《自动控制原理》第2章 线性控制系统的数学模型

自动控制原理PrincipleofAutomaticControl1第二章线性系统的数学模型线性系统：

状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统。控制系统的数学模型：描述系统内部和外部物理量（各变量）之间关系的数学表达式。线性系统的数学模型：

线性系统的状态变量(或输出变量)与输入变量间的因果关系，可用一组线性微分方程或差分方程来描述。相关概念：2第二章线性系统的数学模型线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换控制理论中数学模型的描述方法时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图(框图)频域：频率特性微分方程：是输入-输出描述，又称端部或外部描述；差分方程：是离散（采样）系统的输入-输出描述；状态方程：是内部描述，不仅描述输入-输出关系，还描述内部特性。传递函数、动态结构图：也是端部或外部描述，由微分方程导出；频域特性：是以传递函数为基础的又一图解法；3第二章线性系统的数学模型本章内容2-1线性系统的时域数学模型2-2线性系统的频域数学模型2-3线性系统的结构框图2-4线性系统的信号流图2-5非线性数学模型的线性化2-6

MATLAB在系统数学模型中的应用42.1线性系统的时域数学模型数学模型建立的两种基本方法实验辩识法：对系统施加某种测试信号（如阶跃、脉冲、正弦等），记录基本输出响应（时间响应、频率响应），估算系统的传递函数。机理分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，按照它们遵循的物理规律、化学规律列出各物理量之间的数学表达式，建立起系统的数学模型。只有部分系统的数学模型能够根据机理用分析推导的方法求得，而另外有相当多数量的系统的数学模型需要通过实验辨识法去建立。在一般情况下，最有效的建模方法是将两种方法结合起来，即尽量利用人们对物理系统的认识，由机理分析法提出模型结构，然后用观测数据估计出模型参数。52.1线性系统的时域数学模型2.1.1机理法建立微分方程（1）确定系统或元件的输入、输出变量；用机理法列写系统或元件微分方程的一般步骤：（4）微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列，方程中除了输入量、输出量及其各阶导数之外，其他各量都是系统已知的结构参数。（3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）规律，列写出系统各元件的动态方程，一般为微分方程组；62.1线性系统的时域数学模型【例2.1.1】电路系统：某RLC电路如图2.1.1所示，试列写以电源电压ur(t)为输入，电容两端电压uc(t)为输出的系统微分方程。图2.1.1某RLC电路2.1.1机理法建立微分方程72.1线性系统的时域数学模型图2.1.1某RLC电路设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫电路定律建立微分方程：消去中间变量i(t)，得：整理得：【解】2.1.1机理法建立微分方程82.1线性系统的时域数学模型【例2.1.2】机械平移系统：某质量-弹簧-阻尼系统如图2.1.2所示，质量块m受到外力u(t)的作用产生位移y(t)，质量块m与地面之间无摩擦。试列写出以外力u(t)作为输入，位移y(t)为输出的系统微分方程。图2.1.2某质量-弹簧-阻尼系统2.1.1机理法建立微分方程92.1线性系统的时域数学模型图2.1.2某质量-弹簧-阻尼系统【解】整理得：【例2.1.2】机械平移系统2.1.1机理法建立微分方程102.1线性系统的时域数学模型【例2.1.3】机械转动系统：如图2.1.3所示，某机械转动系统由惯性负载和黏性摩擦阻尼器组成。试列写出以外力矩M1为输入，负载转动角速度ω(t)为输出的系统运动方程。图2.1.3某机械转动系统2.1.1机理法建立微分方程112.1线性系统的时域数学模型图2.1.3某机械转动系统【解】由牛顿第二定律，得力矩平衡方程为：式中，J为系统的转动惯量，f为黏性阻尼系数。由此，整理得：2.1.1机理法建立微分方程122.1线性系统的时域数学模型对于比较复杂的系统，机理模型很难推导出来，或者由于过分理想化推导出的模型不能如实的反映系统的运动规律，这时往往需要采用实验辨识法来进行建模。2.1.2实验辨识法建立单位脉冲响应系统r(t)c(t)132.1线性系统的时域数学模型

2.1.2实验辨识法建立单位脉冲响应H(t)r(t)c(t)142.1线性系统的时域数学模型

2.1.2实验辨识法建立单位脉冲响应152.1线性系统的时域数学模型脉冲面积（脉冲强度）图2.1.5脉冲函数r(t)2.1.2实验辨识法建立单位脉冲响应——脉冲函数162.1线性系统的时域数学模型

以及图2.1.6单位脉冲函数

δ(t)2.1.2实验辨识法建立单位脉冲响应——单位脉冲函数172.1线性系统的时域数学模型

图2.1.7延迟单位脉冲函数

δ(t-τ)2.1.2实验辨识法建立单位脉冲响应——延迟单位脉冲函数182.1线性系统的时域数学模型

输入输出2.1.2实验辨识法建立单位脉冲响应192.1线性系统的时域数学模型

2.1.2实验辨识法建立单位脉冲响应202.1线性系统的时域数学模型卷积公式输出响应

2.1.2实验辨识法建立单位脉冲响应212.1线性系统的时域数学模型根据初始条件为零的线性定常系统的响应与输入之间应满足的齐次性与线性关系可知

2.1.2实验辨识法建立单位脉冲响应222.1线性系统的时域数学模型

它们都是以时间函数来描述的，故称为时间域描述（时域描述）。与输入-输出微分方程描述是完全等效的。2.1.2实验辨识法建立单位脉冲响应232.2线性系统的频域数学模型对微分方程进行拉普拉斯变换的基础上得到的复频域（简称频域）中的数学模型。是经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型。1、传递函数定义将拉普拉斯变换作用于卷积分公式，则有即应用拉普拉斯变换后，卷积分公式就变成代数方程（以s为变量），函数G(s)就称为系统的传递函数，它是系统单位脉冲响应g(t)的象函数。由于卷积分公式只适用于初始条件为零的线性定常系统，所以，传递函数又可以定义为初始条件为零的线性定常系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。2.2.1传递函数242.2线性系统的频域数学模型2、传递函数的一般形式假设初始条件为零！！对等式两边取拉氏变换可得：传递函数的一般形式：2.2.1传递函数252.2线性系统的频域数学模型试求【例2.1.1】中RLC电路的传递函数图2.1.1某RLC电路2.2.1传递函数262.2线性系统的频域数学模型【例2.2.1】图2.1.1某RLC电路【解】由【例2.1.1】中的式（2-1-3）可知，RLC电路的微分方程为：在零初始条件下，对上式两端取拉普拉斯变换，有：整理可得电路传递函数为：2.2.1传递函数也可使用等效复阻抗法直接列写RLC电路的代数方程，然后求其传递函数。272.2线性系统的频域数学模型【例2.2.2】某带有输入滤波器的有源比例、积分调节器电路如图2.2.1所示。试列写以调节器输入电压ur(t)为输入，调节器输出电压u0(t)为输出的系统传递函数。图2.2.1某带有输入滤波器的有源电路2.2.1传递函数282.2线性系统的频域数学模型【解】如图2.2.1所示，根据放大器“虚短”和“虚断”的特性，列写方程2.2.1传递函数图2.2.1某带有输入滤波器的有源电路将上式进行拉普拉斯变换得：消去中间变量，得系统传递函数为：292.2线性系统的频域数学模型使用等效复阻抗列写系统传递函数。根据运算放大器特性，有：再由基尔霍夫电流定律，有：利用等效复阻抗方法，有：整理得：2.2.1传递函数【解】302.2线性系统的频域数学模型3、传递函数的表示形式传递函数通常表示成式（2-2-4）的有理分式形式，根据系统分析的需要，也常表示成零、极点形式或典型环节形式。（1）零、极点形式将传递函数式（2-2-4）的分子、分母最高次项（首项）系数均化为1，表示为如下形式：因式分解后成为传递函数的零、极点形式。上式中，

为传递函数分子多项式等于零时的根，称为传递函数的零点；

为传递函数分母多项式等于零时的根，称为传递函数的极点；Kr称为系统的传递系数或根轨迹增益。☆在复平面上表示传递函数的零点和极点分布情况的图形，称为传递函数的零、极点分布图。在图中用“○”表示零点，用“×”表示极点。2.2.1传递函数312.2线性系统的频域数学模型3、传递函数的表示形式（2）典型环节形式将传递函数式（2-2-4）的分子、分母最低次项（尾项）系数均化为1，表示为如下形式：因式分解后称为传递函数的典型环节形式。上式中每个因子都对应一个典型环节，K为系统增益，决定了稳态响应的放大倍数关系。K与Kr的关系为：2.2.1传递函数322.2线性系统的频域数学模型【例2.2.3】已知某传递函数为

，试求：（1）求系统的增益K；（2）求系统的微分方程；（3）画出系统的零、极点分布图。【解】（1）系统的增益为：（2）由系统传递函数可得：故有：零初始条件下，进行拉普拉斯反变换，可得系统的微分方程为：2.2.1传递函数（3）系统的零、极点分布如图332.2线性系统的频域数学模型4、传递函数的性质

2.2.1传递函数342.2线性系统的频域数学模型什么是典型环节?不同的物理系统是由许多元件、按不同结构和不同运动原理构成的。但抛开具体的结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性可以划分成为数不多的几种典型的数学模型，称为典型环节。常见的典型环节:比例环节、积分环节、惯性环节、振荡环节、微分环节和延迟（滞后）环节。2.2.2典型环节的传递函数352.2线性系统的频域数学模型1、比例环节（放大环节）特点：输入量输出量之间的关系为固定比例关系传递函数：比例环节案例：图2.2.3a)为一个分压器；图2.2.3b)为晶体管放大器；它们具有相同的传递函数。比例环节的输入量r(t)作阶跃变化时，输出量c(t)的变化示于图2.2.3c);这一环节的输入量和输出量的关系可用图2.2.3d)所示的方框图来表示,方框图两端的箭头表示输入量和输出量，方框中写明了该环节的传递函数。2.2.2典型环节的传递函数362.2线性系统的频域数学模型特点：积分环节的动态方程为：传递函数：单位阶跃响应：2、积分环节☆比例系数K与时间量纲有关，当输入量和输出量为相同的物理量时，K的量纲为s-1。一些文献将积分环节系数写为2.2.2典型环节的传递函数372.2线性系统的频域数学模型2、积分环节积分环节案例：a)为随动系统中经常应用的机电式伺服机构。如果忽略电动机的电磁惯性和机械转动部分的机械惯性，并设电动机的转速与电压成正比关系，这种伺服机构可以近似看成积分环节。该伺服机构由一个小型直流电动机通过减速器与输出轴相连接，其输入量为电枢电压ur，减速器的角位移为

，电动机的角速度为ω，则有：因此：初始值为零时的拉氏变换为：传递函数为：2.2.2典型环节的传递函数382.2线性系统的频域数学模型b)为自动控制系统中经常使用的积分调节器。根据运算放大器的工作原理，有：又有：积分时间常数因此得系统传递函数为：2.2.2典型环节的传递函数2、积分环节392.2线性系统的频域数学模型特点：当输入量r(t)作阶跃变化时，其输出量c(t)不是立刻到达相应的平衡状态，而要经过一定的时间，其输出量的变化规律可以用指数曲线来表达。传递函数：

单位阶跃响应：惯性环节的输出不能立即跟随输入变化，存在时间上的延迟。3、惯性环节式中2.2.2典型环节的传递函数402.2线性系统的频域数学模型

a)单位阶跃输入下惯性环节输出量的时间函数；b)惯性环节的方框图3、惯性环节2.2.2典型环节的传递函数412.2线性系统的频域数学模型4、振荡环节特点：包括两个储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量相互交换。在阶跃函数的作用下，其暂态响应可能作周期性变化以【例2.1.1】中RLC电路为例加以说明。系统的微分方程为：初始条件为零时的拉氏变换为：系统的传递函数为：将传递函数转换为：为振荡环节的自然振荡角频率为振荡环节的阻尼比。2.2.2典型环节的传递函数422.2线性系统的频域数学模型4、振荡环节当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：当

时，上式特征方程的根为共轭复数。将上式分解为部分分式，并求出各待定系数：故：反拉式变换2.2.2典型环节的传递函数432.2线性系统的频域数学模型4、振荡环节图2.2.6振荡环节阶跃响应输出量经短时间的周期振荡后，最后趋于稳定。振荡的程度与阻尼比ζ有关，ζ值越小，振荡越强；当ζ=0时，输出量作自持振荡，振荡的频率为自然振荡角频率ωn；ζ值越大，则振荡越小；当

时，电路的输出量为单调上升曲线。可见，阻尼比是振荡环节的重要参量。本电路的阻尼比由回路参数R、L和C决定。2.2.2典型环节的传递函数442.2线性系统的频域数学模型5、微分环节特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程单位阶跃响应：传递函数：求拉氏反变换理想微分环节的输入和输出如下图所示。☆这种理想微分环节在实际中是无法得到的，因为任何实际物理元件或装置都具有一定的质量和有限的容量（即能够储存和传输的能量是有限的），都不可能在阶跃信号输入时，瞬间释放出幅值为无穷大而持续时间仅为零的输出。故而，理想微分环节在实际中是根本不存在的。2.2.2典型环节的传递函数452.2线性系统的频域数学模型微分环节案例：5、微分环节

a)b)c)a)所示RC电路的微分方程式为：消去中间变量得：初始条件为零时的拉氏变换为：因此传递函数为：当

时，其传递函数可以写成：2.2.2典型环节的传递函数462.2线性系统的频域数学模型微分环节案例：5、微分环节

a)b)c)c)测速发电机当其输入量为转角

，输出量为电枢电压uc时，也具有微分环节的作用。设测速发电机的角速度为ω，则

，而测速发电机的输出电压uc与其角速度ω成正比，因此得：初始条件为零时，上式的拉氏变换为：由此得传递函数为：2.2.2典型环节的传递函数472.2线性系统的频域数学模型6、滞后环节特点：当输入信号变化时，其输出信号比输入信号滞后一定的时间，然后再完全复现输入信号。传递函数：纯滞后时间对上式进行拉普拉斯变换，可得：由此，可得传递函数为：2.2.2典型环节的传递函数482.2线性系统的频域数学模型6、滞后环节滞后环节案例：图2.2.10轧制钢板的厚度测量装置带钢在A点轧出时，产生厚度偏差

，这一厚度偏差在到达B点才为测厚仪所检测。若测厚仪距机架的距离为l，带钢运动速度为v，则时滞为：而测厚信号

与厚差信号

之间有如下关系：这里，

为时滞环节的输入量，

为输出量。写成一般形式为：根据拉氏变换的时滞性质，在初始条件为零时，上式的拉氏变换为：故传递函数为：2.2.2典型环节的传递函数492.3线性系统的结构框图1.结构框图的定义结构框图又称方块图或结构图。它把系统或环节用一个方框表示典型环节的框图表示为：2.3.1结构框图的组成与绘制502.3线性系统的结构框图控制系统是由若干个元器件组合而成。从信息传递的角度看，可以把一个系统划分为若干个环节，每个环节用一个典型环节表示，按信息传递的关系构成整个系统的框图。2.3.1结构框图的组成与绘制512.3线性系统的结构框图2.结构框图的组成（1）函数框图（或环节）输入量与输出量之间的信号传递关系。表示对一个信号所进行的数学变换。（2）信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，线上标记信号的时间函数或象函数（3）引出点（分支点）引出或者测量信号的位置。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。2.3.1结构框图的组成与绘制522.3线性系统的结构框图2.结构框图的组成（4）比较点（相加点、比较环节）表示两个或两个以上的信号进行加减运算。“+”号表示相加，“-”号表示相减，“+”号可以省略不写比较点可以有多个输入信号，但一般只画一个输出信号若需要几个输出，通常加引出点2.3.1结构框图的组成与绘制532.3线性系统的结构框图3.结构框图的意义（1）通过结构图易于求解系统的输入与输出信号拉氏变换式之间的关系式，从而获得与系统动态特性相关的信息；（2）既可用于研究整个系统的性能，也可用于研究个别环节对系统的影响；（3）对于同一系统，研究的问题不同，结构图形式也不同，即系统的结构图不是唯一的。结构图也可以用来表示非线性系统和离散系统。对于非线性系统，方框表示非线性环节，方框中的内容可以是非线性特性的数学表达式、输入与输出关系图，或者是要介绍的描述函数。对于离散系统，方框中是传递函数，并且结构图中还包含采样开关等环节。2.3.1结构框图的组成与绘制542.3线性系统的结构框图4.结构框图的绘制（1）列写系统各元件的运动方程；（2）求取各个环节的传递函数，即将运动方程进行拉氏变换，将拉氏变换表达成易于绘图的规范形式（输入变量是第一个已知变量，放在等号右边；未知变量放在等号左边，前面给出方程左边的变量都作为已知变量），并用函数方框表示；（3）按信号的流向将函数方框一一连接起来，得到系统的结构框图。脱离了物理系统的模型!!2.3.1结构框图的组成与绘制552.3线性系统的结构框图4.结构框图的绘制【例2.3.1】试绘制图2.3.4所示的某RC电路结构框图【解】根据基尔霍夫电路定律可建立如下微分方程：在零初始条件下，对上述微分方程进行拉普拉斯变换，得：2.3.1结构框图的组成与绘制562.3线性系统的结构框图4.结构框图的绘制2.3.1结构框图的组成与绘制将拉普拉斯变换表达式整理成易于绘图的规范形式，先假设已知输入量Ur(s)和输出量Uc(s)，则从第一个方程开始绘制，逐个完成：572.3线性系统的结构框图4.结构框图的绘制【扩展】若方程

改写为，则其对应的拉普拉斯变换式变为：（其他方程不变）2.3.1结构框图的组成与绘制582.3线性系统的结构框图4.结构框图的绘制【扩展】若按元件列写方程组，一个方程代表一个环节，中间变量增加一个，则拉普拉斯变换后的方程组为：2.3.1结构框图的组成与绘制592.3线性系统的结构框图4.结构框图的绘制【扩展】方程列写顺序不一样，或中间变量的选取不同，结构框图都会不同。在绘制结构框图时，中间变量选取得越多，变量之间的关系越明确，结构框图越好绘制。在输入和输出确定的前提下，系统的结构框图可以不同，但是传递函数是唯一的，因为传递函数只取决于系统的结构和参数。2.3.1结构框图的组成与绘制602.3线性系统的结构框图（1）变换前与变换后前向通道中传递函数的乘积必须保持不变。（2）变换前与变换后回路中传递函数的乘积必须保持不变。1.变换原则2.结构框图化简一般方法（1）串联环节的等效传递函数（2）并联环节的等效传递函数（3）并联环节的等效传递函数2.3.2结构框图的变换与化简612.3线性系统的结构框图2.结构框图化简一般方法（4）引出点等效移动①引出点前移②引出点后移2.3.2结构框图的变换与化简622.3线性系统的结构框图2.结构框图化简一般方法（5）比较点等效移动①比较点前移②比较点后移2.3.2结构框图的变换与化简632.3线性系统的结构框图2.结构框图化简一般方法（6）相加点或引出点互换位置或合并①相加点与相加点之间、引出点与引出点之间互换位置，信号传递关系不变；②相加点与引出点之间互换位置，信号关系发生变化，尽可能不采用！！！③“-”号可以在信号线上越过方框移动，但不能越过比较点和引出点。x1Yx2x3x1Yx2x32.3.2结构框图的变换与化简642.3线性系统的结构框图结构框图简化法求系统传递函数的一般步骤：（1）观察系统中是否存在相互交错的局部反馈回路；（2）通过比较点和引出点的移动消除交错回路；（3）先求出并联环节和具有局部反馈环节的传递函数，然后求出整个系统的传递函数。2.3.3结构框图的应用652.3线性系统的结构框图【例2.3.2】化简下图所示RC电路的结构框图【解】并联连接部分等效传递函数为串联连接部分等效传递函数为：利用反馈连接部分可得系统的闭环传递函数为：2.3.3结构框图的应用662.3线性系统的结构框图【例2.3.3】化简下图多回路系统的闭环传递函数【解】闭环传递函数为：2.3.3结构框图的应用672.3线性系统的结构框图【例2.3.4】化简下图多回路系统的闭环传递函数【解】由系统结构图所示关系，得闭环传递函数为：将C1(s)和C2(s)代入④：将C1(s)代入③，得：将③代入②：整理得：2.3.3结构框图的应用682.4线性系统的信号流图信号流图用图形表示线性代数方程组。信号流图描述了信号从系统上一点到另一点的流动情况。信号流图可从直观上表示系统变量间的因果关系。信号流图用由节点和支路组成。系统结构框图对应的信号流图1.基本概念2.4.1信号流图的组成与基本性质692.三个要素

（1）节点：

表示系统中的信号或变量。其值等于所有进入该节点的信号之和。（2）支路：连接两节点的有向线段，箭头表示信号流向（3）传输：表示两节点间的关系，也称为增益、传递；传输与支路一起表示方框的输入与输出关系。2.4线性系统的信号流图2.4.1信号流图的组成与基本性质703.常用术语2.4线性系统的信号流图（1）源节点（或称为输入节点）：只有输出支路、没有输入支路的节点，它与控制系统的输入信号相对应。（2）阱节点（或称为输出节点）：只有输入支路、没有输出支路的节点，它与控制系统的输出信号相对应。（3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。混合节点相当于结构图中的信号比较点和引出点。（4）通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线。通路上各支路增益的乘积称为通路增益。（5）开通路：与任一节点相交不多于一次，即在这条通路上没有重复节点，且起点和终点不是同一节点的通路。（6）回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为单独回路，简称回路。回路中所有支路增益的乘积称为回路增益，用La表示。（7）前向通路：起点在源节点，终点在阱节点的开通路。前向通路上各支路增益的乘积，称为前向通路总增益，一般用pk表示。（8）不接触回路：回路之间没有公共节点，这种回路称为不接触回路。2.4.1信号流图的组成与基本性质714.主要性质2.4线性系统的信号流图（1）支路相当于乘法器：支路终点信号等于始点信号乘以支路传递函数。（2）节点表示系统的变量：一般情况下，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号的代数和，即节点可以把所有输入支路的信号叠加，并把叠加信号等同地送到所有输出支路。其值为所有输入信号乘各自的支路传输之和。（3）信号在支路上只能沿箭头单向传递：信号在支路上传递时只有因果关系。（4）对于给定的系统，节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的。2.4.1信号流图的组成与基本性质722.4线性系统的信号流图信号流图的简化规则：（1）串联支路的总传输等于各支路传输之乘积。（2）并联支路的总传输等于各支路传输之和。（3）混合节点可以通过移动支路的方法消去。（4）回路可以根据反馈连接的规则式（2-3-12）化为等效支路。2.4.2信号流图的绘制与化简732.4线性系统的信号流图【例2.4.1】根据系统结构框图画出信号流图并化简之，求解系统的闭环传递函数【解】2.4.2信号流图的绘制与化简742.4线性系统的信号流图

∆—流图特征式—所有不同回路的传递函数之和—每两个互不接触回路传递函数乘积之和

—每三个互不接触回路传递函数乘积之和2.4.3梅逊公式与其应用752.4线性系统的信号流图梅逊公式求解信号流图传递函数的具体步骤:（1）观察并写出所有从输入节点到输出节点的前向通道的增益

；（2）观察信号流图，找出所有的回路，并写出它们的回路增益

；（3）找出所有可能组合的2个、3个···互不接触（无公共节点）回路，并写出回路增益

，

；（4）写出信号流图的特征式

；（5）分别写出与第k条前向通道不接触部分信号流图的特征式

；（6）代入梅逊增益公式。2.4.3梅逊公式与其应用762.4线性系统的信号流图【例2.4.2】试用梅逊增益公式系统信号流图的总传递函数【解】只有一条前向通道，其传输为：系统有三个回路，分别为：所有不同回路的传输之和为：不存在互不接触的回路，于是信号流图的特征式为：这三个回路均与前向通道接触，故其余因子为：系统的总传递函数为2.4.3梅逊公式与其应用772.4线性系统的信号流图【例2.4.3】用梅逊增益公式系统信号流图的总传递函数【解】有三条前向通道，其传输分别为：系统有八个回路，分别为：信号流图的特征式为：余因子为：系统的总传递函数为2.4.3梅逊公式与其应用782.5非线性数学模型的线性化1.线性系统的特性用线性微分方程描述的系统称为线性系统。对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时作用于系统，则可以将它们分别处理，依次求出各个外作用单独作用时系统的输出，然后将各输出叠加；每个外作用在数值上可以只取单位值，从而大大简化了线性系统的研究工作。2.非线性微分方程的线性化实际系统的数学模型一般都是非线性的，但是非线性微分方程没有通用的求解方法。在研究系统时，我们总是力图将非线性问题在合理、可能的条件下简化为线性问题处理。如果做某些近似或缩小一些研究问题的范围，可以将大部分非线性方程在一定的工作范围内近似用线性方程来代替，这样就可以用线性理论来对系统进行分析和设计。虽然这种方法是近似的，但它便于分析计算，在一定的工作范围内能反映系统的特性，在工程实践中具有实际意义。2.5非线性数学模型的线性化3.非线性微分方程线性化的两种方法（1）忽略弱非线性因素如果元件的非线性因素较弱或者不在系统非线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略。（2）小偏差法（切线法、增量线性化法）小偏差法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一旦有偏差就会产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。792.5非线性数学模型的线性化3.非线性微分方程线性化的