钢板的面